Die Maxwell’schen Gleichungen – Elektromagnetische Wellen

Zusammenfassung

Die Maxwell’schen Gleichungen – ursprünglich formuliert von dem schottischen Physiker James Clerk Maxwell – beschreiben den Zusammenhang zwischen den Vektoren des elektrischen und des magnetischen Felds einerseits und den Quellen dieser Felder, elektrischen Ladungen und Strömen, andererseits. Dabei fassen die Gleichungen experimentelle Beobachtungen zu Elektrizität und Magnetismus zusammen, die in den Gesetzen von Coulomb, Gauß, Biot und Savart, Ampère und Faraday formuliert sind. Alle genannten Gesetze gelten allgemein, mit Ausnahme des Ampère’schen Gesetzes, dessen Gültigkeit auf stationäre und kontinuierliche Ströme beschränkt ist.

Das Very Large Array (VLA) ist ein Interferometer für astronomische Beobachtungen und steht in der Wüste von New Mexico westlich von Socorro. Es umfasst 27 Y-förmig angeordnete Teleskope und wird vom amerikanischen National Radio Astronomy Observatory betrieben. Durch elektronische Korrelation der Messdaten erreicht die Anlage die Winkelauflösung eines Teleskops von 36 km Durchmesser. (© NRAO/AUI.)

? Haben Sie sich schon einmal gefragt, ob die von einer Funkantenne ausgesendete Welle in allen Raumrichtungen gleich ist? (Siehe Beispiel 27.5.)

Appendices

Im Kontext: Kreisel im Magnetfeld

Im Jahr 1972 erhielt Paul C. Lauterbur von der renommierten wissenschaftlichen Zeitschrift Nature einen Brief mit folgendem Inhalt: „Mit Bedauern senden wir Ihnen Ihr Manuskript zurück, das unseres Erachtens nach nicht von ausreichendem Allgemeininteresse ist.“

Inhalt des Artikels war ein neues bildgebendes Verfahren, das allgemein als Magnetresonanztomografie (MRT) oder Kernspintomografie bezeichnet wird. Dieses bildgebende Verfahren nutzt die magnetischen Eigenschaften der Protonen und kommt ohne schädliche Röntgenstrahlen aus.

Da sich die Protonen mit ihrer positiven elektrischen Ladung um ihre eigene Achse drehen, wirken sie als magnetischer Dipol. Befindet sich ein Proton in einem äußeren Magnetfeld, so kann das Verhalten mit einem Spielzeugkreisel verglichen werden. Solange der Kreisel rotiert, kippt er trotz Schiefstellung der Achse nicht um. Das Proton führt eine sogenannte Präzession aus, d. h., die Rotationsachse bewegt sich auf der Mantelfläche eines gedachten Kegels. Die Achse bewegt sich umso schneller, je stärker das äußere Magnetfeld ist. Die Winkelgeschwindigkeit dieser Präzession ist nicht zufällig, sondern direkt proportional zum äußeren Magnetfeld. Dieser Umstand wird in der Magnetresonanztomografie ausgenutzt. Ist die magnetische Feldstärke im Inneren des Patienten bekannt, kann die Präzession der Atomkerne errechnet werden. Die Winkelgeschwindigkeit bzw. die Frequenz der Präzessionsbewegung kann also gezielt eingestellt werden, indem die Feldstärke des äußeren Magnetfelds entsprechend reguliert wird. Alle Magnetresonanztomografen, die in den Kliniken eingesetzt werden, verfügen über ein starkes Magnetfeld. Das Feld soll dabei möglichst homogen sein. Dabei kommen große Spulen zum Einsatz, die mithilfe einer Tieftemperaturkühlung supraleitend werden. Im Inneren dieser Spulen werden die Patienten auf einem Tisch gelagert.

