Sur les normes cyclotomiques et les conjectures de Leopoldt et de Gross-Kuz’min

Abstract

We use $\ell$-adic class field theory to take a new view on cyclotomic norms and Leopoldt or Gross-Kuz’min conjectures. By the way we recall and complete some classical results. We illustrate the logarithmic approach by various numerical examples and counter-examples obtained with PARI.

Résumé

À la lumière de la Théorie $\ell$-adique du corps de classes, nous dressons un bref panorama des propriétés arithmétiques des groupes de normes cyclotomiques en liaison avec les conjectures de Leopoldt et de Gross. Nous revenons pour les compléter sur quelques résultats classiques que nous illustrons au moyen des classes et unités logarithmiques par divers exemples et contre-exemples obtenus avec PARI.

Appendices

Appendice

Le principe de Hasse dans la Théorie $\ell$-adique du corps de classes

Classiquement le principe de Hasse affirme que dans une extension cyclique L / K de corps de nombres les éléments de $K^\times$ qui sont normes locales partout sont exactement les normes globales.

Par plongement du groupe multiplicatif $K^\times$ dans le groupe des idèles $J_K$, cela s’écrit :

Théorème. (Principe de Hasse) Dans une extension cyclique L / K de corps de nombres, on a :

$$\begin{aligned} K^\times \cap N_{L/K}(J_L) = N_{L/K}(L^\times ). \end{aligned}$$

Et ce résultat s’étend trivialement au cas procyclique comme suit :

Scolie

Dans une extension procyclique L d’un corps de nombres K, on a de même :

$$\begin{aligned} K^\times \cap N_{L/K}(J_L) = N_{L/K}(L^\times ). \end{aligned}$$

en convenant de définir les sous-groupes normiques global et local comme intersections respectives des mêmes sous-groupes associés aux sous-extensions (cycliques) finies F / K de L / K:

$$ \begin{aligned} N_{L/K}(L^\times )= \underset{K\subset F\subset L}{\bigcap } N_{F/K}(F^\times )\quad \& \quad N_{L/K}(J_L)= \underset{K\subset F\subset L}{\bigcap } N_{F/K}(J_F). \end{aligned}$$

Le but du présent appendice est d’expliquer comment ce principe se transpose dans le contexte de la Théorie $\ell$-adique du corps de classes. Bien qu’utilisé ici et là dans la description des unités logarithmiques, ce résultat ne fait pas l’objet, en effet, d’un énoncé explicite dans les textes fondateurs de l’arithmétique $\ell$-adique comme [23] ou [28]. Il nous a donc paru utile d’en donner ici une courte preuve pour la commodité du lecteur, les groupes de normes cyclotomiques jouant un rôle central dans le présent article.

Rappelons que si $\mathcal R_{K_{\mathfrak p}}=\varprojlim K_{\mathfrak p}^\times /K_{\mathfrak p}^{\times \ell ^m}$ désigne le compactifié $\ell$-adique du groupe multiplicatif $K_{\mathfrak p}^\times$ du complété de K en la place ${\mathfrak p}$, le $\ell$ -adifié du groupe des idèles est défini comme le produit $\mathcal J_K=\prod _{\mathfrak p}^\mathrm {res}\mathcal R_{K_{\mathfrak p}}$ des compactifiés $\mathcal R_{K_{\mathfrak p}}$ restreint aux familles $({\mathfrak x}_{\mathfrak p})_{\mathfrak p}$ dont presque tous les éléments tombent dans le sous-groupe unité $\,\mathcal U_K=\prod _{\mathfrak p}\mathcal U_{K_{\mathfrak p}}$, où $\,\mathcal U_{K_{\mathfrak p}}$ s’identifie au $\ell$-groupe $\mu _{K_{\mathfrak p}}$ des racines de l’unité dans $K_{\mathfrak p}$ d’ordre $\ell$-primaire, pour ${\mathfrak p}\not \mid \ell$; à celui des unités principales, pour ${\mathfrak p}\mid \ell$. Et que le plongement diagonal de $K^\times$ dans le groupe des idèles $J_K$ induit un morphisme injectif du $\ell$-adifié $\,\mathcal R_K=\mathbb {Z}_\ell \otimes K^\times$ du groupe multiplicatif $K^\times$ dans le $\ell$-adifié $\,\mathcal J_K$; ce qui permet de regarder $\,\mathcal R_K$ comme un sous-module de $\,\mathcal J_K$ (cf. [23] ou [28]). Avec ces notations, il vient :

