Archive for History of Exact Sciences

, Volume 40, Issue 3, pp 247–274

Resolution of singularities of surfaces by P. Del Pezzo. A mathematical controversy with C. Segre

  • Paola Gario
Article

Abstract

We examine in some detail a series of papers published by P. Del Pezzo and C. Segre on the resolution of singularities of algebraic surfaces, trying to point out the main ideas.

In 1888 P. Del Pezzo published a proof of the resolution of singularities of algebraic surfaces using birational transformations. He introduced the notion of “equisingularity” of two surfaces at a point or along a curve. This notion is made specific in a paper of 1889.

C. Segre in his famous paper on “infinitely near multiple points” on a surface published in 1896 shows that Del Pezzo's method does not always produce a smooth surface. During 1897 each author reasserts his point of view in several papers which contain interesting remarks, regardless of their increasingly polemic style.

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Bibliography

  1. 1.
    G. Albanese, Trasformazione birazionale di una superficie algebrica in un'altra priva di punti multipli, Rend. Circ. Mat. Palermo, 48 (1924), 321–332.Google Scholar
  2. 2.
    G. Castelnuovo, Alcune proprietà fondamentali dei sistemi lineari di curve tracciati sopra una superficie algebrica, Ann. di Mat. (2), 25 (1897), 83–96.Google Scholar
  3. 3.
    O. Chisini, La risoluzione delle singolarità di una superficie mediante trasformazioni birazionali dello spazio, Mem. Acc. Sc. Bologna, 8 (1921), 1–42.Google Scholar
  4. 4.
    P. Del Pezzo, Estensione di un teorema di Noether, Rend. Circ. Mat. Palermo, 2 (1888), 139–144.Google Scholar
  5. 5.
    P. Del Pezzo, Sui sistemi di curve e di superficie, Rend. Circ. Mat. Palermo, 3 (1889), 236–240.Google Scholar
  6. 6.
    P. Del Pezzo, Intorno ai punti singolari delle superficie algebriche, Rend. Circ. Mat. Palermo, 6 (1892), 139–154.Google Scholar
  7. 7.
    P. Del Pezzo, Intorno ai punti singolari delle curve algebriche, Rend. Acc. Sc. Napoli (2), 8 (1893), 15–21.Google Scholar
  8. 8.
    P. Del Pezzo, Osservazioni su una memoria del Prof. Corrado Segre e risposta ad alcuni suoi appunti, Atti Acc. Pontaniana, 27 (1897), 1–13.Google Scholar
  9. 9.
    P. Del Pezzo, Replica ad una nota del Prof. Corrado Segre in risposta ad alcune mie osservazioni, Atti Acc. Pontaniana, 27 (1897), 1–7.Google Scholar
  10. 10.
    P. Del Pezzo, Contra Segrem, 6 Luglio 1897, Misc. Amodeo IX-64, Biblioteca Nazionale, Napoli.Google Scholar
  11. 11.
    F. Enriques & O. Chisini, Lezioni sulla teoria geometrica delle equazioni e delle funzioni algebriche, Zanichelli editori, Bologna 1918.Google Scholar
  12. 12.
    G. H. Halphen, Sur les points singuliers des courbes algébriques planes, Comptes Rendus, 78 (1874) (=Oeuvres de G. H. Halphen, t. I, Gauthiers-Villars, Paris 1916; 212–311.)Google Scholar
  13. 13.
    G. H. Halphen, Sur une série de courbes analogues aux développées, Journ. de Math., 2 (1876) (=Oeuvres de G. H. Halphen, t. II, Gauthiers-Villars, Paris 1916; 420–474.)Google Scholar
  14. 14.
    Hamburger, Über die Entwicklung algebraischer Functionen, Zeitsch. für Math., 16 (1871), 461–483.Google Scholar
  15. 15.
    H. Hironaka, Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero, Ann. of Math., 79 (1964), 109–326.Google Scholar
  16. 16.
    G. Kobb, Sur la Théorie des fonctions algébriques de deux variables, Journ. de Math. pures et appl., (4), 8 (1892), 385–412.Google Scholar
  17. 17.
