Skip to main content
SpringerLink
Log in

Brianchon and Poncelet’s joint memoir, the nine-point circle, and beyond

  • Published:
Archive for History of Exact Sciences Aims and scope Submit manuscript

Abstract

In this paper, we give a thorough account of Brianchon and Poncelet’s joint memoir on equilateral hyperbolas subject to four given conditions, focusing on the most significant theorems expounded therein, and the determination of the “nine-point circle”. We also discuss about the origin of this very rare example of collaborative work for the time, and the general challenge of finding the nature of the loci described by the centres of the conic sections required to pass through m points and to be tangent to n straight lines given in position, m + n = 4, which was posed at the end of their work. In the case m = 4, i.e. when the conic sections have to pass through the vertices of a quadrilateral, the locus of centres is another conic section passing through the intersection points of the opposite sides and the two diagonals of the quadrilateral, respectively, and, as Gergonne showed analytically shortly after, through other significant points connected with the quadrilateral; this curve was later given the name of the “nine-point conic”, being a natural generalization of the above mentioned circle.

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this article

Log in via an institution

Price excludes VAT (USA)
Tax calculation will be finalised during checkout.

Instant access to the full article PDF.

Institutional subscriptions

Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4
Fig. 5
Fig. 6
Fig. 7
Fig. 8
Fig. 9
Fig. 10
Fig. 11
Fig. 12

Similar content being viewed by others

Notes

  1. In his paper, Mackay traced the history of the nine-point circle from the late 1700s to the end of the nineteenth century, presenting several proofs of the theorem appeared during that time.

  2. For instance, there are no other examples of joint works in the entire collection (1810–1831) of Gergonne’s Annales.

  3. Which is part of the study of the properties of (not necessarily linear) pencils of conic sections.

  4. In the 1860s, now in his seventies, Poncelet feeling that his major work, the Traité des propriétés projectives des figures. (1822b), had not been sufficiently appreciated, wanted to reissue it, and shortly before to publish the two-volume of Applications d’analyse et de géométrie (Poncelet 1862, 1864), which comprised the notebooks from his time in Saratov as prisoner of war (see also the next section), his early published memoirs; the correspondence exchanged with Terquem; and the memoir presented in 1820 to the Academy of Paris, including Cauchy’s report upon it. For what Poncelet explicitly wrote in the introductions to the two volumes, we must credit him for having remained faithful to the original documents. Moreover, as regards the correspondence with Terquem, it seems to us that the history of the publications of Poncelet’s memoirs in the very late 1810s, and what followed in the Traité, confirm what we learn from the letters published in (1864).

  5. See Sect. 6 in this paper.

  6. For the influence of Brianchon on Poncelet’s geometrical work, see also (Del Centina 2021).

  7. In August 1812, Poncelet joined the Napoleonic army on the Russian front. After the defeat in the Battle of Borodino, Napoleon ordered the army to withdraw from Moscow. During the retreating the French Armée was attacked in forces by the Russian, and in the Battle of Krasnoi, on 19 November 1812, Poncelet was left for dead on the battlefield. Captured by the enemies he was held in captivity in Saratov, four thousand miles from Moscow. After the Treaty of Paris was signed in May 1814, establishing peace among the Countries involved in the war, Poncelet was released and he was able to return to France.

  8. During his captivity, Poncelet wrote seven notebooks, called by him Cahiers de Saratoff, see (Belhoste 1998), in which on the basis of what he had learned from the reading of Carnot (1803) and Brianchon (1806), (1810), he gathered together the geometrical reflexions and results that, once perfected, constituted the basis of the Traité (1822b).

  9. Servois had taught at the Metz lycée when Poncelet was a student there; and more than fifty years later Poncelet recalled him as “My old teacher and honourable friend” (1864, 538).

  10. See the letter to O. Terquem dated November 23, 1818, (Poncelet 1864, 533).

  11. “Les recherches dont il s’agit devaient précéder la publication de mes recherches sur les section coniques, etc.; mais, ainsi que j’ai déjà eu l’honneur de le mander à M. Servois, après avoir beaucoup écrit sur ce sujet, j’avais fini par l’abandonner entièrement, en en retenant toutefois ce qui était indispensables pour l’intelligence de la partie des applications. Comme j’ai déjà donné à votre savant conservateur du Musée d’artillerie quelques détails sur cette nouvelle rédaction de mon travail, je crois inutile de m’y arrèter de nouveau; en conséquence, je ne vous entretiendrai que de l’objet de mes premières recherches, sur lesquelles je pourrai bien revenir un jour, si l’on juge qu’elles en valent la peine, et qu’elles puissent intéresser les progrès de la Géométrie”.