Théorème 31. (Principe $\ell$-adique de Hasse) Dans une $\ell$-extension cyclique de corps de nombres L / K, on a l’identité normique :

$$\begin{aligned} \mathcal R_K \cap N_{L/K}(\mathcal J_L) = N_{L/K}(\mathcal R_L). \end{aligned}$$

Et le même résultat vaut encore lorsque $L/K=K_{\infty }/K$ est une $\mathbb {Z}_\ell$-extension, avec les conventions :

$$ \begin{aligned} N_{K_{\infty }/K}(\mathcal R_{K_\infty })= \underset{n\in \mathbb N}{\bigcap } N_{K_n/K}(\mathcal R_{K_n})\quad \& \quad N_{K_{\infty }/K}(\mathcal J_{K_\infty })= \underset{n\in \mathbb N}{\bigcap } N_{K_n/K}(\mathcal J_{K_n}), \end{aligned}$$

où $K_n/K$ décrit les étages finis de degrés respectifs $[K_n:K]=\ell ^n$ dans la tour $K_{\infty }/K$.

Preuve. Considérons une $\ell$-extension cyclique L / K de degré, disons, $\ell ^n$ et partons d’un idèle principal ${\mathfrak x}_K\in \mathcal R_K\cap N_{L/K}(\mathcal J_L)$. Notons $x\mapsto x^\otimes$ le $\mathbb Z$-morphisme naturel de $K^\times$ dans $\,\mathcal R_K$ et observons que la classe de ${\mathfrak x}_K$ modulo $\,\mathcal R_K^{\ell ^n}$ est représentée par l’image $x_K^\otimes$ d’un élément $x_K$ de $K^\times$ (qui est défini de façon unique à une puissance $\ell ^n$-ième près). Par construction, nous avons ${\mathfrak x}_K=x_K^\otimes {\mathfrak y}_K^{\ell ^n}$ pour un ${\mathfrak y}_K\in \mathcal R_K$. Par hypothèse, l’élément $x_K^\otimes$ est ainsi une norme locale i.e. contenu dans le sous-module $N_{L/K}(\mathcal J_L)$ de $\,\mathcal J_K$; de sorte que $x_K$ est lui-même dans le sous-groupe $N_{L/K}(J_L)$ de $J_K$. D’après le principe de Hasse classique, c’est donc la norme d’un élément global $y_L\in L^\times$. Il suit ${\mathfrak x}_K=N_{L/K}(y_L^\otimes ) {\mathfrak y}_K^{\ell ^n}=N_{L/K}(y_L^\otimes {\mathfrak y}_K)\in N_{L/K}(\mathcal R_L)$, comme attendu.

Remarque. Pour chaque premier $p\ne \ell$, l’élément p étant inversible dans l’anneau $\mathbb {Z}_\ell$, chaque élément de $\,\mathcal R_K$ est une puissance $p^n$-ième pour tout $n\in \mathbb N$, donc banalement norme dans toute p-extension L / K. Le principe $\ell$-adique de Hasse n’a donc d’intérêt que dans les (pro-)$\ell$-extensions.

Index des principales notations

Nous recensons ci-dessous les principales notations utilisées dans le corps de l’article.

Notations latines

K::

un corps de nombres arbitraire ; $K_{\mathfrak p}$: le complété de K en la place ${\mathfrak p}$;

$K_{\infty }$ :

$= \cup _{n \in \mathbb N} K_n$ avec $[K_n :K]= \ell ^n$: la $\mathbb {Z}_\ell$-extension cyclotomique de K;

$K_n^{bp}$::

la composée des $\ell$-extensions abéliennes de $K_n$ localement $\mathbb Z_\ell$-plongeables ;

$Z_n$::

le compositum des $\mathbb Z_\ell$-extensions de $K_n$; et $Z_\infty$ leur réunion ;

$K_\infty ^{cd}$ ::

la pro-$\ell$-extension abélienne localement triviale maximale de $K_\infty$;

$E_{K_n}$ ::

le groupe des unités de $K_n$ et $E'_{K_n}$ le groupe des $\ell$-unités ;

$r_K, c_K$::

les nombres respectifs de places réelles et complexes du corps K;

$\mathbb T_\ell = \varprojlim \mu _{\ell ^n}$ : :

le module de Tate ; et $\overline{\mathbb T}_\ell$: le module opposé (cf. §9).

