Inventiones Mathematicae

, Volume 36, Issue 1, pp 57–113 | Cite as

Intersection numbers of curves on Hilbert modular surfaces and modular forms of Nebentypus

  • F. Hirzebruch
  • D. Zagier
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References

Hilbert Modular Surfaces

  1. 1.
    Eichler, M.: Über die Einheiten der Divisionsalgebren. Math. Ann.114, 635–654 (1937)MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  2. 2.
    Hammond, W. F.: The modular groups of Hilbert and Siegel. Amer. J. of Math.88, 497–516 (1966)MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  3. 3.
    Herrmann, O.: Über Hilbertsche Modulfunktionen und die Dirichletschen Reihen mit Eulerscher Produktentwicklung. Math. Ann.127, 357–400 (1954)MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  4. 4.
    Hirzebruch, F.: Hilbert modular surfaces. L'Ens. Math.19, 183–281 (1973)MathSciNetMATHGoogle Scholar
  5. 5.
    Hirzebruch, F.: Kurven auf den Hilbertschen Modulflächen und Klassenzahlrelationen. Classification of algebraic varieties and compact complex manifolds. Lecture Notes in Math.412, pp. 75–93. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1974Google Scholar
  6. 6.
    Hirzebruch, F., Van de Ven, A.: Hilbert modular surfaces and the classification, of algebraic surfaces. Inventiones math.23, 1–29 (1974)MATHCrossRefGoogle Scholar
  7. 7.
    Hirzebruch, F., Zagier, D.: Classification of Hilbert modular surfaces. To appearGoogle Scholar
  8. 8.
    Prestel, A.: Die elliptischen Fixpunkte der Hilbertschen Modulgruppen. Math. Ann.177, 181–209 (1968)MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar

Number Theory, Especially Binary Quadratic Forms

  1. 9.
    Borewicz, S., Šafarevič, I. R.: Zahlentheorie. Basel-Stuttgart Birkhäuser 1966MATHGoogle Scholar
  2. 10.
    Butts, H. S., Pall, G.: Modules and binary quadratic forms. Acta Arithm.15, 23–44 (1968)MathSciNetMATHGoogle Scholar
  3. 11.
    Dirichlet, G. L.: Über eine Eigenschaft der quadratischen Formen, Ber d. Königl. Preuss. Akad. d. Wiss (1940). Gesammelte Werke, Bd. I. 497–502. Berlin: Reimer 1889Google Scholar
  4. 12.
    Landau, E.: Vorlesungen über Zahlentheorie (Aus der elementaren Zahlentheorie). Leipzig: Hirzel 1927MATHGoogle Scholar
  5. 13.
    Pall, G.: The structure of the number of representations function in a positive binary quadratic form. Math. Z.36, 321–343 (1933)MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  6. 14.
    Weber, H.: Beweis des Satzes, daß jede eigentliche primitive quadratische Form unendlich viele Primzahlen darzustellen fähig ist. Math. Ann.20, 301–329 (1882)MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  7. 15.
    Zagier, D.: On the values at negative integers of the zeta-function of a real quadratic field. To appear in L'Ens. Math. (1976)Google Scholar

Class Number Relations

  1. 16.
    Kronecker, L.: Über quadratische Formen von negativer Determinante. Monatsber. d. Königl. Preuss. Akad. d. Wiss. Berlin (1975). Gesammelte Werke, Bd. IV, 245–259. Leipzig: Teubner 1929Google Scholar
  2. 17.
    Hurwitz, A.: Über Relationen zwischen Klassenzahlen binärer quadratischer Formen von negativer Determinante. Math. Ann.25 (1885). Mathematische Werke, Bd. II, 8–50. Basel-Stuttgart: Birkhäuser 1963Google Scholar
  3. 18.
    Klein, F., Fricke, R.: Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulformen, Bd. II, Abschnitt 4, Kap. 6 (204–236) and Abschnitt 6, Kap. 5 (637–667). Leipzig: Teubner 1892Google Scholar
  4. 19.
    Mordell, L. J.: On the generating function of the series ΣF(n)q n whereF(n) is the number of uneven classes of binary quadratics of determinant-n. Mess. of Math.50, 113–128 (1920)Google Scholar
  5. 20.
    Hecke, E.: Neue Herleitung der Klassenzahlrelationen von Hurwitz und Kronecker. Nachr. d. Königl. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, Math.-phys., KL (1926). Mathematische Werke, pp. 499–504. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht 1970Google Scholar
  6. 21.
    Eichler, M.: On the class number of imaginary quadratic fields and the sums of divisors of natural numbers. J. Ind. Math. Soc.19, 153–180 (1955)MathSciNetMATHGoogle Scholar
  7. 22.
    Mordell, L. J.: On recurrence formulas for the number of classes of definite binary quadratic forms. J. Ind. Math. Soc.24, 367–378 (1960)MathSciNetGoogle Scholar