  12. “vous fixerez l’incertitude et le doute que m’empèchent jusqu’à ce jour de rien faire paraitre; car, il faut bien que je le dise, voulant baser toutes mes recherches sur l’admission du principe de la continuité en Géométrie et de toutes les conséquences métaphysiques qu’il entraine, j’appréhende, en leur donnant le jour, du contrarier les idées ordinairement reçues, et de ne point obtenir l’assentiment des hommes éclairés que je veux précisément prendre pour juges”.

  13. It seems to imply that Poncelet and Brianchon communicated directly, but unfortunately Poncelet did not publish this correspondence, and in the inventory of the fond Poncelet preserved at the École polytechnique there is no trace of this.

  14. Later published in (Poncelet 1864, 296–362).

  15. We wonder why Brianchon did not directly inform Poncelet.

  16. “Il me dit qu’il n’a trouvé rien à reprendre dans votre écrit, quelques expressions exceptées; qu’on devrait de suite procéder à l’impression, affine de hâter l’apparition du second Mémoire que vous annoncez dans la premier. La doctrine est neuve, piquante et d’une vérité incontestable”.

  17. Terquem’s letter on September 19, 1819, (Poncelet 1864, 543).

  18. See the letter of Terquem on January 12, 1820, (Poncelet 1864, 552).

  19. Idem.

  20. This memoir is printed in (Poncelet 1864, 365–454).

  21. See (Poncelet 1864, 441, footnote), and also (Del Centina 2021).

  22. Although the report was signed also by Arago and Poisson, it is a fairly widespread opinion it was written by Cauchy, see for instance (Grattan-Guinnes 1990, 708–709), (Nabonnand 2006, 51–52), (Gray 2007, 47), (Lorenat 2015).

  23. “On verra par là que j’ai cherché à mettre à profit, dans mon nouveau travail, quelques-unes des réflexions et des remarques consignées dans ce rapport”, (1822, vi).

  24. For an in-depth discussion of Brianchon’s works see (Del Centina 2021).

  25. It was Brianchon to call it “problème général” (Brianchon 1817, 53).

  26. We notice that (Del Centina 2021) does not dwell with these specific arguments.

  27. This was explained at length in the Considérations philosophiques submitted to his three friends.

  28. For reader’s convenience, we recall the statement of Newton’s theorem: In every (complete) quadrilateral inscribed in a conic section, the three mid-points of the diagonals are on a unique straight line, which also passes through the centre of the curve. So its converse is: The centres of all conic sections tangent to any four straight lines given in a plane, lie on a same straight line which passes through the three mid-points of the diagonals of the complete quadrilateral formed by these lines.

  29. This statement was soon corrected by Poncelet in the letter that he addressed to Gergonne in December 1821, see later on in this section.

  30. Poncelet provided a new proof in (Poncelet 1821); by resorting to (Brianchon 1817, Arts. V, XIX). Gergonne already knew this proof when he wrote his article (1821), see later on in this section.

  31. “Quel que soit le mérite de ces diverses recherches, on ne doit pas désespérer toutefois de parvenir un jour à les faire dépendre comme cas particulier d’un problème unique: celui où il s’agit de décrire une conique qui en touche cinq autres données sur un plan; problème que nous avons proposé (Tom. VIII, pag.248) et qui est peut-être susceptible d’une construction élégante et d’un facile énoncé. C’est ainsi que nous sommes parvenus à faire dériver la solution des dix problèmes de Viète et des quinze problèmes de Fermat sur les contacts des cercles et des sphères de celle du plus difficile d’entre eux (Voyez tom. IV, p. 349, tom. VII, p.289, et tom XI, pag1)”.

  32. “je supprime ici une note où M. Gergonne, rappelant son élégante et générale solution du problème des spheres et des cercles tangents, émet, comme moyen d’émulation permis au rédacteur d’un Journal, l’opinion que le problème proposé, p. 254 du t. VIII des Annales, où il s’agit de décrire une conique qui en touche cinq autres sur un plan, est peut-être susceptible d’une construction élégante et facile. Mais l’Article ci-après et ses propres recherches analytiques, insérées au t. XI des Annales, ont dû convaincre M. Gergonne qu’il n’en pouvait être ainsi”.

