Abstract
At the primary level, the equivalence of two fractions is generally thought of in terms of equal quantities that share a common whole as a reference. It is understood as an expression of absolute size rather than as a ratio. In addition, given the challenge of taking multiplicative relationships into account when comparing fractions, techniques for tackling these complexities are in high demand, with teachers seeking them out as much as students. It therefore seems pertinent to examine the didactic conditions that can be relied on to enable students to gain a thorough understanding of equivalent fractions. In our research, we used a teaching sequence that covered various interpretations of fractions in order to foster an understanding of fractions as a multiplicative structure. This article presents three scenarios from our sequence, showing how equivalence was worked out in accordance with the particular interpretation (or interpretations) of fractions at play for each. The variety of scenarios proposed promotes the development of strategies that differ according to the constraints inherent in each scenario, thus offering multiple starting points for comprehending the notion of equivalence.
Résumé
Au primaire, l’équivalence de deux fractions est généralement associée à l’égalité des quantités en prenant appui sur un même tout de référence. Elle est donc interprétée comme l’expression de grandeurs absolues plutôt qu’en termes de rapport. De plus, en raison du défi que représente la prise en compte de relations multiplicatives dans la comparaison de fractions, des techniques permettant de contrecarrer cette complexité sont souvent recherchées, et ce, tant par les enseignants que par les élèves. Il apparait ainsi pertinent de s’interroger sur les conditions didactiques sur lesquelles il est possible de s’appuyer pour permettre aux élèves de rencontrer l’équivalence des fractions dans sa complexité. Dans notre recherche, nous avons misé sur une séquence d’enseignement qui couvre différentes interprétations de la fraction de manière à favoriser l’appropriation de la fraction en tant que structure multiplicative. Cet article présente trois situations de notre séquence en mettant en évidence, pour chacune d’elles, le travail sur l’équivalence engagé selon la ou les interprétations de la fraction convoquées. La variété des situations proposées favorise l’élaboration de stratégies qui diffèrent selon les contraintes propres à chacune des situations et permet ainsi d’approcher la notion d’équivalence à partir de diverses entrées.
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Notes
Précisons que Kieren (1976) considère quatre interprétations: mesure, quotient, rapport et opérateur. La notion partie/tout apparait plutôt, pour lui, comme une conception de base sur laquelle se greffent les quatre interprétations. Behr et al. (1983) considèrent cependant la notion partie/tout comme une cinquième interprétation.
L’étude de Desjardins et Hétu remontant à l’année 1974, il est probable que cet apprentissage a maintenant lieu plus tôt si on considère que la fraction est traitée plus tôt et de manière plus riche dans les programmes actuels.
Précisons que l’équivalence des fractions est l’un des cas de figure de la comparaison de fractions: quand on compare les fractions a/b et c/d, soit a/b < c/d, soit a/b > c/d, soit a/b = c/d.
Ces élèves étaient identifiés, dans leur milieu scolaire, comme faibles ou en difficultés d’apprentissage en mathématiques. Ce choix visait à mettre à l’épreuve certaines conditions spécifiques qui ne sont pas traitées dans cet article.
Les variables didactiques consistent en des éléments choisis par l’enseignant pour modifier les stratégies de solution des élèves en vue de les amener vers le savoir visé par l’enseignement.
Précisons néanmoins, à titre d’information, que dans la deuxième situation, qui s’inspire d’une situation élaborée par Douady et Perrin-Glorian (1986), les élèves doivent exprimer la mesure d’un segment à partir d’une bande-unité. Deux fractions sont alors jugées comme équivalentes si elles expriment une même longueur de segment (interprétation mesure). Quant à la quatrième situation, qui s’appuie sur un énoncé de problème de type rapport (Lamon 2008), deux fractions sont jugées comme équivalentes s’il y a égalité entre les deux rapports qu’elles expriment ou encore si la division des termes des deux rapports exprimés conduit à un même quotient.
Un contexte est considéré comme intramathématique lorsqu’on se réfère uniquement à des objets, des symboles ou des structures mathématiques, et qu’aucun thème extérieur au monde des mathématiques n’est évoqué (OCDE 2012).
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L’article porte sur une recherche réalisée dans le cadre de la thèse (inédite) de la première auteure. La deuxième auteure est la directrice de recherche.
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Houle, V., Giroux, J. Interprétations de la fraction et enseignement/apprentissage des fractions équivalentes au primaire. Can. J. Sci. Math. Techn. Educ. 19, 321–333 (2019). https://doi.org/10.1007/s42330-018-0033-0
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