Analyse der Dynamik – Systemantworten ermitteln und verstehen

Kapitelvorwort

Wie reagiert ein System auf eine Anregung?

Wie hilft dabei die Laplace-Transformation?

Was ist Stabilität?

Nachdem wir dynamische Systeme und insbesondere Regelkreise nunmehr durch Blockschaltbilder und mathematische Beziehungen modellieren können, erhebt sich sogleich die Frage, welche tieferen Einsichten sich aus diesen Modellen gewinnen lassen. Dieser Frage nach Analysemöglichkeiten dynamischer Systeme gehen wir im Folgenden nach. Dabei wird sich zunächst die Laplace-Transformation als nützliches Werkzeug zur Lösung der systembeschreibenden Differenzialgleichungen erweisen: Die erhaltenen Zeitverläufe der interessierenden Systemgrößen geben genaue Auskunft über das dynamische Verhalten eines Systems. Dabei werden wir auch mit Systemantworten konfrontiert sein, die bei beschränkter Anregung durch Eingangssignale und Anfangswerte über alle Grenzen wachsen und sogenanntes instabiles dynamisches Verhalten aufweisen. Um die Reaktion eines Systems speziell auf harmonische (also sinusförmige) Anregungen schnell zu ermitteln und übersichtlich darzustellen, werden wir die Begriffe des Frequenzgangs und des Bode-Diagramms einführen, die nicht nur in der Regelungstechnik, sondern auch in der Schwingungsmechanik, in der Messtechnik und der Aktorik sowie in der Signalverarbeitung, kurz, in der gesamten Mechatronik, von Bedeutung sind.

Appendices

Antworten zu den Verständnisfragen

Antwort 39.1

$$\begin{aligned}&f(t)=\sin\omega t\\ &\hphantom{f(t)}=\frac{1}{2\mathrm{j}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}-\frac{1}{2\mathrm{j}}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\quad\mbox{\begin{picture}(20.0,10.0)\put(2.0,3.0){\circle{4.0}}\put(4.0,3.0){\line(1,0){13.0}}\put(18.0,3.0){\circle*{4.0}}\end{picture}}\quad\frac{1}{2\mathrm{j}}\cdot\frac{1}{s-\mathrm{j}\omega}\\ &\hphantom{f(t)=}-\frac{1}{2\mathrm{j}}\cdot\frac{1}{s+\mathrm{j}\omega}=\frac{1}{2\mathrm{j}}\cdot\frac{s+\mathrm{j}\omega-s+\mathrm{j}\omega}{(s-\mathrm{j}\omega)(s+\mathrm{j}\omega)}=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\,.\end{aligned}$$

Antwort 39.2

$$f(t)=\sigma(t)-\sigma(t-T)\quad\mbox{\begin{picture}(20.0,10.0)\put(2.0,3.0){\circle{4.0}}\put(4.0,3.0){\line(1,0){13.0}}\put(18.0,3.0){\circle*{4.0}}\end{picture}}\quad F(s)=\frac{1}{s}-\frac{\mathrm{e}^{-sT}}{s}\,.$$

Antwort 39.3

Überlegen Sie, wie die Inverse der diagonalförmigen Matrix $s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}$ lautet und benennen Sie die Elemente der Vektoren $\boldsymbol{c}^{\textrm{T}}$ und b mit c ₁, …, c _n und b ₁,…, b _n . Dann erhalten Sie:

$$G(s)=\frac{c_{1}b_{1}}{s-a_{1}}+\ldots+\frac{c_{n}b_{n}}{s-a_{n}}\,.$$

Antwort 39.4

Mit $u(t)=1$ erhalten Sie $y(t)=t$ (bei $y(0)=0$), also ein unbeschränktes Ausgangssignal. Laut Definition 1 liegt folglich keine Übertragungsstabilität vor.

Antwort 39.5

Gemäß Gl. (39.186) ist $|G|_{\text{dB}}=20\log\frac{1}{\sqrt{2}}=20\log 2^{-\frac{1}{2}}=-10\log 2\approx-3,0103$.

Aufgaben

Im Folgenden finden Sie Aufgaben zu dem im Kapitel besprochenen Thema. Wenn es sich um Rechenaufgaben handelt, ist der Schwierigkeitsgrad angegeben (• leicht, •• mittel, ••• schwer), und eine Ergebniszeile zeigt das zu erwartende Ergebnis.

Die Lösungen zu allen Aufgaben finden Sie auf der Internetseite des Buches.

39.1

• Ein Übertragungsglied sei beschrieben durch die Differenzialgleichung

$$3\ddot{y}(t)+12\dot{y}(t)+12y(t)=\dot{u}(t)+2u(t)\,.$$

Das Eingangssignal sei $u(t)=\mathrm{e}^{-2t}$, alle Anfangswerte seien null. Ermitteln Sie die Lösung $y(t)$ mithilfe der Laplace-Transformation und berechnen Sie mithilfe des Endwertsatzes der Laplace-Transformation den Endwert des Ausgangssignals $y(t\rightarrow\infty)$. Geben Sie die komplexe Übertragungsfunktion $G(s)$ des Systems an.

