Mathematische Annalen

, Volume 97, Issue 1, pp 490–523 | Cite as

Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe

  • Heinrich Grell
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Literatur

  1. 1).
    Für die hier auftretenden Begriffe “Hauptordnung”, “Ordnung”, “primäre Komponenten” usw. siehe E. Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Math. Annalen96 (1926), S. 26–61 (zitiert mit N). Als Ordnung eines algebraischen Zahlkörpers bezeichnet man mit Dedekind jeden darin enthaltenen Ring aus ganzen algebraischen Zahlen, der das System aller ganzen rationalen Zahlen umfaßt.Google Scholar
  2. 2).
    R. Dedekind, Über die Discriminanten endlicher Körper, Abhandlungen der Göttinger Gesellschaft der Wissenschaften29 (1882).Google Scholar
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    D. Hilbert, Zahlbericht, § 38–47.Google Scholar
  4. 4).
    R. Dedekind, Zur Theorie der Ideale, Göttinger Nachrichten 1894, S. 272 ff.Google Scholar
  5. 5).
    R. Dedekind, Über die Anzahl der Idealklassen in den verschiedenen Ordnungen eines endlichen Körpers. Braunschweig 1877.Google Scholar
  6. 6).
    Nach persönlicher Mitteilung durch Manuskripte.Google Scholar
  7. 7).
    Hentzelt-Noether, Zur Theorie der Polynomideale und Resultanten, Math. Annalen88 (1922), S. 53–79.Google Scholar
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    Dirichlet-Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie, IV. Auflage, S. 434–657 (zitiert mit Z. IV; die III. Aufl. entspr. mit Z. III).Google Scholar
  11. 11).
    Math. Annalen53 (1900), S. 371–403. Auf diese Arbeit machte mich nachträglich E. Noether aufmerksam; vgl. auch die dann noch erschienene Note von W. Krull, Axiomatische Begründung der allgemeinen Idealtheorie, Berichte der phys. med. Sozietät in Erlangen56 (1924).Google Scholar
  12. 12).
    Vgl. den 1. Abschnitt dieser Einleitung.Google Scholar
  13. 13).
    Ph. Furtwängler, Über die Führer von Zahlringen, Wiener Berichte128 (1919), S. 239–245, Satz 2.Google Scholar
  14. 14).
    Vgl. die Fußnote zu S. 28 der in 2). zitierten Dedekindschen Arbeit.Google Scholar
  15. 15).
    Vgl. hierzu N. Fußnote 6) Nach persönlicher Mitteilung durch Manuskripte.Google Scholar
  16. 16).
    Vgl. Steinitz, Algebr. Theorie der Körper, § 1; Journal f. Math.137 (1910), S. 167–309.Google Scholar
  17. 17).
    Die Axiome sind natürlich so gewählt, daß sie mit den Sätzen übereinstimmen, die für die in üblicher Weise aus den Elementen eines Ringes gebildeten Moduln gelten. — Unter einerModulgruppe ist im folgenden ein SystemM von Moduln mit Gleichheitsrelationen, den beiden Verknüpfungen der Summen- und Differenzbildung sowie der Gültigkeit der beiden Axiomgruppen I und II und des ersten distributiven Gesetzes verstanden, entsprechend der in 11) Math. Annalen53 (1900), S. 371–403. erwähnten Dedekindschen Arbeit.Google Scholar
  18. 18).
    Diese Tatsache ist schon von Dedekind in der in 11) Math. Annalen53 (1900), S. 371–403. erwähnten Arbeit ausgesprochen und benutzt.Google Scholar
  19. 20).
    Diese Definition der Teilerfremdheit gibt W. Krull in der in 11) Math. Annalen53 (1900), S. 371–403. erwähnten Note.Google Scholar
  20. 21).
    Auf die Existenz eines zugehörigen Primideals läßt sich im allgemeinen nicht schließen, vgl. dazu 6.Google Scholar
  21. 22).
