Advertisement

Mathematische Annalen

, Volume 44, Issue 1, pp 125–155 | Cite as

Sulla razionalità delle involuzioni piane

  • Guido Castelnuovo
Article

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. *).
    Ricerche sulle trasformazioni univoche involutorie nel piano (Annali di Matem. Serie IIa, Tomo 8o, 1877); si veda pure un secondo lavoro dello stesso A.Sulle trasformazioni univoche piane (Rendic. Istituto Lombardo, 1880).Google Scholar
  2. **).
    Nöther,Ueber die ein-zweideutigen Ebenentransformationen (Sitzungsb. d. phys. med. Societät Erlangen 1878); Lüroth,Rationale Flächen und involutorische Transformationen (Freiburg 1889); Bertini,Deduzione delle trasformazioni ... (Rend. Ist. Lomb. 1889).Google Scholar
  3. *).
    Sur une théorie des courbes et des surfaces admettant des correspondances univoques (Comptes rendus de l'Acad. d. Sciences, février 1885).Google Scholar
  4. **).
    Il teorema si dimostra nel modo più semplice ricorrendo alle note formole che legano i caratteri di una curva algebrica ai caratteri della curva trasformata mediante una trasformazione Cremoniana; si veda a questo proposito il § 31 della Nota del Sig. Nöther,Rationale Ausführung der Operationen ... (Math. Ann. 23, 1883). Alcune applicazioni di quel teorema alla geometria sul piano (diverse dalle applicazioni del Kantor) si trovano nelle mieRicerche generali sopra i sistemi lineari (Memorie dell' Accad. d. Scienze di Torino, serie II, tomo 42; 1891), nelle quali accenno di volo alla Nota del Kantor, perchè di questa ebbi conoscenza soltanto durante la correzione delle bozze di stampa. Ma non ho difficoltà a ripetere anche qui, se il Sig. K. lo desidera, chea lui spetta indubbiamente la priorità nel concetto di servirsi dei successivi sistemi aggiunti per lo studio delle trasformazioni birazionali cicliche. Debbo però avvertire che i sistemi aggiunti d'ordinen−3,n−6 ... si trovano adoperati fino dal 1873 (precisamente per una dimostrazione del teorema di Riemann-Roch) in una Nota dei Sigri Brill e Nöther inserita nei Göttinger Nachrichten.Google Scholar
  5. *).
    Premiers fondements pour une théorie des transformations périodiques univoques, 4me partie, (Atti dell' Acc. di Napoli serie II, vol 40). Le prime tre parti della Memoria si riferiscono alle trasformazioni cicliche più semplici (dal punto di vista proiettivo) e sono inserite nel vol. 10 (serie II, 1888) della stessa raccolta.Google Scholar
  6. **).
    Beweis eines Satzes über rationale Curven (Math. Annalen Bd. 9).Google Scholar
  7. *).
    L'importanza di questa serie nello studio dei sistemi lineari di curve risulta dalle mieRicerche generali sopra i sistemi lineari di curve piane (n0 18 e seg.). loc. cit.; e per i sistemi sulle superficie dalle citateRicerche del Sig. Enriques.Google Scholar
  8. ***).
    Che il vocabolo normale sia anche qui adoperato nel senso suesposto si potrebbe dimostrare facilmente in modo diretto. Ma si può anche accettare provvisoriamente il vocabolo come una definizione, e dedurre poi dal teorema del n0 10 che la nuova definizione del caso particolare è d'accordo colla definizione generale della nota precedente. Sopra una qualsiasi superficie un dato sistema lineareindividua il sistema normale (dello stesso grado e dello stesso genere) che lo contiene; questa proposizione che nel nostro caso possiamo dimostrare ricorrendo al n0 5, c), si troverà dimostrata in generale nella citata memoria del Sig. Enriques, (n0 2).Google Scholar
  9. *).
    V. le mieRicerche generali sopra i sistemi lineari (n0 18) loc. cit. Memorie dell' Accad. d. Scienze di Torino, serie II, tomo 42; 1891Google Scholar
  10. *).
    Per un noto teorema del Sig. Bertini (Rendic. Istituto Lombardo 1882; si veda pure Lüroth, Math. Ann. Bd. 42) la curva generica del sistema non potrebbe spezzarsi che in più curve di uno stesso fascio (insieme forse ad una parte fissa), oppure in una curva fissa ed in una curva irriduttibile variabile in un sistema lineare; ed entrambi i casi si escludono subito pel sistema qui considerato.Google Scholar
  11. *).
    Il Sig. Segre dimostra infatti in due modi diversi (Ricerche sulle rigate ellittiche, no 2, Atti dell' Accad. d. Scienze di Torino, vol XXI;Recherches générales sur les courbes et les surfaces réglées, no 14, Mathem. Annalen Bd. 34) che una rigata d'ordinen>2p−2 (p>0) avente per sezioni curve normali (quindi appartenente ad unS n-p+1) è necessariamente un cono.Google Scholar
  12. **).
    Ueber Flächen, welche Schaaren rationaler Curven besitzen (Mathem. Annalen Bd. 3).Google Scholar
  13. *).
    Del Pezzo,Sulle superficie dell' n o ordine immerse nello spazio di n dimensioni (Rendic. Circolo Matem. di Palermo, t. I).Google Scholar
  14. **).
    Clebsch,Ueber den Zusammenhangeiner Klasse von Flächenabbildungen etc. (Mathem. Annalen Bd. 3); Nöther,Ueber die ein-zweideutigen Ebenentransformationen (Sitzungsber. d. physik. medic. Soc. zu Erlangen, 1878).Google Scholar
  15. ***).
    Clebsch,Ueber die Abbildung algebraischer Flächen (Math. Ann. Bd. 1).Google Scholar
  16. *).
    Nöther,Ueber die ein-zweideutigen Ebenentransformationen loc. (Sitzungsber. d. physik. medic. Soc. zu Erlangen, 1878). cit.;Ueber eine Classe von auf die einfache Ebene abbildbaren Doppelebenen (Mathem. Annalen Bd. 33).Google Scholar
  17. *).
    Enriques,Ricerche citate; I, 1.Ricerche di geometria sulle superficie algebrische (I, 2) del Sig. Enriques (Memorie dell' Acc. d. Scienze di Torino, serie II, tomo 44; 1893).Google Scholar
  18. *).
    Del Pezzo,Sulle superficie di ordine n immerse nello spazio di n+1 dimensioni (Rendic. dell' Accad. di Napoli, 1885).Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1894

Authors and Affiliations

  • Guido Castelnuovo
    • 1
  1. 1.Roma

Personalised recommendations