Hinweis:

Führen Sie die fünf Schritte ab (39.50) durch.

Resultat:

$$y(t)=\frac{1}{3}te^{-2t}\,.$$

Der Endwert des Ausgangssignals lautet 0.

Die Übertragungsfunktion ergibt sich zu $G(s)=\frac{1}{3(s+2)}$.

39.2

••• Ein System sei durch folgende Differenzialgleichung charakterisiert:

$$\ddot{y}+a_{1}\dot{y}+a_{0}y=b_{1}\dot{u}+b_{0}u\,.$$

• 1. Wie lautet die Übertragungsfunktion $G(s)$ zwischen der Eingangsgröße $u(t)$ und der Ausgangsgröße $y(t)$?

• 2. Bestimmen Sie den Endwert des Ausgangssignals $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{y(t)}$ für das sprungförmige Eingangssignal $u(t)=\sigma(t)$ mit dem Endwertsatz der Laplace-Transformation. Unter welcher Voraussetzung ist das Ergebnis gültig?

• 3. Bestimmen Sie $\lim\limits_{t\rightarrow 0}{y(t)}$ mit dem Anfangswertsatz der Laplace-Transformation für das Eingangssignal $u(t)=\bar{\delta}(t)$.

• 4. Bestimmen Sie für die Parameterwerte $a_{1}=4$ und $a_{0}=3$ die Systempole nach (39.156). Ist das System asymptotisch stabil?

• 5. Wie lautet die Impulsantwort $g(t)$ des Systems, wenn man außerdem die Parameterwerte $b_{1}=b_{0}=1$ einsetzt? Geben Sie die Sprungantwort $h(t)$ des Systems an.

• 6. Ist das System mit den gegebenen Parameterwerten übertragungsstabil?

• 7. Ordnen Sie die Sprungantworten nach Abb. 39.47 dem jeweiligen Wert für b ₁ zu: $b_{1}=-1$, $b_{1}=0$, $b_{1}=0{,}2$, $b_{1}=1$, $b_{1}=3$ (dabei ist wiederum $a_{1}=4$, $a_{0}=3$ und $b_{0}=1$).

Sprungantworten bei unterschiedlicher Lage der Nullstelle

Hinweis:

Starten Sie auch hier mit den Schritten ab (39.50).

Resultat:

• 1. $G(s)=\frac{b_{1}s+b_{0}}{s^{2}+a_{1}s+a_{0}}$.

• 2. Unter Annahme von Übertragungsstabilität ist der Endwert $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{y(t)}=\frac{b_{0}}{a_{0}}$.

• 3. $\lim\limits_{t\rightarrow 0}{y(t)}=b_{1}$.

• 4. Das System ist asymptotisch stabil.

• 5. $g(t)=\mathrm{e}^{-3t}$ und $h(t)=\frac{1}{3}\big(1-\mathrm{e}^{-3t}\big)$.

• 6. Das System ist übertragungsstabil.

• 7. Zu den Sprungantworten gehören von oben (hellblau) nach unten (rot) die folgenden Werte von b ₁: $3,1,0,2,0,-1$.

39.3

• Folgendes Zustandsraummodell wurde bei einer Modellierung der Kurzzeitdynamik eines Flugzeuges hergeleitet:

$$\displaystyle\boldsymbol{\dot{x}}=\underbrace{\begin{pmatrix}-1,5&0,75\\ 4&-1\end{pmatrix}}_{\boldsymbol{A}}\boldsymbol{x}+\underbrace{\begin{pmatrix}0,2\\ 10\end{pmatrix}}_{\boldsymbol{b}}\,,\quad\boldsymbol{y}=\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}_{\boldsymbol{c}^{\text{T}}}\,.$$

(39.203)

Untersuchen Sie das System auf Stabilität und berechnen Sie die Übertragungsfunktion!

Hinweis:

Verwenden Sie Kriterium 2a der asymptotischen Stabilität.

Resultat: Das System ist instabil. Die komplexe Übertragungsfunktion $G(s)$ lautet:

$$\displaystyle G(s)=\frac{0,2s+7,7}{s^{2}+2,5s-1,5}\,.$$

(39.204)

39.4

•• Ein in der Regelungstechnik häufig auftretendes Problem ist die Positionsregelung. Die Abbildungen des Wagens und der Festplatte zeigen zwei Beispiele.

Für die folgenden Aufgaben wird der Wagen betrachtet, in ähnlicher Weise könnte man diese auch für das Festplatten-Laufwerk durchführen.

Der Wagen der Masse m werde durch eine Antriebskraft $F_{\text{A}}$ (Stellgröße u) beschleunigt, wobei eine geschwindigkeitsproportionale Reibkraft $F_{\text{R}}=c_{\text{R}}\dot{y}$ entgegenwirkt. Regelgröße sei der Ort y des Wagens.

