Mathematische Zeitschrift

, Volume 38, Issue 1, pp 257–282 | Cite as

Über lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

  • J. Schauder
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References

  1. 2).
    E. E. Levi, Sulle equazione lineari totalmente ellitiche. Rend. d. Circ. mat. di Palermo24 (1907), S. 275–317.Google Scholar
  2. 3).
    W. Sternberg, Über die lineare elliptische Differentialgleichung, Math. Zeitschr.21 (1924), S. 286–311; G. Giraud, Généralisation des problèmes sur les opérations du type elliptique, Bull. des Sc. Math.56 (1932), S. 1–93; dort werden auch die früheren Arbeiten dieses Verfassers zitiert.Google Scholar
  3. 4b).
    Die in Betracht kommenden Ungleichheiten findet man für Gebiete der KlasseA h und erste. Ableitungen bei J. Schauder, Potentialtheoretische Untersuchungen I. Math. Zeitschr.33 (1931), S. 602–640, für zweite und höhere Ableitungen (Gebiete der KlasseBh) bei O. D. Kellog, On the derivates of harmonic functions on the boundary, Trans. of the Math. Soc.33 (1931), S. 486–510. An den erwähnten Stellen werden die Beweise im Raume durchgeführt, das Beweisverfahren bleibt auch im Fallen=2 undn>3 gültig.Google Scholar
  4. 14).
    , Theorem VI, S. 508Google Scholar
  5. 49).
    Vgl. z. B. S. Bernstein, Sur la géneralisation du problème de Dirichlet, Math. Ann.69, (1910), S. 82–136, insb. S. 95.Google Scholar
  6. 55).
    F. Riesz, Über lineare Funktionalgleichungen, Acta Mathematica41 (1918), S. 71–98, insb. Satz 3 und 7. Aus dem Satze 4 der Rieszschen Arbeit folgt auch allgemein die Existenz, einer Konstante, so daß ∥ff∥≦C∥ψ∥ gilt. Dies schließt die in der Fußnote (50) behauptete Abschätzung der allgemeinen elliptischen Differentialgleichung in sich. Besitzt die Gleichung (46) bzw. (52) Nullösungen, so gibt es nach einem weiteren Satz von F. Riesz (Satz I) unter ihnen nur endlich viele linear unabhängige. Auch jetzt kann in gewissem Sinne die Existenz einer KonstanteC behauptet werden. Ist ψ eine beliebige Funktion (rechte Seite) für welche sich die Gleichung (46) lösen läßt, so gibt es unter den Lösungen u wenigstens eine, für welche280-1 (Satz4 bei Riesz). In diesem Falle kann auch die lineare Mannigfaltigkeit derjenigen Funktionenf, für welche die Gleichung (46) lösbar ist, leicht bestimmt werden. (Siehe z. B. J. Schauder, Über lineare, vollstetige Funktionaloperationen, Studia Math.2, (1930), S. 183–196. insb. Satz II. Augenscheinlich handelt es sich in dieser Fußnote um die am Rande verschwindende Lösungen.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1934

Authors and Affiliations

  • J. Schauder
    • 1
  1. 1.Lwów

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