Strahlt man nun zusätzlich eine elektromagnetische Welle mit genau dieser voreingestellten Frequenz in das Innere eines Patienten ein, tritt das Resonanzphänomen auf, und die Energie der elektromagnetischen Welle wird auf das Proton übertragen. Die zusätzliche Energie führt dazu, dass die Rotationsachse des Kreisels umkippt. Genau dieser Effekt kann bei Spielzeugkreiseln beobachtet werden. Tippt man einen rotierten Tischkreisel an, kippt er in Richtung Erdoberfläche und richtet sich wieder auf. Auch ein Proton im Körperinneren richtet sich wieder auf, nachdem die Rotationsachse durch die eingestrahlte elektromagnetische Welle gekippt wurde. Dieser Effekt kann gemessen werden und wird zur Bilddarstellung genutzt. Durch die Kippbewegungen entstehen kleine Änderungen im Magnetfeld. Das Induktionsgesetz besagt, dass Änderungen eines Magnetfelds mithilfe einer Spule gemessen werden können. Daher benötigt ein Magnetresonanztomograf zusätzliche Induktionsspulen, um zuerst elektromagnetische Welle erzeugen und dann die erzeugten Magnetfeldänderungen messen zu können. Wenn ein Patient komplett in einem homogenen Magnetfeld liegt, ist die Präzessionsbewegung aller Wasserstoffatome nahezu gleich. Eine Unterscheidung zwischen Kopf und Füßen ist jetzt nicht möglich. Für die medizinische Diagnostik ist eine genaue Ortsauflösung allerdings wichtig. Wie können dann spezifische Körperregionen untersucht werden? Die Lösung liegt im Einsatz von sogenannten Gradientenspulen. Diese Spulen erzeugen ein zusätzliches Magnetfeld und sind so konstruiert, dass gezielte Änderungen des äußeren Magnetfelds möglich sind. Dadurch ändert sich auch die Winkelgeschwindigkeit der Präzession, und wir können unterschiedliche Schichten ansprechen, indem wir die Frequenz der eingestrahlten elektromagnetischen Welle anpassen. Was 1972 als Utopie erschien, ist heute ein Standardverfahren in der Medizin. Ohne schädliche Strahlen können Schnittbilder des menschlichen Körpers erzeugt werden. Im Jahr 2003 Jahre erhielt Paul C. Lauterbur gemeinsam mit Peter Mansfield für seine grundlegenden Arbeiten auf diesem Gebiet den Nobelpreis für Medizin.

Prof. Dr. Gregor Hohenberg beschäftigt sich mit modernen Lehr- und Lernmethoden. In diesem Zusammenhang hat er die Entwicklung eines Onlinekurses für die Kernspintomografie vorangetrieben. Dieser Kurs wird heute auch in der klinischen Fortbildung eingesetzt.

(© Prof. Dr. Gregor Hohenberg)

