Numerische Verfahren

Zusammenfassung

Verfasst von P. Ruge

Von allen Teildisziplinen der Mathematik hatte in den letzten 30 Jahren die numerische Mathematik mit ihrer Realisierung auf programmierbaren Rechnern den mit Abstand größten Einfluss auf die Ingenieurwissenschaften. Universelle Lösungsstrategien wie die Finite Element Methode und hocheffektive Algorithmen erlauben die Behandlung von Problemen mit Millionen Freiheitsgraden. Analytische Verfahren treten dabei fast ganz in den Hintergrund und doch haben sie eine wesentliche Funktion bei der Kontrolle von Näherungsergebnissen. So können die Biegeeigenfrequenzen f [Hz] eines beidseitig frei drehbar unverschieblich gelagerten Bernoullibalkens nach Abb. 10.1 als analytische Funktion der Ordnungszahl k angegeben werden.

$$ f = \frac{k^2 \pi}{2}\sqrt{\frac{EI}{l^3 \rho Al}};\quad k = 1,{\ldots},\infty.$$

(10.1)

Die Lösung x einer transzendenten oder einer algebraischen Gleichung f(x) = 0 von mehr als 4. Grad – Wurzel der Gleichung genannt – ist meist nicht explizit angebbar. Daher sind schrittweise bestimmte Näherungswerte $x_{i}$ der Wurzel mit der Genauigkeit ɛ numerisch so zu berechnen, dass $\lim _{{i}\rightarrow\infty} | x_{i}-x| < \varepsilon .$

Anhang

Tab. 10.12 Primzahlen und Faktoren der Zahlen 1 bis 1 000

Tab. 10.13 Evolventenfunktion ${\text{ev}}\alpha =\tan\alpha -{\text{arc}}\alpha$ (neue Schreibweise: ${\text{inv}}\alpha =\tan\alpha -{\text{arc}}\alpha$)

Tab. 10.14 Wichtige Zahlenwerte (g in ms$^{-2}$)