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Mathematische Annalen

, Volume 110, Issue 1, pp 97–127 | Cite as

Der Inhalt der Gleichdicke

Abschätzungen für ebene Gleichdicke
  • Anton E. Mayer
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Literatur

  1. 1).
    Näheres bei A. E. Mayer, Über Gleichdicke, Zeitschr. Ver. deutsch. Ing.76 (1932), S. 884–886;77 (1933), S. 152 [mit Angabe der technischen Literatur]. Nicht berücksichtigt (weil im Maschinenbau veraltet) wurden in jener Arbeit die Anwendungen der Gleichdicke in Getrieben. Diesbez. vgl. F. Reuleaux, Lehrb. d. Kinematik Bd. 1, Braunschweig 1875, S. 566–568; L. Burmester, ebenda, Leipzig 1888, S. 267–276.Google Scholar
  2. 2).
    E. Meißner, Über Punktmengen konstanter Breite, Vjschr. naturf. Ges. Zürich56 (1911), S. 42–50.Google Scholar
  3. 3).
    Geraden wären mittels der Zwischen-Relation zu definieren. Siehe K. Menger, Untersuchungen über allgemeine Metrik, Math. Annalen100 (1928), S. 75–163, bes. S. 106.Google Scholar
  4. 4).
    H. Lebesgue, Sur quelques questions de minimum relatives aux courbes orbiformes et sur leurs rapports avec le calcul des variations, J. math. pures et appl. (8)4 (1921), S. 67–96, bes. S. 77.Google Scholar
  5. 5a).
    (EuklidischerR n) W. Blaschke, Über den größten Kreis in einer konvexen Punktmenge, Jahresber. deutsch. Math.-Ver.23 (1914), S. 369–374; B. Jessen, Über konvexe Punktmengen konstanter Breite, Math. Zeitschr.29 (1929), S. 378–380;Google Scholar
  6. 5b).
    (MinkowskischerR 2 undR 3) E. Meißner 2).Google Scholar
  7. 5c).
    (SphärischerR 2 und elliptischerR 3) W. Blaschke, Einige Bemerkungen über Kurven und Flächen von konstanter Breite., Ber. Ges. Wiss. Leipzig67 (1915), S. 290–297.Google Scholar
  8. 6).
    Vgl. J. Pál, Ein Minimumproblem für Ovale, Math. Annalen83 (1921), S. 311–319, bes. S. 319.Google Scholar
  9. 7).
    H. Lebesgue, Sur le problème des isopérimètres et sur les domaines de largeur constante, Compt. Rend. Soc. math. France 1914, S. 72–76; derselbe, Sur les courbes orbiformes, ebenda S. 45–46; derselbe 4); W. Blaschke, Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und kleinsten Inhalts, Math. Annalen76 (1915), S. 504–513, siehe auch 5c); M. Fujiwara, Analytic Proof of Blaschke's Theorem on the Curve of Constant Breadth with Minimum Area, Proc. Acad. Tokyo3 (1927), S. 307–309;7 (1931), S. 300–302.Google Scholar
  10. 7a).
    [Zusatz bei der Korrektur.] Mittlerweile ist eine enzyklopädische Darstellung erschienen: T. Bonnesen und W. Fenchel, Theorie der konvexen Körper (Ergebn. Math. u. Grenzgebiete Bd. 3, Heft 1), Berlin, J. Springer, 1934.Google Scholar
  11. 8).
    Bezeichnung nach H. Rademacher und O. Toeplitz, Von Zahlen und Figuren. Berlin 1930, S. 74.Google Scholar
  12. 9).
    W. Blaschke, Kreis und Kugel, Leipzig 1916, S. 62.Google Scholar
  13. 10).
    Wie sehr es hier auf die Gleichmäßigkeit der Beschränkung der eingeschriebenen Kreise ankommt, sehe man bei E. Landau, Die Blochsche Konstante und zwei verwandte Weltkonstanten, Math. Zeitschr.30 (1929), S. 609–638, Anm. 23.Google Scholar
  14. 11).
    Beweise für diesen Satz oder für Teile von ihm wurden oft erbracht: H. W. E. Jung, Über die kleinste Kugel, die eine räumliche Figur einschließt, Journ. reine und angew. Math.123 (1901), S. 241–257; derselbe Über den kleinsten Kreis, der eine ebene Figur enthält, ebenda137 (1910), S. 310–313;. W. Blaschke 5a) R. Bricard, Théorèmes sur les courbes et sur les surfaces fermées, Nouv. ann. math. (4) 14 (1914), S. 19–25; H. Lebesgue 7), 4), S. 67–96, bes. S. 77; J. v. Sz. Nagy, Über einen Satz von H. Jung, Jahresber, deutsch., Math.-Ver.24 (1915), S. 390–392; K. Reinhardt, Über die kleinste Kugel, die um jede Punktmenge vom Durchmesser Eins gelegt werden kann, ebenda25 (1917), S. 157–163; K. Zindler Über konvexe Gebilde, Monatsh. Math. Phys.30 (1920), S. 87–102,31 (1921), S. 25–56; H. Rademacher und O. Toeplitz 8), S. 74.Google Scholar