Zusammenfassung

	Thema	Wichtige Gleichungen und Anmerkungen
1.	Der Maxwell’sche Verschiebungsstrom	Das Ampère’sche Gesetz lässt sich so verallgemeinern, dass es auch auf Situationen mit nicht stationärem (und räumlich nicht kontinuierlichem) Strom angewendet werden kann. Dazu wird der reale Strom $I$ durch den verallgemeinerten Strom $I+I_{\mathrm{V}}$ ersetzt. $I_{\mathrm{V}}$ ist der Maxwell’sche Verschiebungsstrom: $I_{\mathrm{V}}=\varepsilon_{0}\,\frac{\mskip 2.0mu\mathrm{d}\varPhi_{\mathrm{el}}}{\mskip 2.0mu\mathrm{d}t}\,$   (27.3)
	Verallgemeinerte Form des Ampére’schen Gesetzes	${\displaystyle\oint\limits_{C}}\boldsymbol{B}\cdot\mskip 2.0mu\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\mu_{0}\,\left(I+I_{\mathrm{V}}\right)=\mu_{0}\,I+\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\mskip 2.0mu\mathrm{d}\varPhi_{\mathrm{el}}}{\mskip 2.0mu\mathrm{d}t}$   (27.4)
2.	Die Maxwell’schen Gleichungen	Die Maxwell’schen Gleichungen fassen die Gesetze der Elektrizität und des Magnetismus zusammen.
	Gauß’scher Satz für das elektrische Feld	${\displaystyle\oint\limits_{A}}E_{\mathrm{n}}\,\mskip 2.0mu\mathrm{d}A=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\,q_{\mathrm{innen}}$   (27.6a)
	Gauß’scher Satz für das Magnetfeld (isolierte magnetische Pole gibt es nicht)	${\displaystyle\oint\limits_{A}}B_{\mathrm{n}}\,\mskip 2.0mu\mathrm{d}A=0$   (27.6b)
	Faraday’sches Gesetz (Induktion durch Bewegung nicht enthalten)	${\displaystyle\oint\limits_{C}}\boldsymbol{E}\cdot\mskip 2.0mu\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=-\frac{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}{\mskip 2.0mu\mathrm{d}t}{\displaystyle\int\limits_{A}}B_{\mathrm{n}}\,\mskip 2.0mu\mathrm{d}A=-{\displaystyle\int\limits_{A}}\frac{\partial B_{\mathrm{n}}}{\partial t}\,\mskip 2.0mu\mathrm{d}A$   (27.6c)
	Modifiziertes Ampère’sches Gesetz	${\displaystyle\oint\limits_{C}}\boldsymbol{B}\cdot\mskip 2.0mu\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\mu_{0}\,\left(I+I_{\mathrm{V}}\right)$ $\phantom{\oint\limits_{C}\boldsymbol{B}\cdot\mskip 2.0mu\mathrm{d}\boldsymbol{l}}=\mu_{0}\,I+\mu_{0}\,\varepsilon_{0}{\displaystyle\int\limits_{A}}\frac{\partial E_{\mathrm{n}}}{\partial t}\,\mskip 2.0mu\mathrm{d}A$   (27.6d)
3.	Die Wellengleichung für elektromagnetische Wellen	Aus den Maxwell’schen Gleichungen lässt sich schließen, dass der elektrische und der magnetische Feldvektor im Vakuum einer Wellengleichung genügen: $\frac{\partial^{2}\boldsymbol{E}}{\partial x^{2}}=\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\boldsymbol{E}}{\partial t^{2}}\,$,   (27.8a) $\frac{\partial^{2}\boldsymbol{B}}{\partial x^{2}}=\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\boldsymbol{B}}{\partial t^{2}}\,$.   (27.8b)
4.	Elektromagnetische Strahlung	Der elektrische und der magnetische Feldvektor einer elektromagnetischen Welle stehen senkrecht aufeinander und auf der Ausbreitungsrichtung der Welle. Zwischen den Feldstärken gilt die Beziehung $E=c\,B\,$.   (27.18) Das Vektorprodukt $\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}$ zeigt in die Ausbreitungsrichtung der Welle.
	Geschwindigkeit der Welle	$c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}}}=3{,}00\cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$   (27.1)
	Elektromagnetisches Spektrum	Sichtbares Licht, Rundfunksignale, Röntgenstrahlen, Gammastrahlen, Mikrowellen u. a. gehören zu den elektromagnetischen Wellen und unterscheiden sich lediglich durch ihre Wellenlänge und Frequenz. Das Auge des Menschen kann elektromagnetische Wellen mit Wellenlängen zwischen ungefähr 400 und 780 nm wahrnehmen.
	Elektrische Dipolstrahlung	Beschleunigte freie elektrische Ladungen senden elektromagnetische Wellen aus. Die in einer elektrischen Dipolantenne oszillierenden Ladungen emittieren elektromagnetische Wellen, deren Intensität senkrecht zur Antenne maximal und entlang der Längsachse der Antenne null ist. Senkrecht zur Antenne und weit von ihr entfernt ist das elektrische Feld der elektromagnetischen Welle parallel zur Antenne gerichtet.
	Energiedichte in einer elektromagnetischen Welle	$w_{\mathrm{em}}=w_{\mathrm{el}}+w_{\mathrm{mag}}=\varepsilon_{0}\,E^{2}=\frac{B^{2}}{\mu_{0}}=\frac{E\,B}{\mu_{0}\,c}$   (27.19)
	Intensität einer elektromagnetischen Welle	$I_{\text{em}}=\left\langle w_{\mathrm{em}}\right\rangle\,c=\frac{E_{\mathrm{eff}}\,B_{\mathrm{eff}}}{\mu_{0}}=\frac{1}{2}\,\frac{E_{0}\,B_{0}}{\mu_{0}}=\left\langle\left|\boldsymbol{S}\right|\right\rangle$   (27.20)
	Poynting-Vektor	$\boldsymbol{S}=\frac{\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}}{\mu_{0}}$   (27.21)
	Impuls und Energie einer elektromagnetischen Welle	$p=\frac{E_{\text{em}}}{c}$   (27.24)
	Strahlungsdruck und Intensität	$P_{\mathrm{S}}=\frac{I_{\text{em}}}{c}$   (27.25)

