Remarks on eigenvalues and eigenfunctions of a special elliptic system

  • Bernhard Kawohl
  • Guido Sweers
Original Papers

Abstract

LetΛ1(Ω) be the first eigenvalue of the vector-valued problem
$$\begin{gathered} \Delta u + \alpha grad div u + \Delta u = 0 in \Omega , \hfill \\ u = 0 in \partial \Omega , \hfill \\ \end{gathered} $$
, withα>0. Letλ1(Ω) be the first eigenvalue of the scalar problem
$$\begin{gathered} \Delta u + \lambda u = 0 in \Omega , \hfill \\ u = 0 on \partial \Omega . \hfill \\ \end{gathered} $$
.
The paper contains a proof of the inequality
$$\left( {1 + \frac{\alpha }{n}} \right)\lambda _1 \left( \Omega \right) > \Lambda _1 \left( \Omega \right) > \left( \Omega \right)$$
and improves recent estimates of Sprössig [15] and Levine and Protter [11]. Moreover we show, ifΩ is a ball, that an eigensolution u1, associated withΛ1(Ω) is not unique and that the eigensolutions for this and higher eigenvalues are never rotationally invariant. Finally we calculate some eigensolutions explicitly.

Zusammenfassung

Es SeiΛ1(Ω) der erste Eigenwert des vektorwertigen Problems
$$\begin{gathered} \Delta u + \alpha grad div u + \Delta u = 0 in \Omega , \hfill \\ u = 0 auf \partial \Omega , \hfill \\ \end{gathered} $$
, wobeiα>0. Es seiλ1(Ω) der erste Eigenwert des skalaren Problems
$$\begin{gathered} \Delta u + \lambda u = 0 in \Omega , \hfill \\ u = 0 auf \partial \Omega . \hfill \\ \end{gathered} $$
In der Arbeit wird ein Beweis der Ungleichung
$$\left( {1 + \frac{\alpha }{n}} \right)\lambda _1 \left( \Omega \right) > \Lambda _1 \left( \Omega \right) > \left( \Omega \right)$$
gegeben. Damit werden frühere Abschätzungen von Sprössig [2] sowie Levine und Protter [1] verbessert.

Es kann auch gezeigt werden, fallsΩ eine Kugel ist, daß eine Eigenlösungu1, nicht eindeutig ist, und daß die Eigenlösungen für diesen und höhere Eigenwerte nicht rotationsinvariant sind. Für spezielle Rhombusgebiete lassen sich Eigenlösungen explizit angeben.

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References

  1. [1]
    L. Bassotti,Calcolo numerico degli autovalori relativi al primo problema dell'elastostatica piana in un quadrato. Riv. Mat. Univ. Parma Ser. 2, 9, 221–245 (1968).Google Scholar
  2. [2]
    G. Chiti,A bound for the ratio of the first two eigenvalues of a membrane. SIAM J. Math. Anal.14, 1163–1167 (1983).Google Scholar
  3. [3]
    R. Courant, D. Hubert,Methoden der mathematischen Physik. Vol. II, Springer, Heidelberg 1968.Google Scholar
  4. [4]
    G. Fichera,Numerical and quantitative analysis. Pitman, London 1978.Google Scholar
  5. [5]
    K. O. Friedrichs,On the boundary value problems of the theory of elasticity and Korn's inequality. Annals of Math.48, 441–471 (1947).Google Scholar
  6. [6]
    S. Heinze, personal communication.Google Scholar
  7. [7]
    B. Kawohl,Rearrangements and convexity of level sets in PDE. Springer Lect. Notes in Math.1150, Heidelberg 1985.Google Scholar
  8. [8]
    A. Korn,Die Eigenschwingungen eines elastischen Körpers mit ruhender Oberfläche. Königl. Bayr. Akad. der Wiss. München, Sitzungsber. d. Math. Phys. Kl.36, 351–402 (1906).Google Scholar
  9. [9]
    W. D. Kupradse,Randwertaufgaben der Schwingungstheorie und Integralgleichungen. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1956.Google Scholar
  10. [10]
    V. D. Kupradze,Boundary value problems of steady state elastic vibrations (In Russian). Uspekhi matem. nauk.8 No. 3 (55), 21–74 (1953).Google Scholar
  11. [11]
    H. Levine, M. H. Protter,Unrestricted lower bounds for eigenvalues for classes of elliptic equations and systems of equations with applications to problems in elasticity. Math. Methods Appl. Sci.7, 210–222 (1985).Google Scholar
  12. [12]
    S. G. Michlin, C. L. Smolizki,Näherungsmethoden zur Lösung von Differential- und Integralgleichungen. Teubner, Leipzig 1969.Google Scholar
  13. [13]
    L. E. Payne,Isoperimetric inequalities and their applications. SIAM Rev.9, 453–488 (1967).Google Scholar
  14. [14]
    H. Poincaré,Leçons sur la théorie de l'élasticité. Georges Carré, Paris 1892.Google Scholar
  15. [15]
    W. Sprössig,Untere Abschätzungen des ersten Eigenwerts spezieller elliptischer Randwertaufgaben. Wiss. Zeitschr. TH Leuna-Merseburg27, 556–560 (1985).Google Scholar
  16. [16]
    H. Triebel,Höhere Analysis. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1972.Google Scholar
  17. [17]
    W. Veite,Über ein Stabilitätsproblem der Hydrodynamik. Arch. Ration. Mech. Anal.9, 9–20 (1962).Google Scholar
  18. [18]
    W. Velte,Untere Schranken für Eigenwerte in der linearen Elastizitätstheorie, in: Numerical Treatment of Eigenvalue Problems. Vol. 3 Eds.: J. Albrecht, L. Collatz, W. Veite Birkhäuser Basel ISNM 69, 192–204 (1984).Google Scholar
  19. [19]
    H. Weyl,Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenschwingungen eines beliebig gestalteten elastischen Körpers. Rend. Cire. Mat. Palermo39, 1–49 (1915).Google Scholar
  20. [20]
    G. Fichera,Methods of functional linear analysis in mathematical physics. In: Proc. Int. Congr. Math. (Amsterdam 1954), III, sect. V, 216–228, 1956.Google Scholar

Copyright information

© Birkhäuser Verlag Basel 1987

Authors and Affiliations

  • Bernhard Kawohl
    • 1
  • Guido Sweers
    • 2
  1. 1.Sonderforschungsbereich 123 der UniversitätHeidelbergWest Germany
  2. 2.Faculteit der Wiskunde en InformaticaTechnische UniversiteitBL DelftThe Netherlands

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