    L. Kronecker, Über die Discriminante algebraischer Functionen einer Variabeln, Journ. für die Reine und angewandte Mathematik, 91 (1881), 301–334.Google Scholar
  18. 18.
    B. Levi, Sulla riduzione delle singolarità puntuali delle superficie algebriche dello spazio ordinario per trasformazioni quadratiche, Ann. di Mat. pura e Appl., (2), 26 (1897), 219–253.Google Scholar
  19. 19.
    B. Levi, Risoluzione delle singolarità puntuali delle superficie algebriche, Atti Acc. Sc. Torino, 33 (1897), 66–86.Google Scholar
  20. 20.
    M. Noether, Ueber die algebraischen Functionen einer und zweier Variabeln, Götting. Nach., (1871), 267–278.Google Scholar
  21. 21.
    M. Noether, Ueber die singulären Werthsysteme einer algebraischen Function und die singulären Punkte einer algebraischen Curve, Math. Ann., 9 (1876), 166–182.Google Scholar
  22. 22.
    M. Noether, Anzahl der Moduln einer Classe algebraischer Flächen, Sitzungsberichte d. K. Preuss. Ak. d. W. zu Berlin, 26 (1888), 123–127.Google Scholar
  23. 23.
    M. Noether, Les combinaisons caractéristiques dans la transformation d'un point singulier, Rend. Circ. Mat. Palermo, 4 (1890), 89–108.Google Scholar
  24. 24.
    G. Salmon, Traité de Géométrie analytique (Courbes planes), Gauthier-Villars, Paris 1884.Google Scholar
  25. 25.
    C. Segre, Sulla scomposizione dei punti singolari delle superficie algebriche, Ann. di Mat. pura e appl., (2), 25 (1897), 1–54 (=Opere di Corrado Segre, Edizioni Cremonese, (I), Roma 1957, 327–379).Google Scholar
  26. 26.
    C. Segre, Intorno ad una mia Memoria “Sulla scomposizione dei punti singolari delle superficie algebriche”, Atti Acc. Sic. Torino, 32 (1896–97), 781–789.Google Scholar
  27. 27.
    C. Segre, Su un problema relativo alle intersezioni di curve e superficie, Atti Acc. Sci. Torino, 33 (1897), 19–23.Google Scholar
  28. 28.
    F. Severi, Trasformazione birazionale di una superficie algebrica qualunque in una priva di punti multipli, Rend. Acc. Naz. Lincei, (5), 23 (1914), 527–539.Google Scholar
  29. 29.
    G. Veronese, Behandlung der projectivischen Verhältnisse der Räume von verschiedenen Dimensionen durch das Princip des Projicirens und Schneidens, Math. Ann., 19 (1882), 161–234.Google Scholar
  30. 30.
    R. Walker, Reduction of the singularities of an algebraic surface, Ann. of Math., 36 (1935), 336–365.Google Scholar
  31. 31.
    O. Zariski, Algebraic Surfaces, Springer-Verlag Berlin 1935.Google Scholar
  32. 32.
    O. Zariski, The reduction of the singularities of an algebraic surface, Ann. of Math., 40 (1939), 639–689.Google Scholar
  33. 33.
    O. Zariski, Simplified proof for the resolution of the singularities of a surface, Ann. of Math., 43 (1942), 583–593.Google Scholar
  34. 34.
    O. Zariski, Equisingular points on algebraic varieties, Seminari dell'Istituto Nazionale di Alta Matematica, 1962–63, Ed. Cremonese, Roma, 1964, 164–177.Google Scholar
  35. 35.
    O. Zariski, Studies in equisingularity I. Equivalent singularities of plane algebroid curves, Amer. Journ. Math., 87 (1965), 507–536.Google Scholar
  36. 36.
    O. Zariski, Studies in equisingularity II. Equisingularity in co-dimension 1 (and characteristic zero), Amer. Journ. Math., 87 (1965), 972–1006.Google Scholar
  37. 37.
    O. Zariski, Some open questions in the theory of singularities, Bull. Amer. Math. Soc., 77 (1971), 481–491.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1989

Authors and Affiliations

  • Paola Gario
    • 1
  1. 1.Dipartimento di MatematicaUniversità di MilanoItaly

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