Stellen Sie die Bewegungsdifferenzialgleichung des Systems auf und geben Sie die komplexe Übertragungsfunktion an.

Positionieren eines Wagens

Positionieren des Schreib-Lesekopfes eines Festplatten-Laufwerks

Hinweis:

Die Summe der angreifenden Kräfte ist gleich $m\ddot{y}$.

Resultat:

$$\displaystyle m\ddot{y}=-F_{\text{R}}+F_{\text{A}}=-c_{\text{R}}\dot{y}+u\,.$$

(39.205)

$$\displaystyle G(s)=\frac{\frac{1}{m}}{s^{2}+s\frac{c_{\text{R}}}{m}}\,.$$

(39.206)

39.5

• Jemand schlägt eine Regelung des gerade betrachteten Positioniersystems vor, bei der die Stellgröße u durch proportionale Verstärkung der Regelabweichung $e=w-y$ berechnet wird, also:

$$\displaystyle u=K_{\text{R}}(w-y)\,.$$

Bestimmen Sie die komplexe Übertragungsfunktion $\bar{G}(s)$, die im so geregelten System den Zusammenhang $Y(s)=\bar{G}(s)W(s)$ zwischen Führungs- und Regelgröße beschreibt.

Hinweis:

Unterziehen Sie die Gleichung der Laplace-Transformation und setzen Sie ein.

Resultat:

$$\bar{G}(s)=\frac{\frac{K_{\text{R}}}{m}}{s^{2}+\frac{c_{\text{R}}}{m}s+\frac{K_{\text{R}}}{m}}\,.$$

39.6

• Für spezielle Werte der Parameter m, $c_{\text{R}}$, $K_{\text{R}}$ (deren Einheiten wir der Übersichtlichkeit halber weglassen) erhält man in der vorherigen Aufgabe:

$$\displaystyle\bar{G}(s)=\frac{25}{s^{2}+10s+25}\,.$$

Berechnen Sie die Pole und beurteilen Sie die Stabilität des Systems.

Hinweis:

Zur Beurteilung der Stabilität des hier vorliegenden geregelten Systems können Sie das bekannte Kriterium der Übertragungsstabilität verwenden.

Resultat:

$$\displaystyle p_{1}=-5\,,\quad p_{2}=-5\,.$$

Das System ist also stabil.

39.7

• Berechnen Sie die Impulsantwort $g(t)$ und die Sprungantwort $h(t)$ des Systems aus Aufgabe 39.6.

Hinweis:

$\dot{h}(t)=g(t)$.

Resultat:

$$\displaystyle g(t)=25t\mathrm{e}^{-5t}\,,\quad h(t)=1-\mathrm{e}^{-5t}-5t\mathrm{e}^{-5t}\,.$$

39.8

• Ermitteln Sie rechnerisch den Anfangs- und den Endwert der Sprungantwort des Systems aus Aufgabe 39.6.

Hinweis:

Es gibt zwei naheliegende Lösungswege.

Resultat:

$$\displaystyle h(t\to 0^{+})=0\,,\quad h(t\to\infty)=1\,.$$

39.9

•• Betrachtet wird das Lager aus Abb. 38.30 mit dem Zustandsraummodell (38.81), (38.82), allerdings mit der Ausgangsgröße $y=x_{1}$. Für spezielle Werte der Parameter m, C und D ergibt sich die Zustandsdarstellung

$$\begin{aligned}\underbrace{\begin{pmatrix}\dot{x}_{1}\\ \dot{x}_{2}\end{pmatrix}}_{\boldsymbol{\dot{x}}}&={}\underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\ -10&-2\end{pmatrix}}_{\boldsymbol{A}}\underbrace{\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{pmatrix}}_{\boldsymbol{x}}{}+{}\underbrace{\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}}_{\boldsymbol{b}}F\\ y&={}\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}_{\boldsymbol{c}^{\text{T}}}\boldsymbol{x}\,,\end{aligned}$$

die wir dimensionslos, d. h. ohne Berücksichtigung der physikalischen Einheiten behandeln. Das Eingangssignal sei $F(t)=\bar{\delta}(t)$ und der Anfangszustand sei $\boldsymbol{x}(t=0)=\textbf{0}$. Wenden Sie auf das obige System die Formeln (39.105) zur direkten Berechnung von $\boldsymbol{X}(s)$ und $Y(s)$ an und ermitteln Sie die Lösung $y(t)$ durch Laplace-Rücktransformation. Berechnen Sie weiterhin die Übertragungsfunktion $G(s)$ direkt aus der Zustandsdarstellung.

Hinweis:

Berechnung der Adjunkte einer $2\times 2$ Matrix:

$$\text{adj}\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}\,.$$

Resultat: Lösung für $y(t)$:

$$\displaystyle y(t)=\frac{1}{3}\mathrm{e}^{-t}\sin(3t)\,.$$

Übertragungsfunktion:

$$G(s)=\frac{1}{s^{2}+2s+10}\,.$$