Modular Forms of One Variable

  1. 23.
    Cohen, H.: Sums involving the values at negative integers ofL functions of quadratic characters. Math. Ann.217, 271–285 (1975)MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  2. 24.
    Eichler, M.: The basis problem for modular forms and the traces of the Hecke operators. Modular Functions of One Variable I, Lecture Notes in Math.320, pp. 75–152. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1973Google Scholar
  3. 25.
    Hecke, E.: Theorie der Eisensteinschen Reihen höherer Stufe und ihre Anwendung auf Funktionentheorie und Arithmetik, Abh. Math. Sem. Hamburg Univ.5 (1927). Werke, 461–486Google Scholar
  4. 26.
    Hecke, E.: Über Modulfunktionen und die Dirichletschen Reihen mit Eulerscher Produktentwicklung. II. Math. Ann.114 (1937). Werke, 672–707Google Scholar
  5. 27.
    Hecke, E.: Über die Darstellung der Determinante einer positiven quadratischen Form durch die Form. Vierteljahrschrift d. Naturforschenden Gesellschaft in Zürich85 (1940). Werke, 782–788MathSciNetGoogle Scholar
  6. 28.
    Hecke, E.: Analytische Arithmetik der positiven quadratischen Formen. Kgl. Danske Vid. Selskab. Math.-fys. Med. XIII.12 (1940). Werke, 789–918Google Scholar
  7. 29.
    Li, W. W.: Newforms and functional equations. Math. Ann.212, 285–315 (1975)MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  8. 30.
    Ogg, A.: Modular forms and Dirichlet series. Benjamin, New York-Amsterdam (1969)MATHGoogle Scholar
  9. 31.
    Ogg, A.: Survey of modular functions of one variable. Modular functions of one variable I. Lecture Notes in Math.320, pp. 1–36. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1973CrossRefGoogle Scholar
  10. 32.
    Selberg, A.: Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series. J. Ind. Math. Soc.20, 47–87 (1956)MathSciNetMATHGoogle Scholar
  11. 33.
    Shimura, G.: Modular forms of half-integral weight. Modular functions of one variable I. Lecture Notes in Math.320, pp. 57–74. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1973CrossRefGoogle Scholar
  12. 34.
    Shimura, G.: Modular forms of half integral weight. Ann. of Math.97, 440–481 (1973)MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  13. 35.
    Zagier, D.: Nombres de classes et formes modulaires de poids 3/2. C. R. Acad. Sc Paris281 (Sér. A), 883–886 (1975)MathSciNetMATHGoogle Scholar
  14. 36.
    Zagier, D.: Modular forms whose Fourier coefficients involve zeta-functions of quadratic fields. To appearGoogle Scholar

The Doi-Naganuma Map

  1. 37.
    Doi, K., Naganuma, H.: On the functional equation of certain Dirichlet series. Inventiones math.9, 1–14 (1969)MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  2. 38.
    Naganuma, H.: On the coincidence of two Dirichlet series associated with cusp forms of Hecke's “Neben”-type and Hilbert modular forms over a real quadratic field. J. Math. Soc. Japan25. 547–555 (1973)MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  3. 39.
    Saito, H.: Algebraic extensions of number fields and automorphic forms. Kyoto Univ. Lectures in Math.8, Tokyo: Kinokuniya 1973Google Scholar
  4. 40.
    Zagier, D.: Modular forms associated to real quadratic fields. Inventiones math.30, 1–46 (1975)MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1976

Authors and Affiliations

  • F. Hirzebruch
    • 1
  • D. Zagier
    • 1
  1. 1.Mathematisches Institut der UniversitätBonnFederal Republic of Germany

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