The rational iteration method by Georges Lemaître

Abstract

We explain in this article how the famous Belgian astronomer and physicist Georges Lemaître, a specialist in the theory of relativity, rediscovered, during the Second World War from Gauss’ work, Aitken’s Δ² process. He called his discovery the rational iteration method and used it to solve an ordinary differential equation. After giving some historical elements on Aitken’s Δ² process and Steffensen’s method, we examine in detail the genesis of the rational iteration, and then its application by Lemaître to Picard’s iterates to solve the differential equation $y^{\prime }=dy/dx= 2y^{2}(y-x)$.

Appendix

1.1 Review of Aitken’s article in the Jahrbuch

On Bernoulli’s numerical solution of algebraic equations, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 46, 289–305.

Die Bernoulli sche Methode zur numerischen Auflösung einer algebraischen Gleichung

$$g (x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} + \cdots + a_{n} = 0 $$

beruht auf folgendem Satze: Wird bei beliebigen Anfangsgliedern durch die Rekursionsgleichung

$$a_{0} f(t + n) + a_{1}f(t + n - 1) + \cdots + a_{n} f(t) = 0 $$

die Folge f(t) bestimmt, so ist

$$\lim\limits_{t\to\infty} \frac{\overline{f(t + 1)}}{f(t)} = z_{1}, $$

wobei z₁ die Wurzel vom größten absoluten Betrage bedeutet; allerdings muß noch vorausgesetzt werden, daß die andern Wurzeln sämtlich von kleinerem Betrage sind als z₁.

Diese Bernoulli sche Formel verallgemeinert nun Verf. dahingehend, daß die Möglichkeit gegeben wird, sämtliche Wurzeln gleichzeitig zu bestimmen.

Setzt man nämlich f_m(t) gleich, der Determinante

$$| f(t + \lambda - \kappa)| \qquad (\kappa, \lambda = 1, 2, \dots, m), $$

so ist

$$\lim\limits_{t\to\infty}\frac{f_{m}(t + 1)}{f_{m}(t)} = z_{1} z_{2} \dots z_{m} $$

wobei $z_{1}, z_{2}, \dots , z_{n}$ die Wurzeln von g(x) = 0 in absteigender Ordnung nach ihrem absoluten Betrage bedeuten und vorausgesetzt wird, daß|z_m| > |z_m+ 1| sei.

Die Praxis bietet auch für die Falle, in denen die allgemeine Formel versagt, Möglichkeiten, die Wurzeln einer algebraischen Gleichung nach der Regel zu bestimmen, die durch den angegebenen Satz angedeutet ist. Diese Möglichkeiten werden in den weiteren Abschnitten der Arbeit an Hand einiger Beispiele diskutiert.

Im weiteren Verlauf der Untersuchungen werden aus dem Vorangehenden noch Methoden hergeleitet, schärfere Approximationen der Wurzeln zu erzielen.

Zum Schluß wird die Methode des Verf. noch mit ändern verglichen, insbesondere mit der Methode von Fürstenau (Darstellung der reellen Wurzeln algebraischer Gleichungen durch Determinanten der Coefficienten, Marburg 1860), die als ein Spezialfall (bei passender Wahl der Anfangselemente der Folge f(t)) erscheint. (IV 17.)

W.; Dr. (Königsberg i. Pr.)

1.2 Review of Steffensen’s article in the Jahrbuch

Steffensen, J. F.

Remark on iteration, Skand. Aktuarietidskrift, 16 (1933) 64–72.

Wird die zu lösende Gleichung auf die Form x = f(x) gebraucht, und setzt man x_ν+ 1 = f(x_ν), so ergibt sich ein guter Annäherungswert aus einer Folge dreier Werte x₀,x₁,x₂ durch

$$x = x_{0} - \frac {({\varDelta} x_{0})^{2}}{{\varDelta}^{2}x_{0}}.$$

Lorey, W.; Prof. (Frankfurt am Main)

1.3 Review of the first Lemaître’s article in the Jahrbuch

Anschließend an eine von Gauß in der Theoria motus entwickelte Methode gibt Verf. ein Verfahren an, aus mehreren durch einfache Iteration gewonnenen Näherungswerten einen neuen besseren Wert zu gewinnen. Für eine Gleichung mit einer Unbekannten ergibt sich unter der Annahme, daß die Funktion in dem in Frage kommenden Gebiet linear angenähert werden darf, aus der Verträglichkeitsbedingung der drei Gleichungen

$$x_{2} = f(x_{1}) = a + bx_{1}, \quad x_{3} = f(x_{2}) = a + bx_{2}, \quad x = f(x) = a + bx $$

der neue Näherungswert

$$x = \frac{x_{1} x_{3} - {x_{2}^{2}}}{x_{1} - 2x_{2} + x_{3}}. $$

Der Vorteil dieser Formel ist der, daß man auch zum Ziel kommt, wenn die Folge der Näherungswerte x₁, x₂, x₃ nicht gegen x konvergiert (das Verfahren stimmt mit einem von Steffensen, Skand. Aktuarietidskr. 16 (1933), 64–72 (F. d. M. 58, 535) gegebenen überein). Bei Gleichungen mit mehreren Unbekannten erhält man für jede der Unbekannten eine entsprechende Gleichung.

Zum Schluß wird kurz auf die Anwendung des Verfahrens auf Differentialgleichungen eingegangen. Dabei unterscheidet Verf. eine Iteration durch Integration und eine durch Differentiation.

Willers, F.; Prof. (Dresden)

1.4 Review of the second Lemaître’s article in the Jahrbuch

Intégration d’une équation différentielle par itération rationnelle.

Acad. Belgique, Bull. Cl. Sci., (5) 28 (1942) 815–825.

Das in der vorstehend besprochenen Arbeit beschriebene Verfahren wird auf die Gleichung

$$\frac{dy}{dx} = 2y^{2} (y - x) $$

angewendet. Aus einer ersten Näherung y₁ werden zwei weitere durch

$$\frac{1}{y_{2}} = 2 \int_{x}^{\infty} (y_{1} - x)dx \ \text{ und } \ y_{0} - x = -\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\frac{1}{y_{1}} $$

gewonnen und aus diesen in der angegebenen Art eine neue Näherung berechnet. Gesucht wird eine Lösung im Intervall $0 \leq x \leq \infty$, die die Gerade y = x als Asymptote hat. Ausgegangen wird von der Wendepunktskurve der Differentialkurven

$$2y_{1}(y_{1} - x)(3y_{1} - 2x) = 1, $$

die zunächst punktweise mit dem Argumentsschritt Δx = 0,1 von x = 0 bis x = 3 berechnet wird. Dazu wird y₀ gebildet und berechnet und weiter durch numerische Integration y₂. Die aus diesen drei Näherungen berechnete neue ist auf sechs Dezimalen genau. Für große x wird nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten eine asymptotische Reihe bestimmt, aus der sich für x = 3 bis auf sechs Stellen der gleiche Wert ergibt wie der oben berechnete. Angabe der Resultate in Tabellen.

Willers, F.; Prof. (Dresden)