  33. On these topics see for instance (Fridelmeyer 2010, 150–154), (Lorenat 2015), and (Gerini 2016).

  34. On this controversy between Poncelet and Gergonne, see (Lorenat 2015).

  35. It seems that Gergonne used his prerogatives as an editor to delay the publication of (Poncelet 1822a).

  36. Gergonne did not give a reference, but (Poncelet 1821).

  37. It seems that Poncelet was heavily engaged in projects of fortification, drawn bridges, etc. (1864, 527).

  38. “ En vous adressant, Monsieur, ces recherches rédigées à la hâte, je n’ai nullement la prétention de croire que, telles qu’elles sont, elles soient dignes de figurer dans votre recueil; je sens combien il leur manque, en regrette vivement que mes occupations ne m’aient pas permis, dans le temps, de les réunir à celles, sur le même sujet, que vous avez eu la bonté de publier à la page 109 du présent volume, de manière à en former un tout qui pût complètement faire le pendant de ce que vous avez vous-même donné à la page 379 de votre XI.e volume. La chose eût été facile, au moyen du développement de quelques-unes des propositions concernant le cas particulier du cercle. Il faut dire aussi qu’il me répugnait de mettre en avant des principes non encore connus des géomètres, et qui devaient, plus tard, faire le fond d’un ouvrage que j’avais et que j’ai toujours l’intention de publier. Quoique je sois toujours dans la même situation d’esprit, j’ai cru devoir cependant vous faire part des moyens à l’aide desquels je suis parvenu depuis longtemps aux résultats consignés à la fin de l’article sur l’hyperbole équilatère. Inséré à la page 205 de votre XI.e volume; d’autant que, ces résultats étant fautifs quant a leur énoncé, qui est trop restreint, et différant d’ailleurs en quelques points de ceux auxquels vous avez été conduit par l’analyse algébrique, il était instant de vous mettre à même de rectifier les uns et de faire quadrer les vôtres avec les autres. Je vous abandonne donc ces recherches, Monsieur, en vous laissant le soin d’en tirer le parti le plus convenable”. Gergonne inserted this extract in a footnote at the end of (Poncelet 1822a, 248–249).

  39. For the concept of ideal chord Poncelet referred, in a footnote, to the report of the Academy to his memoir of the projective properties of conic sections, which was printed in the same volume of the Annales.

  40. Poncelet applied one of the principles of projection, see (1820, Sect. e, Theorem XIII). We remark that to perform such a perspective he needed to work in a space not only extended with the elements at infinity but also completed of the imaginary elements; he realised this simply invoking the principle of continuity.

  41. “La corde commune donnée pouvant être aussi bien une corde idéale qu’une corde réelle, relativement à toutes les sections coniques dont il s’agit (*), et le système de ces dernières devant jouir des mêmes propriétés dans les deux cas, on peut, en général, considérer ce système comme la projection ou perspective d’un autre système composé de circonférences de cercles, pour lesquelles la corde ou sécante commune est passée tout entière à l’infini; mais, dans ce nouveau système, les centres des sections coniques seront évidemment représentés par les pôles de la droite qui, sur les plan des sections coniques, est elle-même à l’infini, car la polaire du centre d’une telle courbe est nécessairement à l’infini; donc la question est ramenée à cette autre purement élémentaire: Quel est le lieu des pôles d’une droite donnée, par rapport à une suite de cercles tangents à la fois à deux droites données sur un plan?”.

  42. For a discussion of Brianchon’s memoir and this specific question see (Del Centina 2021).

  43. It is clear that the curves of the centres both pass through the point K′, on the straight line OK, symmetric of K with respect to O (see Fig. 12b).

  44. These memoirs were presented to the Institut in March and April of 1824, respectively. The slowness with which they were examined was source of regret for Poncelet, who finally resorted to publishing them in Crelle’s Journal in 1828 and 1829.

  45. Poncelet did not publish any extract of any correspondence with Brianchon in (1864), and this latter does not appear among the correspondents in Poncelet’s fond preserved in the archives of the École polytechnique. A close scrutiny of Poncelet’s geometrical notes present therein, could possibly give an answer on how their join work actually developed.

  46. For instance, Poncelet cited and quoted Brianchon’s works more than seventy times in his Traité (1822); but for more details see Del Centina (2021).

  47. A classical problem also considered by Euler and Gauss.

  48. In (1828, 38), Steiner proved the following: If through any point P in a plane of a triangle ABC, the perpendicular PA′, PB′, PC′, to the sides are drawn, and the circle through A′, B′, C′, is also drawn cutting the sides at the points A′′, B′′, C′′, the perpendicular to the respective sides through these points all meet in a same point P′, and the drawn circle has its centre in the middle of PP′. If P is the centre of the circle through A, B, C, then A′, B′, C′, are the mid-points of the sides.

