Über lineare homogene Punktmengen

Grundz. der Mengenlehre, S. 173.Google Scholar

“Intervall” steht für “offenes Intervall”.Google Scholar

Proc. Acad. Amst. XXII (1919), S. 681. Der Zusatz “gleichmäßig” bei stetig bedeutet folgendes: Bestehe zwischen den Punkten zweier Mengen α und β eine eineindeutige, stetige Verwandtschaft. Wenn stets mit allen Punktreihen der einen Menge (α oder β), die zu einem einzigen, nicht zur Menge gehörenden Punkte konvergieren, Punktreihen der anderen Menge korrespondieren, die ebenfalls zu einem einzigen Punkte konvergieren, dann nennt man die Stetigkeit der Korrespondenz gleichmäßig Z. B. die Menge der Rationalzahlen zwischen 0 und 1/4 und zwischen 3/4 und 1 kann eineindeutig und stetig abgebildet werden auf die Menge der Rational-zahlen zwischen 0 und 1, aber diese Stetigkeit ist niemals gleichmäßig.Google Scholar

Proc. Acad. Amst. XX (1917), S. 1194.Google Scholar

Wir beschränken uns stillschweigend immer auf den Teil der Menge, der innerhalb des IntervallsAB gelegen ist, für welches die Homogenität postuliert ist.Google Scholar

Diese Bedingung ist nicht notwendig.Google Scholar

Mit Transformation (Abbildung) meinen wir stets eine solche, die eine topologische Transformation (Abbildung) von ganzen Intervallen in (auf) einander bebestimmt, wobei Punkte von π stets korrespondieren mit Punkten von π, Punkte von χ also mit Punkten von χ.Google Scholar

In einer linearen nirgends dichten perfekten Punktmenge gibt es Punkte, welche einen unmittelbar vorhergehenden oder einen unmittelbar folgenden Punkt besitzen, und auch solche, welche weder das eine noch das andere haben. Nun ist eine eineindeutige stetige Transformation der Menge in sich selbst, bei der ein Punkt der ersten Art in einen Punkt der zweiten Art übergeht, offenbar unmöglich, die betrachtete Menge also nicht homogen.Google Scholar

Mit den Abbildungen in diesem Hilfssatz werden stets solche gemeint, die die Richtung invariant lassen, und Punkte von χ (resp. π₁ oder π₂) immer in Punkte derselben Menge überführen.Google Scholar

Mit Abbildung meinen wir jetzt immer topologische Abbildung, wobei die Richtung invariant bleibt, und π (also auch χ) in sich übergeht.Google Scholar