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Around the Poincaré Lemma, After Beilinson

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Acta Mathematica Vietnamica Aims and scope Submit manuscript

Abstract

The following notes are an expanded version of talks on Beilinson’s paper as reported by Beilinson (J. AMS 25, 715–738, 2012) given at the department of mathematics of the university of Padova on October 25 and 26, 2012, at the Séminaire RÉGA (Réseau d’Étudiants en Géométrie Algébrique, Institut Henri Poincaré, Paris) on December 12, 2012, lectures at the KIAS (Seoul) on January 3 and 4, 2013, a course at the Morningside Center of Mathematics (Beijing) on February 18, 25, and March 4, 11, 2013, and a course at the VIASM (Hanoi) on September 4, 5, 9, 10, 11, 2014. I do not discuss Beilinson’s next paper as reported by Beilinson (Camb. J. of Math. 1, 1–51, 2013), which deals with refinements of the comparison theorem between p-adic étale cohomology and de Rham cohomology.

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Notes

  1. According to de Rham, ([8], p. 646) this lemma, attributed to Poincaré, was in fact first proved by Volterra. Here is what de Rham writes: “... dans ses Leçons sur la Géométrie des espaces de Riemann, dont la première édition a paru en 1928, E. Cartan donne le nom de Théorème de Poincaré au fait que la différentielle extérieure seconde d’une forme différentielle est toujours nulle, ce qui est d’ailleurs trivial et résulte immédiatement de la définition de cette différentielle extérieure. La réciproque, valable dans l’espace euclidien, n’est pas triviale, et dans ses Leçons sur les invariants intégraux, parues en 1922, E. Cartan démontre le théorème et sa réciproque sans mentionner Poincaré ni personne d’autre. Et aujourd’hui, c’est cette réciproque qui est assez couramment appelée lemme de Poincaré. Or ces propositions sont parfaitement énoncées et démontrées dans des travaux de Volterra (voir en particulier: Opere matematice, Vol. I, p. 407 et 422) datant de 1889; on y trouve aussi la formule de Stokes sous sa forme générale, ainsi d’ailleurs que - sous un autre nom il est vrai - la notion de forme harmonique dans l’espace euclidien. Il est clair que Cartan n’a pas eu connaissance de ces travaux, sinon il n’aurait pas manqué de les citer et de rendre justice à Volterra”.

  2. This means that for any geometric point x of X with image y in Y, \(\mathbf {Z}[M_{x}/\mathcal {O}^{\ast }_{(X,x)}]\) is flat over \(\mathbf {Z}[L_{y}/\mathcal {O}^{\ast }_{(Y,y)}]\), see ([17], 4.1).

  3. not commutative, but having an E ∞ -structure

  4. If we put on \(\text {Spec\,} \mathcal {O}_{\overline {K}}\) the canonical log structure given by the open subset \(\text {Spec\,} \overline {K}\), we would get an isomorphic transitivity triangle, see (5.1).

  5. Here it would be more elegant to use the language of Lurie’s derived ∞-categories alluded to in the remark above.

  6. see § 3 (b) Logarithmic variants for the notation.

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Acknowledgements

I wish to thank Cédric Pépin for a very careful reading of a first draft of these notes and the correction of many typographical errors. I also thank Ahmed Abbes, JongHae Keum, and Weizhe Zheng for comments.

I am grateful to the organizers of the Séminaire RÉGA for the invitation, and I extend warm thanks to the department of mathematics of the University of Padova, the KIAS, the Morningside Center, and the VIASM for their hospitality and support.

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Authors and Affiliations

  1. Mathématique, Bât. 425, Université Paris-Sud, 91405, Orsay Cedex, France

    Luc Illusie

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  1. Luc Illusie
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Illusie, L. Around the Poincaré Lemma, After Beilinson. Acta Math Vietnam 40, 231–253 (2015). https://doi.org/10.1007/s40306-015-0139-7

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