  49. Between September 1843 and June 1844, Steiner made a long journey through Italy. In Rome Steiner discovered the so-called Roman surface, and here he was joined by his friend Carl J. Jacobi. The two visited Naples in April 1844 were they met with Trudi who was already engaged in research concerning Poncelet,’s closure theorem. Jacobi encouraged Trudi in the use of elliptic function in the resolution of this problem (Del Centina 2016, 42–52). The note in question was published in Rome, and then reprinted in Crelle’s Journal two years later.

  50. In the note of 1844, Steiner mentioned “the beautiful theorem of Mr. Poncelet”, referring to Poncelet’s closure theorem for the case of a triangle simultaneously inscribed in a conic section and circumscribed about another, of which Jacobi had recently given a proof by means of elliptic functions, see (Del Centina 2016).

  51. Trudi’s proof proceeds exactly as Gergonne’s.

  52. For more information on the subsequent various rediscovering of the nine-point conic, and the later developments due.

    to Eugenio. Beltrami we refer to (Vaccaro 2020).

References

  • Belhoste, B. 1998, De l’École polytechnique à Saratoff, les premiers travaux géométriques de Poncelet, SABIX (Société des amis de la bibliothèque et de l’histoire de l’École polytechnique).

  • Brianchon, C.-J. 1806. Sur les surfaces courbes du second degré. Journ. de l’école Polytechniques 6: 297–311.

    Google Scholar 

  • Brianchon, C.-J. 1810. Solutions de plusieurs problèmes de géométrie. Journ. de l’école Polytechniques 10: 1–15.

    Google Scholar 

  • Brianchon, C.-J. 1817. Mémoire sur le lignes du second ordre, faisant suite aux recherches publiées dans les journaux de l’École polytechnique. Paris: Bachelier.

    Google Scholar 

  • Brianchon, C.-J. 1818. Application de la théorie des transversales. Paris: Bachelier.

    Google Scholar 

  • Brianchon, C.-J., and J.-V. Poncelet. 1821. Recherches sur la détermination d’une hyperbole équilatère, au moyen de quatre conditions données. Annales de Mathématiques Pures et Appliquées 11: 205–220.

    Google Scholar 

  • Brianchon, C.-J. 1823. Des courbes de raccordement. Journal de l’école Polytechnique 12: 187–203.

    Google Scholar 

  • Carnot, L. 1803, Géométrie de position, Paris, J. Duprat.

  • Coste, L.M.P. 1818. Propriétés peu connues de la parabole, et construction de cette courbe, au moyen de quatre conditions données. Annales de Mathématiques Pures et Appliquées 8: 261–284.

    Google Scholar 

  • Del Centina, A. 2016. Poncelet’s porism: A long story of renewed discoveries, I. Archive Hist. Exact Sci. 70: 1–122.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  • Del Centina, A. 2021, Carnot’s theory of transversals and its application by Servois and Brianchon: the awakening of synthetic geometry in France, Archive for History of Exact Sciences, 76, 45–128 (2022).

  • Friedelmeyer, J.-P. 2010, L’impulsion originelle de Poncelet dans l’invention de la géométrie projective, in “Éléments d’une biographie de l’Espace projectif” Ed. L. Bioesmat-Martagon, Presses Universitaires de Nancy, pp. 5–158.

  • Gergonne, J.D. 1821. Solution du première problème de géométrie proposes a la page 228 de ce volume. Annales de Mathématiques Pures et Appliquées 11: 379–400.

    Google Scholar 

  • Gergonne, J.D. 1822. Reflexions sur le precedent article. Annales de Mathématiques Pures et Appliquées 12: 249–253.

    MathSciNet  Google Scholar 

  • Gerini, C. 2016, Joseph-Diaz Gergonne (1771–1859), professeur et recteur d’Académie à Montpellier. Éditeur du premier grand journal de l’histoire des mathématiques et de leur enseignement, les Annales de Gergonne (1810–1831), History and Pedagogy of Mathematics, Jul. 2016, Montpellier, France, hal-01349223.

  • Grattan-Guinnes, I. 1990. Convolutions in French mathematics, 1800–1840. Basel AG: Springer.

    Book  Google Scholar 

  • Gray, J. 2007. Worlds out of nothing, A course in the history of geometry in the 19th century. London: Springer.

