Answer to a question on $A$-groups arisen from the study of Steinitz classes

Abstract

In this short note we provide an answer to a question in group theory raised in [2]. In that paper the author describes the set of realizable Steinitz classes for so-called $A'$-groups of odd order, obtained by iterating some direct and semidirect products. It is clear from the definition that $A'$-groups are solvable $A$-groups, but the author left as an open question whether or not the converse is true. In this note we prove the converse when only two prime numbers divide the order of the group and we show that it is false in general, by exhibiting a family of counterexamples of metabelian $A'$-groups whose order is divisible by exactly three primes. Steinitz classes which are realizable for the groups in this family are computed and we verify that they form a group.

Résumé

Dans cette note, nous répondons à une question de théorie des groupes posée dans [2]. Dans cet article, l’auteur décrit l’ensemble des classes de Steinitz réalisables pour les $A'$-groupes d’ordre impair, obtenus par produits directs et semidirects à partir des groupes abéliens. Il découle de leur définition que les $A'$-groupes sont des $A$-groupes résolubles, et l’auteur pose la question de savoir si la réciproque est vraie. Nous répondons positivement à cette question lorsque l’ordre du groupe est divisible par deux nombres premiers, et nous montrons que la réponse est négative en général, en produisant une famille de contre-exemples via des groupes métabéliens d’ordre divisible par exactement trois nombres premiers. Les classes de Steinitz réalisables pour les groupes de cette famille sont calculées et nous vérifions qu’elles forment un groupe.