Notations anglaises (cf. §1)

$\mathcal R_K=\mathbb {Z}_\ell \otimes _\mathbb ZK^\times$::

le $\ell$-adifié du groupe multiplicatif du corps K;

$\mathcal R_{K_{\mathfrak p}} = \varprojlim K^\times _{\mathfrak p}/K^{\times \ell ^m}_{\mathfrak p}$::

le compactifié $\ell$-adique du groupe multiplicatif $K^\times _{\mathfrak p}$;

$\mathcal U_{K_{\mathfrak p}}$::

le sous-groupe unité et $\widetilde{\mathcal U}_{K_{\mathfrak p}}$ le groupe des normes cyclotomiques dans $\mathcal R_{K_{\mathfrak p}}$;

$\mathcal J_K = \prod ^\mathrm {res}_{\mathfrak p}\mathcal R_{K_{\mathfrak p}}$ ::

le $\ell$-adifié du groupe des idèles de K;

$\mathcal U_K=\prod _{\mathfrak p}\mathcal U_{K_{\mathfrak p}}$::

le sous-groupe unité de $\mathcal J_K$;

$\widetilde{\mathcal U}_K=\prod _{\mathfrak p}\widetilde{\mathcal U}_{K_{\mathfrak p}}$::

le sous-groupe des normes cyclotomiques dans $\mathcal J_K$;

$\widetilde{\mathcal C\!\ell }_K=\mathcal J_K/\widetilde{\mathcal U}_K\mathcal R_K$::

le $\ell$-groupe des classes logarithmiques du corps K;

$\mathcal E'_K=\mathbb {Z}_\ell \otimes _\mathbb Z\mathcal E'_K$::

le $\ell$-adifié du groupe des $\ell$-unités de K;

$\mathcal E_K=\mathbb {Z}_\ell \otimes _\mathbb Z\mathcal E_K=\mathcal R_K\cap \,\mathcal U_K$::

le $\ell$-adifié du groupe des unités de K;

$\widetilde{\mathcal {E}}_K=\mathcal R_K\cap \,\widetilde{\mathcal U}_K$::

le $\ell$-groupe des unités logarithmiques de K;

$\widetilde{\mathcal {E}}_{K_\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb N}\,\widetilde{\mathcal {E}}_{K_n}$::

le $\ell$-groupe des unités logarithmiques de $K_\infty$;

$\mathcal E_K^{\,\nu }= N_{K_{\infty }/K}(\widetilde{\mathcal {E}}_{K_\infty })$::

le sous-module des normes logarithmiques (cf. §7); $\root * \of {\mathcal E^{\,\nu }_K} = \{x\in \mathcal R_K\,|\, \exists k\in \mathbb N\quad x^{\ell ^k}\in \mathcal E_K^{\,\nu }\}$ la racine du sous-module $\mathcal E_K^{\,\nu }$ dans $\mathcal R_K$;

$\mathcal {T}_K={\text {Gal}}(K^{cd}_\infty /K_\infty )$::

le module de Kuz’min-Tate attaché au corps K (cf. §2);

$\mathcal F_K$::

le plus grand sous-$\Lambda$-module fini de $\,\mathcal {T}_K$ (cf. §8).