    MATH  Google Scholar 

  • Lorenat, J. 2015. Polemics in Public : Poncelet, Gergonne, Plücker, and the Duality Controversy. Science in Context 28 (4): 545–585.

    Article  Google Scholar 

  • Mackay, J.S. 1892. History of the nine-point circle. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 11: 19–57.

    Article  Google Scholar 

  • Maclaurin, C. 1748, A Treatise of Algebra in three Parts…to which is added an Appendix concerning the general properties of Geometrical Lines, London, A. Millar and J. Nourse.

  • Nabonnand, P. 2006, Contributions à l’histoire de la géométrie projective au 19e siècle, hal-01082207, https://hal.archives-ouvertes.fr. /hal-01082207.

  • Newton, I. 1687, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Londini, Typis J. Streater.

  • Poncelet, J.-V. 1817a. Théorèmes nouveaux sur les lignes du second ordre. Annales de Mathématiques Pures et Appliquées 8: 1–14.

    Google Scholar 

  • Poncelet, J.-V. 1817b. Réflexions sur l’usage de l’analyse algébrique en géométrie, et solutions de divers problèmes dépendant de la géométrie de la règle. Annales de Mathématiques Pures et Appliquées 8: 141–155.

    Google Scholar 

  • Poncelet, J.-V. 1820, Essai sur les propriété projectives des sections coniques, (presented to the Academy on May 1820), published in (Poncelet 1864, 365–454).

  • Poncelet, J.-V. 1821. Démonstration du théorème de Newton sur les quadrilatères circonscrits à une même section conique. Annales de Mathématiques Pures et Appliquées 12: 109–112.

    Google Scholar 

  • Poncelet, J.-V. 1822a. Recherches diverses sur le lieu des centres des sections coniques assujetties a moins de conditions que n’en exige leur détermination complète, renfermant, en particulier, la résolutions des deux problèmes à la page 372 du XIe volume de ce recueil. Annales de Mathématiques Pures et Appliquées 12: 233–248.

    Google Scholar 

  • Poncelet, J.-V. 1822b. Traité des propriétés projectives des figures. Paris: Bachelier.

    Google Scholar 

  • Poncelet, J.-V. 1862. Applications d’analyse et de géométrie, vol. 1. Paris: Gauthier-Villars.

    Google Scholar 

  • Poncelet, J.-V. 1864. Applications d’analyse et de géométrie, vol. 2. Paris: Gauthier-Villars.

    Google Scholar 

  • Steiner, J. 1828. Développement d’une série de théorèmes relatifs aux sections coniques. Annales de Mathématiques Pures et Appliquées 19: 37–64.

    Google Scholar 

  • Steiner, J. 1844, Teoremi relativi alle coniche iscritte e circoscritte, Giornale Arcadico di Scienze Lettere ed Arti, 295, 147–116; reprinted in Journal für die reine und angewandte Mathematik, 30(1846), 97–106.

  • Terquem, O. 1842. Considération sur le triangles rectiligne, d’après Euler. Nouvelles Annales de Mathématiques I: 79–87.

    Google Scholar 

  • Trudi, N. 1856, Memorie relative alle proprietà delle curve del 2° ordine circoscrivibili ad un quadrigono ed alla ricerca della minima tra esse superficie, Memorie della R. Academia delle Scienze di Napoli, 239–284.

  • Trudi, N. 1863. Nota intorno ad una proprietà de cerchio de’ nove punti. Giornale di Matematiche 1: 29–32.

    Google Scholar 

  • Vaccaro, M.A. 2020. Historical origins of the nine-point conic. The Contribution of Eugenio Beltrami. Historia Mathematica 51: 26–48.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

Download references

Author information

Authors and Affiliations

  1. Dipartimento di Matematica e Informatica, Via Machiavelli 30, 44121, Ferrara, Italy

    Andrea Del Centina

Authors
  1. Andrea Del Centina
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Corresponding author

Correspondence to Andrea Del Centina.

Additional information

Communicated by Jeremy Gray.

Publisher's Note

Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.

Rights and permissions

Reprints and permissions

About this article

Check for updates. Verify currency and authenticity via CrossMark

Cite this article

Del Centina, A. Brianchon and Poncelet’s joint memoir, the nine-point circle, and beyond. Arch. Hist. Exact Sci. 76, 363–390 (2022). https://doi.org/10.1007/s00407-022-00286-7

Download citation

  • Received:

  • Accepted:

  • Published:

  • Issue Date:

  • DOI: https://doi.org/10.1007/s00407-022-00286-7

Search

Navigation