Advertisement

Oscillations of a gas in an open-ended tube near resonance

  • E. Stuhlträger
  • H. Thomann
Original Papers

Abstract

The pressure as function of time was measured near resonance in different axial locations of an open-ended tube. Flow visualisation showed that transition to turbulence was not influenced by the strong disturbance of the open end, except in a region near the open end which had a length of about three particle displacements. The pressure readings were decomposed into the first, second and third harmonic and compared with two different theories. In one case, the linearized theory for the oscillating flow in a tube was fitted to the boundary conditions, the obvious one at the piston and a model at the open end. In the second case, the nonlinear theory of Chester [1] was used. Both theories assume a relation between pressure and velocity at the open end that contains two free constants. The constants were determined by comparing the amplitude of the first and the second harmonic ofone pressure measurement with the theoretical predictions. Once the constants are fixed, the pressurep(ωt, x/L) is completely determined.

For weak nonlinear effects, the pressure is essentially determined by one constantα(=k2) and the second constantβ(=k1) loses its significance. For the range of parameters given there isα=0.825±0.015. A very good approximation of the pressure near resonance can therefore be calculated with the following simple boundary condition at the open end
$$p_E = \frac{{4\alpha }}{{3\pi }}\rho \hat u_E u_E = 0.350 \rho \hat u_E u_E .$$

Both theories predict a resonance frequency slightly above the experimental one. Changing Levine and Schwingers [2], end correction from 0.6133R to 1R eliminates the discrepancy for all tube lengths.

For the first harmonic the variation of the amplitude and the phase of the pressure signal withω andx is very well predicted by both theories. The nonlinear theory describes also the small second and third harmonics fairly well while the linear theory predicts only the correct order of magnitude of these higher harmonics.

The constantα that determines the energy loss at the open end shows an apparent increase if the boundary layer on the tube wall becomes turbulent. This occurs for\(A = 2\hat u/\sqrt {v\omega } \geqq 550\) to 750 which is close to the value observed in a tube with a closed end.

Keywords

Flow Visualisation Nonlinear Theory Axial Location Particle Displacement Simple Boundary 
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

Zusammenfassung

Druckverläufep(t) wurden bei Resonanz an verschiedenen Stellen in einem Rohr mit einem offenen Ende gemessen. Strömungsbeobachtungen zeigten, daß der Umschlag zu Turbulenz von der starken Störung am Rohrende nicht beeinflußt ist, außer in unmittelbarer Nähe des Endes. Die Druckverläufe wurden in die erste, zweite und dritte Harmonische zerlegt und mit zwei Theorien verglichen. Im ersten Fall wurde die lineare akustische Theorie an die Randbedingungen am Kolben und am offenen Ende angepaßt. Im zweiten Fall wurde Chester's nichtlineare Theorie [1] verwendet. Beide Theorien nehmen einen Zusammenhang zwischen Druck und Geschwindigkeit am offenen Ende an, der zwei freie Konstanten enthält. Diese werden durch Vergleich voneinem Meßwert der ersten und der zweiten Harmonischen mit der Theorie bestimmt. Der Druckp(ωt, x/L) ist durch die zwei Konstanten völlig festgelegt.

Für schwache nichtlineare Effekte ist der Druck im wesentlichen durch eine einzige Konstanteα(=k2) festgelegt und die zweite Konstanteβ(=k1) wird bedeutungslos. Für den Bereich der Parameter der gegenwärtigen Versuche wirdα=0.825±0.015. Das Drucksignal in Resonanznähe läßt sich deshalb in sehr guter Näherung mit folgender einfacher Randbedingung berechnen
$$p_E = \frac{{4\alpha }}{{3\pi }}\rho \hat u_E u_E = 0.350 \rho \hat u_E u_E .$$

Beide Theorien sagen eine etwas zu große Resonanzfrequenz voraus. Eine Erhöhung der Endkorrektur von Levine und Schwinger [2] von 0.6133R auf 1R eliminiert diesen Unterschied für alle Rohrlängen.

Beide Theorien beschreiben die Abhängigkeit der ersten Harmonischen des Druckes vonω undx sehr gut.