  15. 12).
    Siehe z. B. H. Hahn, Reelle Funktionen, I. Bd., Leipzig 1932, S. 96.Google Scholar
  16. 15).
    Siehe die unter 11) Über die kleinste Kugel, die eine räumliche Figur einschließt Journ. reine und angew. Math.123 (1901), S. 241–257; angeführten Quellen. Verwandte Ungleichungen bei P. Steinhagen, Beitrag zur Theorie der konvexen Körper, Diss., Göttingen 1920; derselbe, Über die größte Kugel in einer konvexen Punktmenge, Abh. math. Sem. Hamburg1 (1921), S. 15–26.Google Scholar
  17. 16).
    S. Janiszewski, Sur les continus irréductibles entre deux points. J. école polytechn. (2)16 (1912), S. 79–170; bes. S. 85.Google Scholar
  18. 17).
    Siehe 2). Statt “saturiert” schreibt Meißner “vollständig”. Dieser Name ist jedoch für eine ganz andere Eigenschaft von Mengen üblich geworden; vgl. H. Hahn 12) S. 113. — Nach der Meißnerschen Definition ist ein Gleichdick ganz von selbst abgeschlossen und beschränkt (sobald vom Gesamtraum verschieden). Dies konnten wir daher von allem Anfang an voraussetzen.Google Scholar
  19. 18).
    E. Meißner 2), S. 44.Google Scholar
  20. 19).
    H. Lebesgue 4), S. 77.Google Scholar
  21. 20).
    K. Reidemeister, Über Punktmengen konstanten Durchmessers, Math. Zeitschr.10 (1921), S. 214–216. (Dort wird allerdings nur bewiesen, daß solche Mengen konstante Breite haben. Wir werden aber in Abschnitt 16 sehen, daß die konvexen Mengen konstanter Breite, Gleichdicke sind.) Ein ahnlicher Satz bei Ch. Jordan und R. Fiedler, Contribution, à l'étude des courbes convexes fermées, Paris 1912, S. 58. Dieses Buch unterrichtet (S. 54 ff.) auch über die älteste Gleichdicke betreffende Literatur.Google Scholar
  22. 21).
    Vgl. etwa C. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, Leipzig und Berlin 1918, S. 197.Google Scholar
  23. 22).
    Ohne Beweis bei W. Blaschke 5a), S. 373; A. E. Mayer1).Google Scholar
  24. 23).
    A. E. Mayer 1); derselbe, Jahresb. deutsch. Math.-Ver.43 (1933), Abt. 2,S. 31.Google Scholar
  25. 24).
    E. Meißner 2), S. 47.Google Scholar
  26. 25).
    W. Blaschke 5a) S. 373.Google Scholar
  27. 26).
    Diese Figur hat nämlich schon bei den ersten Dampfmaschinensteuerungen eine Rolle gespielt; vgl. F. Reuleaux 1)Lehrb. d. Kinematik Bd. 1, Braunschweig; L. Burmester 1)Lehrb. d. Kinematik Bd. 1, Leipzig, S. 364. Den Namen Reuleauxdreieck scheint W. Blaschke 7)Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und kleinsten Inhalts, Math. Annalen76 (1915), S. 504–513, aufgebracht zu haben.Google Scholar
  28. 27).
    H. Lebesgue 4), S. 79; B. Jessen 5a)Über konvexe Punktmengen konstanter Breite, Math. Zeitschr.29 (1929), S. 378–380; schwächere Sätze bei K. Reinhardt, Extremale Polygone gegebenen Durchmessers, Jahresber. deutsch. Math.-Ver.31 (1922), S. 251–270, bes. S. 269; H. Rademacher und O. Toeplitz 8)Von Zahlen und Figuren. Berlin 1930, S. 135.Google Scholar
  29. 28).
    Siehe u. a. E. Meißner 2), S. 45.Google Scholar
  30. 29).
    W. Blaschke 5a), S. 372; H. Lebesgue 7) Sur le problème des isopérimètres et sur les domaines de largeur constante, Compt. Rend. Soc. math. France 1914, S. 72–76; (2. Zitat) und 4)Sur quelques questions de minimum relatives aux courbes orbiformes et sur leurs rapports avec le calcul des variations, J. math. pures et appl. (8)4 (1921), S. 90.Google Scholar
