About functions on the dyadic group and Walsh series

Abstract

For functions defined on the dyadic group, the behavior of the ratio

$$\frac{{\left| {f(x + h) - f(x)} \right|}}{{w\left( h \right)}}$$

is investigated, as well as its certain analogoues on the classes H ^(ω) _p (G). The following problem is also consided: how many coefficients of the Fourier-Walsh functions from L ₂ (G) satisfy the inequality

$$\left| {a_n (f)} \right| \geqslant C\omega _k^{(2)} (f), 2^k \leqslant n < 2^{k + 1} ,$$

, where $k \in \mathbb{N}$. The proved assertions are analogous with those results that the present author proved earlier on the real axes.

абстрактный

Для функциИ, определенных на двоичноИ группе, в статье рассматривается поведение отношения

$$\frac{{\left| {f(x + h) - f(x)} \right|}}{{w\left( h \right)}}$$

и некоторых его аналогов на классах H ^(ω) _p (G). Рассмотрен также вопрос о том, как много коэффициентов Фуре-Уолша функциИ из L ₂ (G) удовлетворяет неравенству $\left| {a_n (f)} \right| \geqslant C\omega _k^{(2)} (f), 2^k \leqslant n < 2^{k + 1}$. Доказанные утверждения являются аналогами результатов, полученных автором ранее на числовоИ прямоИ.