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Mathematische Annalen

, Volume 58, Issue 1–2, pp 51–69 | Cite as

Untersuchungen über Fouriersche Reihen

  • Leopold Fejér
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References

  1. *).
    Diese Arbeit ist — von einigen Modifikationen abgesehen — in der ungarischen Zeitschrift: „Mathematikai és Physikai Lapok” (1902) erschienen; kurze Notizen über denselben Gegenstand sind in den Comptes Rendus (1900, 10 décembre und 1902, 7 avril) publiziert.Google Scholar
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    Riemann: Habilitationsschrift. Ges. Werke S. 246.Google Scholar
  3. ***).
    Dieser Satz ist die Verallgemeinerung eines bekannten Riemannschen Satzes, nach welchem schon\(\mathop {\lim }\limits_{n = \infty } .\mathop {\smallint }\limits_a^b f(\alpha )\) sinnαdα=0 ist, wennf(α) im Intervalle (a, b) eine endliche obere Grenze besitzt. Ist dies nicht der Fall, so kann das Integral mit wachsendemn beliebig groß werden. (Riemann: Habilitationsschrift. Ges. Werke S. 246).Google Scholar
  4. A*).
    Figuren zur Illustration der Annäherungsart ders n(x) findet man z. B. in dem Buche von Byerly: An elementary treatise on Fourier's series, p. 63, 64.Google Scholar
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    Bulletin de Darboux: 1890, p. 114.Google Scholar
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    Crelle Journal Bd. 89, p. 262–264. Vgl. auch Hölder, Grenzwerte von Reihen an der Konvergenzgrenze, Math. Annalen Bd. 20, p. 535–549.Google Scholar
  7. *).
    Um eine kleine Anwendung dieses Satzes zu geben, betrachten wir die Potenzreihe inq \(\vartheta _4 (v,q) = 1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {( - 1)^n q^{n^2 } } \cos 2n\pi v.\) Hier ist die — im wesentlichen schon oft betrachtete — Reihe\(1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {( - 1)^n \cos 2n\pi v} \) für jedesv (außerv=±1/2, ±3/2,...) einfach unbestimmt und liefert den GrenzwertS=0. Folglich ist\(\mathop {\lim .}\limits_{q = 1 - 0} \vartheta _4 (v,q) = 0.\) (Vergl. in Borels Leçons sur les séries divergentesp·7 den Beweis des Herrn Tannery.)Google Scholar
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    Vergl. H. A. Schwarz: Gesammelte Abhandlungen Bd. II, p. 189.Google Scholar
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    Den Satz über die Reihe (18) hat zuerst Herr Schwarz bewiesen, und Herr Picard benützt die gleichmäßige Konvergenz zum Beweise des Weierstraßschen Satzes über die Approximation einer stetigen Funktion durch endliche trigonometrische Reihen. Den tiefer liegenden Satz (19) hat Weierstraß bewiesen und benutzt den gleichmäßigen Übergang inf(ϕ) eben zum Beweise seines gerade erwähnten Satzes. Wir sehen aber, daß eigentlich an der Spitze unser Hauptsatz zu stellen ist, denn aus ihm folgt am natürlichsten der Weierstraßsche Satz über die stetige Funktion, die Sätze (18), (19) usw. Vergl. in Picards Traité d'Analyse 2ième Edition Bd. I, p. 283–287, wo der Weierstraßsche Grundgedanke mit größter Klarheit hervorgehoben wird, und auch Poincaré: Propagation de la chaleur chap. V.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1903

Authors and Affiliations

  • Leopold Fejér
    • 1
  1. 1.Budapest

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