Geometric compactification of moduli spaces of half-translation structures on surfaces

Abstract

In this paper, we give an equivariant compactification of the space ${\mathbb {P}}{\text {Flat}}(\Sigma )$ of homothety classes of half-translation structures on a compact, connected, orientable surface $\Sigma$. We introduce the space ${\mathbb {P}}{\text {Mix}}(\Sigma )$ of homothety classes of mixed structures on $\Sigma$, that are ${\text {CAT}}(0)$ tree-graded spaces in the sense of Drutu and Sapir, with pieces which are ${\mathbb {R}}$-trees and completions of surfaces endowed with half-translation structures. Endowing ${\text {Mix}}(\Sigma )$ with the equivariant Gromov topology, and using asymptotic cone techniques, we prove that ${\mathbb {P}}{\text {Mix}}(\Sigma )$ is an equivariant compactification of ${\mathbb {P}}{\text {Flat}}(\Sigma )$, thus allowing us to understand in a geometric way the degenerations of half-translation structures on $\Sigma$. We finally compare our compactification to the one of Duchin–Leininger–Rafi, based on geodesic currents on $\Sigma$, by the mean of the translation distances of the elements of the covering group of $\Sigma$.

Résumé

Dans cet article, on construit une compactification équivariante de l’espace ${\mathbb {P}}{\text {Flat}}(\Sigma )$ des classes d’homothétie de structures de demi-translation sur une surface $\Sigma$ compacte, connexe, orientable. On définit l’espace ${\mathbb {P}}{\text {Mix}}(\Sigma )$ des classes d’homothétie de structures mixtes sur $\Sigma$, qui sont des structures arborescentes, au sens de Drutu et Sapir, ${\text {CAT}}(0)$, dont les piéces sont des arbres réels ou des complétés de surfaces munies de structures de demi-translation. En munissant ${\text {Mix}}(\Sigma )$ de la topologie de Gromov équivariante, et en utilisant des techniques de cônes asymptotiques à la Gromov, on montre que ${\mathbb {P}}{\text {Mix}}(\Sigma )$ est une compactification équivariante de ${\mathbb {P}}{\text {Flat}}(\Sigma )$, ce qui nous permet de comprendre géométriquement les dégénérescences de structures de demi-translation sur $\Sigma$. On compare ensuite cette compactification à celle de Duchin–Leininger–Rafi, qui utilise des courants géodésiques, en passant par les distances de translation des éléments du groupe de revêtement de $\Sigma$.