    E. Steinitz, Algebr. Theorie der Körper, § 3; Journal f. Math.137 (1910).Google Scholar
  22. 23).
    Ein Element heißt regulär, wenn es nicht Nullteiler ist. Soll die Gleichheit in P/G die üblichen Gesetze erfüllen, so ist die Beschränkung aufreguläre Elemente als Nenner unbedingt notwendig. Beweis: Seia 1 ausG nicht regulär, dann gibt es eina 2≠0 aus P, so daßa 1·a 2=0 wird. Man hätte dann bei Annahme der üblichen Gleichheitsbedingungena 2=0/a 1=0, alsoa 2=0, im Widerspruch zua 2≠0.Google Scholar
  23. 25).
    C ist also insbesondere Modulgruppe.Google Scholar
  24. 27).
    Vgl. Fußnote 17) Die Axiome sind natürlich so gewählt, daß sie mit den Sätzen übereinstimmen, die für die in üblicher Weise aus den Elementen eines Ringes gebildeten Moduln gelten. — Unter einerModulgruppe ist im folgenden ein SystemM von Moduln mit Gleichheitsrelationen, den beiden Verknüpfungen der Summen- und Differenzbildung sowie der Gültigkeit der beiden Axiomgruppen I und II und des ersten distributiven Gesetzes verstanden, entsprechend der in 11) Math. Annalen53 (1900), S. 371–403. erwähnten Dedekindschen Arbiet. Die Tatsachen von 1. verdanke ich einer Vorlesung, die hier gegebenen einfachen Beweise einem Manuskript von E. Noether. Entsprechend dem Zweck dieser Arbeit werden nur endlich viele Komponenten in Betracht gezogen.Google Scholar
  25. 28).
    Der bei der Restklassenbildung auftretende, durch ≡ bezeichnete Kongruenzbegriff bezieht sich aufElemente (eines Ringes oder allgemeineren Modulbereichs) und wird demgemäß in dieser Arbeit nur bei diesen verwandt.Google Scholar
  26. 29).
    Vgl. hier S. 393 der in 11) Math. Annalen53 (1900), S. 371–403. zitierten Dedekindschen Arbeit.Google Scholar
  27. 32).
    Bei der Formulierung dieser beiden Sätze wurde ich von E. Noether unterstützt.Google Scholar
  28. 34).
    Offenbar bildet dieser Begriff des Führers samt seinen Darstellungsformen die genaue Verallgemeinerung dessen, was Dedekind in der in 2) R. Dedekind, Über die Discriminanten endlicher Körper, Abhandlungen der Göttinger Gesellschaft der Wissenschaften29 (1882). erwähnten Arbeit § 7 gibt.Google Scholar
  29. 35).
    Siehe E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Annalen83 (1921), S. 24–66.Google Scholar
  30. 36).
    Vgl. Fußnote 5, R. Dedekind, Über die Anzahl der Idealklassen in den verschiedenen Ordnungen eines endlichen Körpers. Braunschweig 1877. § 5 der dort erwähnten Arbeit.Google Scholar
  31. 37).
    Die Vielfachen- und Produktdarstellung sind nach N § 4, 4 δ identisch.Google Scholar
  32. 38).
    Nach Satz 3 aus § 2, 1 läßt sich zunächst nur (P)≧(P)(f 1)+...+(P)(f 1:) aussagen.Google Scholar
  33. 39).
    Dieser Satz bildet zusammen mit den Resultaten des § 7 ein wesentliches Hilfsmittel, um den Prozeß der Erweiterung beliebiger Ideale aus P nach Σ oder den der Verengung beliebiger Ideale aus Σ nach P in den Zwischenringen von P und Σ genauer zu verfolgen. Unter Annahme von Endlichkeitsvoraussetzungen, die dem Doppelkettensatz ähneln, hat W. Krull mit ringtheoretischen Methoden hierher gehörige Untersuchungen durchgeführt; eine betreffende Arbeit wird bald erscheinen.Google Scholar
  34. 40).
    Vgl. Fußnote 12. Vgl. den 1. Abschnitt dieser Einleitung.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1927

Authors and Affiliations

  • Heinrich Grell
    • 1
  1. 1.Göttingen

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