Die kleine zweite und dritte Harmonische wird von der nichtlinearen Theorie gut beschrieben während die lineare Theorie nur noch die richtige Größenordnung gibt.

Die Konstanteα zeigt eine scheinbare Zunahme wenn die Grenzschicht an der Rohrwand turbulent wird. Dies tritt ein für\(A = 2\hat u/\sqrt {v\omega } \geqq 550\) bis 750. Dieser Wert ist vergleichbar mit Resultaten für Rohre mit einem geschlossenen Ende.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. [1]
    W. Chester,Resonant oscillations of gas in an open-ended tube. Proc. Roy. Soc. LondonA 377, 449 (1981).Google Scholar
  2. [2]
    H. Levine and J. Schwinger,On the radiation of sound from an unflanged circular pipe. Phys. Rev.73, No. 4, 383 (1948).Google Scholar
  3. [3]
    H. Tijdeman,On the propagation of sound waves in cylindrical tubes. J. Sound Vibration39, 1 (1975).Google Scholar
  4. [4]
    W. Chester,Resonant oscillations in closed tubes. J. Fluid Mech.18, 44 (1964).Google Scholar
  5. [5]
    J. J. Keller,Resonant oscillations in closed tubes: the solution of Chester's equation. J. Fluid Mech.77, 279 (1976).Google Scholar
  6. [6]
    B. R. Seymour and M. P. Mortell,Nonlinear resonant oscillations in open tubes. J. Fluid Mech.60, 733 (1973).Google Scholar
  7. [7]
    J. Jimenez,Nonlinear gas oscillations in open tubes. J. Fluid Mech.59, 23 (1973).Google Scholar
  8. [8]
    L. van Wijngaarden,On the oscillations near and at resonance in open tubes. J. Eng. Math.II, 225 (1969).Google Scholar
  9. [9]
    J. H. M. Disselhorst and L. van Wijngaarden,Flow in the exit of open pipes during acoustic resonance. J. Fluid Mech.99, 293 (1980).Google Scholar
  10. [10]
    J. J. Keller,Resonant oscillations in open tubes. J. Appl. Math. Phys. (ZAMP)28, 237 (1977).Google Scholar
  11. [11]
    B. Sturtevant,Nonlinear gas oscillations in pipes, part 2, experiment. J. Fluid Mech.63, 97 (1974).Google Scholar
  12. [12]
    J. J. Keller,Further considerations of resonant oscillations in open tubes. J. Appl. Math. Phys. (ZAMP)33, 590 (1982).Google Scholar
  13. [13]
    B. Sturtevant and J. J. Keller,Subharmonic nonlinear resonance in open tubes, part II, experimental investigations of the open ended boundary condition. J. Appl. Math. Phys. (ZAMP)29, 473, (1978).Google Scholar
  14. [14]
    S. I. Sergeev,Fluid oscillations in pipes at moderate Reynold's numbers. Fluid Dynamics1, 121 (1966).Google Scholar
  15. [15]
    P. Merkli and H. Thomann,Transition to turbulence in oscillating pipe flow. J. Fluid Mech.68, 567 (1975).Google Scholar
  16. [16]
    E. Stuhlträger,Kolbengetriebenene Luftschwingung bei Resonanz im Rohr mit einem offenen Ende. Diss. ETH Zürich, No. 7655 (1984).Google Scholar
  17. [17]
    A. S. Iberall,Attenuation of oscillatory pressures in instrumental lines. J. Res. Nat. Bur. Stand.45, 85 (1950).Google Scholar
  18. [18]
    H. Bergh and H. Tijdemann,Theoretical and experimental results for the dynamic response of pressure measuring systems. Rep. NLR-TR F 238 (1975).Google Scholar
  19. [19]
    N. Rott,Damped and Thermally Driven Acoustic Oscillations in Wide and Narrow Tubes. J. Appl. Math. Phys. (ZAMP)20, 230 (1969).Google Scholar
  20. [20]
    N. Rott, Private communication (1974).Google Scholar

Copyright information

© Birkhäuser Verlag Basel 1986

Authors and Affiliations

  • E. Stuhlträger
    • 1
  • H. Thomann
    • 1
  1. 1.Dept. of AerodynamicsSwiss Federal Institute of TechnologyZurich

Personalised recommendations