  31. 30).
    Vgl. hierzu D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 7. Aufl., Leipzig und Berlin 1930, S. 70.Google Scholar
  32. 31).
    Feinheiten der Inhaltsbestimmung wären hier, wo es sich durchwegs um konvexe Mengen handelt, belanglos.Google Scholar
  33. 32).
    T. Bonnesen, Über eine Verschärfung der isoperimetrischen Ungleichheit, Math. Annalen84 (1921), S. 216–227; derselbe, Über das isoperimetrische Defizit ebener Figuren, ebenda91 (1924), S. 252–268. Siehe auch desselben Verfassers Buch, Les problèmes des isopérimètres et des isépiphanes, Paris 1929 [mit Bibliographie]. Bonnesen verwendet die Flächendifferenz selbst und nennt sie dasisoperimetrische Defizit.Google Scholar
  34. 33).
    Einfache Beweise bei W. Blaschke 7) S. 512; H. Lebesgue 4)Sur quelques questions de minimum relatives aux courbes orbiformes et sur leurs rapports avec le calcul des variations, J. math. pures et appl. (8)4 (1921), S. 93. Vgl. dazu W. Blaschke 5c)Einige Bemerkungen über Kurven und Flächen von konstanter Breite, Ber. Ges. Wiss. Leipzig67 (1915), S. 290–297. K. Reinhardt 27)Extremale Polygone gegebenen Durchmessers, Jahresber. deutsch. Math.-Ver.31 (1922), S. 251–270.Google Scholar
  35. 35).
    Vgl. einen ähnlichen Abbildungsgedanken bei W. Blaschke, Eine Frage über konvexe Körper, Jahresber, deutsch. Math.-Ver.25 (1917), S. 121–125.Google Scholar
  36. 36).
    Siehe auch N. Kritikos, Über konvexe Flächen und einschließende Kugeln, Math. Annalen96 (1927), S. 583–586.Google Scholar
  37. 37).
    J. Favard, Sur le déficit isopérimétrique maximum dans une couronne circulaire, Mat. Tidsskr. B, 1929, S. 62–68. Weitere Abschätzungen in J. Favard, Problèmes d'extremums relatifs aux courbes convexes, Ann. école norm. sup. (3)46 (1929), S. 345–369;47 (1930), S. 311–324.Google Scholar
  38. 38).
    E. Meißner 2), S. 42–50. (Beweis nur für „notwendig”); B. Jessen 5a)Über den größten Kreis in einer konvexen Punktmenge, Jahresber. deutsch. Math.-Ver.23 (1914), S. 369–374.Google Scholar
  39. 39).
    A. Rosenthal und O. Szász, Eine Extremaleigenschaft der Kurven konstanter Breite, Jahresber. deutsch. Math.-Ver.25 (1917), S. 278–282, Anm. 4—Die Stützgerade in dem ν nächstgelegenen Punkt vonG zu suchen, wie das B. Jessen 5a)Über den größten Kreis in einer konvexen Punktmenge, Jahresber. deutsch. Math.-Ver.23 (1914), S. 369–374 tut, ist nicht notwendig.Google Scholar
  40. 40).
    Siehe u. a. E. Meißner 2), S. 46.Google Scholar
  41. 41).
    Vgl. W. Blaschke 9)Kreis und Kugel, Leipzig 1916, S. 93.Google Scholar
  42. 42).
    Siehe z. B. T. Bonnesen 32), (2. Zitat), S. 252.Google Scholar
  43. 43).
    Vgl. hierzu K. Menger, Kurventheorie, Leipzig u. Berlin, 1932, S. 59.Google Scholar
  44. 44).
    F. Bernstein und G. Doetsch, Zur Theorie der konvexen Funktionen, Math. Annalen76 (1915), S. 514–526.Google Scholar
  45. 45).
    Mit anderen Worten: Das System der Gleichdicke und der Punkte bildet einen vollständigen metrischen Raum (mit der Abweichung zweier Mengen als Entfernungsmaß). Siehe dazu H. Hahn 12)Reelle Funktionen, l. Bd., Leipzig 1932, S. 124.Google Scholar
  46. 46).
    Vgl. etwa W. Blaschke 9)Kreis und Kugel, Leipzig 1916, S. 107.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1935

Authors and Affiliations

  • Anton E. Mayer
    • 1
  1. 1.Wien

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