Notations gothiques (cf. §10)

${\mathfrak R}_{K_\infty } = (\mathbb Q_\ell /\mathbb Z_\ell ) \otimes _\mathbb ZK_\infty ^\times$::

le radical universel attaché au corps $K_\infty$ ;

${\mathfrak N}_{K_\infty }=\big \{\ell ^{-m}\otimes x \in \mathfrak R_{K_\infty }\,|\, \{\zeta _{\ell ^ m},x\}=1\big \}$::

le noyau des symboles universels;

${\mathfrak H}_{K_\infty }=\big \{\ell ^{-m}\otimes x \in \mathfrak R_{K_\infty }\,|\, (\frac{\zeta _{\ell ^{{\scriptscriptstyle { m }}}},\,x}{{\mathfrak p}_{\infty }})=1,\;\forall {\mathfrak p}_\infty \big \}$::

le noyau des symboles de Hilbert ;

${\mathfrak Z}_{K_\infty }$::

le radical du compositum des $\mathbb {Z}_\ell$-extensions de tous les $K_n$;

$\mathfrak R_{K_n} = (\mathbb Q_\ell /\mathbb Z_\ell ) \otimes _\mathbb ZK_n^\times =\mathfrak R_\infty ^{\Gamma _{n}}$::

le radical attaché au sous-corps $K_n$;

$\mathfrak N_{K_n}=\overline{\mathbb T}_\ell \otimes (\mathbb {T}_\ell \otimes {\mathfrak N}_{K_\infty } )^{\Gamma _{n}}_{\mathrm {div}}$::

le noyau universel de Tate attaché au corps $K_n$.

${\mathfrak H}_{K_n}=\mathfrak H_\infty ^{\Gamma _{n}}$::

le radical hilbertien attaché au sous-corps $K_n$;

${\mathfrak Z}_{K_n}=\mathbb {T}_\ell \otimes (\overline{\mathbb T}_\ell \otimes {\mathfrak Z}_{K_\infty } )^{\Gamma _{n}}_{\mathrm {div}}$::

le radical du compositum des $\mathbb {Z}_\ell$-extensions de $K_n$;

${\mathfrak E}_{K_n}'$::

le tensorisé $(\mathbb Q_\ell /\mathbb Z_\ell )\otimes _{\mathbb Z}E'_{K_n}$ du groupe des ${\mathfrak l}$-unités ;

$\widetilde{\mathfrak E}_{K_n}$::

le tensorisé $(\mathbb Q_\ell /\mathbb Z_\ell \otimes _{\mathbb Z_\ell }\widetilde{\mathcal {E}}_{K_n}$ du groupe des unités logarithmiques ;

$\mathfrak E^{\,\nu }_{K_n}$::

l’image canonique de $\,\mathcal E_{K_n}^{\,\nu }$ dans $\,\mathfrak R_{K_n}$.

Notations grecques

$\mu _{\ell ^n}$::

le groupe des racines $\ell ^n$-ièmes de l’unité et $\mu _{\ell ^\infty }= \cup _{n\in \mathbb N}\,\mu _{\ell ^n}$;

$\mu _K$, $\mu ^{\phantom {l}}_{K_{\mathfrak p}}$ ::

les $\ell$-groupes de racines de l’unité respectifs de K et $K_{\mathfrak p}$;

$\mu ^{loc}_K=\mathcal R_K\cap \,\prod _{\mathfrak p}\mu _{K_{\mathfrak p}}$,:

le groupe global des racines locales de l’unité ;

$\Gamma \$::

le groupe procyclique ${\text {Gal}}(K_{\infty }/K)$ et $\gamma$ un générateur topologique de $\Gamma$ ;

$\Lambda$ :

$=\mathbb {Z}_\ell [[\gamma -1]]$ l’algèbre d’Iwasawa du groupe $\Gamma$;

$\Gamma _{n}$::

le sous-groupe $\Gamma ^{\ell ^n}={\text {Gal}}(K_{\infty }/K_n)$ et $\omega _n=\gamma ^{\ell ^n}-1$;

$\delta ^{\mathscr {L}}_K=\dim _{\mathbb {Z}_\ell }\mu ^{loc}_K/\mu _K$::

le défaut de la conjecture de Leopoldt dans K;

$\delta ^{\mathscr {G}}_K=\dim _{\mathbb {Z}_\ell }\widetilde{\mathcal {E}}_K/\mathcal E^{\,\nu }_K$::

le défaut de la conjecture de Gross-Kuz’min dans K.