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Mathematische Annalen

, Volume 97, Issue 1, pp 60–75 | Cite as

Über Definitionsbereiche von- Funktionen

  • L. E. J. Brouwer
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Literatur

  1. 1).
    Math. Annalen93, S. 253.Google Scholar
  2. 2).
    Journ. f. Math.154, S. 6.Google Scholar
  3. 3).
    Math. Annalen95, S. 467.Google Scholar
  4. 4).
    loc. cit. 2), Journ. f. Math.154, S. 455.Google Scholar
  5. 6).
    Vgl. Amsterdamer Proceedings 27, S. 189–193; 644–646.Google Scholar
  6. 8).
    Genau so wie im allgemeinen wohlgeordnete Spezies mittels der beiden erzeugenden Operationen aus Urspezies (vgl. meinen Aufsatz „Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik III”, Math. Annalen 96, S. 451) werden insbesondere mathematische Beweisführungen mittels der beiden erzeugenden Operationen aus Nullelementen und der Intuition unmittelbar gegebenen Elementarschlüssen hergestellt (wobei allerdings die Beschränkung besteht, daß immer ein letzter Elementarschluß auftritt). Diesegedanklichen, im allgemeinen unendlichviele Glieder aufweisenden mathematischen Beweisführungen dürfen mit ihren endlichen, notwendigerweise inadäquaten, mithin nicht zur Mathematik gehörenden sprachlichen Begleitungen nicht verwechselt werden. Die vorstehende Bemerkung enthält mein Hauptargument gegen die Ansprüche der Hilbertschen Metamathematik; ein zweites Argument ist dieses, daß die Erledigung der (übrigens dem Intuitionismus entnommenen) Sicherheitsfrage des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten, von Hilbert in einem circulus vitiosus gesucht wird; wenn man nämlich die Richtigkeit dieses Satzes mittles des Beweises seiner Widerspruchsfreiheit begründen will, so wird dabei das Prinzip der Reziprozität der Komplementärspozies, mithin der Staz vom ausgeschlossenen Dritten selbst (vgl. Jahresber. d. D. M.-V.33, S. 252) implizite vorausgesetzt.Google Scholar
  7. 9).
    Falls die Versicherbarkeit vonF sn 1...n r bei mehreren Beweisführungenk sn 1...n r oder an mehreren Stellen einer und derselben Beweisführungk sn 1...n r festgestellt wird, so sind die entsprechendenT sn 1...n r alle erzeugungsgleich, wie sich mittels der induktiven Methode an der Hand der Entstehung einer von ihnen ergibt. Für den obigen Beweis ist diese Bemerkung übrigens überflüssig.Google Scholar
  8. 10).
    Wenn wir in analoger Weise eine passende, mit der Spezies derPunktkernpaare des Einheitskontinuums zusammenfallendefinite Menge von Punktepaaren betrachten, so ergibt sich auf Grund von Theorem 2 mühelos dieUnzerlegbarkeit des Kontinuums, d. h. die Eigenschaft, daß bei einer beliebigen Zerlegung des Einheitskontinuums in eine diskrete Spezies von Teilspezies eine dieser Teilspezies mit dem Einheitskontinuum identisch ist.Google Scholar
  9. 11).
    In den Amsterdamer Proceedings15, S. 1262 wird dieser Begriff in einem Sinne eingeführt, der im allgemeinen Falle von dem hier gebrauchten verschieden ist. Der enge Zusammenhang der beiden Definitionen geht aus Fußnote 12) hervor.Google Scholar
  10. 13).
    Jahresber. d. D. M.-V.33, S. 255.Google Scholar
  11. 14).
    Die intuitionistische Theorie des Inhaltes und der Meßbarkeit findet sich kurz skizziert in den Amsterdamer Verhandelingen (1. Sektion)12, Nr. 7, und wird ausführlich dargestellt in einem demnächst in diesen Annalen erscheinenden Aufsatz der Serie “Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik”.Google Scholar
  12. 15).
    Vgl. in diesem Zusammenhang Enseignement Math.13, S. 377.Google Scholar
  13. 16).
    Jahresber. d. D. M.-V.33, S. 255. Man bemerke die Äquivalenz der Begriffe „Verflechtung” und „Zusammenfallung” im Falle, daß der Satz vom ausgeschlossenen Dritten richtig ist.Google Scholar
  14. 17).
    Jahresber. d. D. M.-V.33, S. 252.Google Scholar
  15. 18).
    Vgl. Amsterdamer Verhandelingen (1. Sektion)12, Nr. 7, S. 8,13, sowie die demnächst in diesen Annalen erscheinende ausführlichere Darstellung in einem Aufsatz der Serie „Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik”.Google Scholar
  16. 19).
    Aus der Darstellung des Textes geht übrigens hervor, daß für diesen Inhalt ein beliebiger zwischen 0 und 1 gelegener und sowohl von 0 wie von 1 positiv-verschiedener Wertvvorgeschrieben werden kann.Google Scholar
  17. 20).
    Vgl. Amsterdamer Verhandelingen (1. Sektion)12, Nr. 7, S. 22, 23, sowie die dennächst in diesen Annalen erscheinende ausführlichere Darstellung in einem Aufsatz der serie „Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik”.Google Scholar
  18. 21).
    Math. Annalen93, S. 246.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1927

Authors and Affiliations

  • L. E. J. Brouwer
    • 1
  1. 1.Amsterdam

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