Lösungen der Zusatzaufgaben

• 27.1 $\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{E}=E_{0}^{2}$ und $\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{B}=B_{0}^{2}$

• 27.2 Ungefähr $5\,\mathrm{h}$ für einen $10\,\mathrm{g}$ schweren Schnürsenkel mit einer Geschwindigkeit von $10\,\mathrm{m/s}$ – das bedeutet, mit Lichtstrahlantrieb sind Sie doppelt so lange unterwegs wie mit Schnürsenkelantrieb.

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

27.1

• Richtig oder falsch? a) Die Maxwell’schen Gleichungen gelten nur für zeitunabhängige elektrische und magnetische Felder. b) Die Wellengleichung für elektromagnetische Wellen lässt sich aus den Maxwell’schen Gleichungen herleiten. c) Elektromagnetische Wellen sind Transversalwellen. d) Das elektrische und das magnetische Feld einer elektromagnetischen Welle im Vakuum sind in Phase.

27.2

• Eine senkrecht ausgerichtete Dipolantenne wird als Sender verwendet. Der Empfänger befindet sich einen Kilometer vom Sender entfernt auf gleicher Höhe. a) Wie sollte die Dipolantenne des Empfängers ausgerichtet sein, um das Signal optimal zu empfangen? b) Wie sollte die Ebene einer Ringantenne ausgerichtet sein, um das Signal optimal zu empfangen?

27.3

• Radiowellen können mit Dipol- oder mit Ringantennen empfangen werden. a) Ist das Funktionsprinzip einer Dipolantenne das Faraday’sche Gesetz? Betrachten Sie jetzt eine linear polarisierte Welle, die sich auf Sie zu bewegt. Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? b) Wenn das elektrische Feld einer solchen Welle vertikal oszilliert, kann man das Signal am besten mit einer Ringantenne empfangen, die so orientiert ist, dass die Normale auf ihrer Ebene nach links oder nach rechts zeigt. c) Wenn das elektrische Feld einer solchen Welle in einer horizontalen Ebene oszilliert, dann kann man das Signal am besten mit einer Dipolantenne empfangen, die vertikal ausgerichtet ist.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

27.4

•• Einer der ersten amerikanischen Satelliten, die in den 1950er Jahren erfolgreich auf eine Umlaufbahn gebracht wurden, bestand im Wesentlichen aus einem großen, kugelförmigen Ballon aus aluminiumbeschichteter Mylar-Folie, der Radiowellen reflektierte. Nach einigen Umläufen beobachtete das Bodenpersonal, dass sich die Bahn des Flugkörpers allmählich verschob. Schließlich fand man die bei der Planung nicht berücksichtigte Ursache: den Strahlungsdruck des Sonnenlichts. Schätzen Sie das Verhältnis der Kräfte ab, die der Strahlungsdruck und die Erdanziehung auf den Satelliten ausübten.

27.5

•• Laserkühlung und Atomfallen sind moderne Forschungsgebiete. In beiden Fällen nutzt man die vom Strahlungsdruck herrührende Kraft, um Atome von thermischen Geschwindigkeiten (bei Raumtemperatur mehrere hundert Meter pro Sekunde) auf einige Meter pro Sekunde oder weniger abzubremsen. Isolierte Atome absorbieren Strahlungsenergie nur bei bestimmten Resonanzfrequenzen. Bestrahlt man ein Atom mit Laserlicht einer solchen Frequenz, so findet die sogenannte Resonanzabsorption statt. Der effektive Querschnitt des Atoms ist bei diesem Prozess ungefähr gleich $\lambda^{2}$ (dabei ist $\lambda$ die eingestrahlte Wellenlänge). a) Schätzen Sie die Beschleunigung ab, die ein Rubidiumatom (Molmasse $85\,\mathrm{g/mol}$) durch einen Laserstrahl mit einer Wellenlänge von $780\,\mathrm{nm}$ und einer Intensität von $10\,\mathrm{W/m}^{2}$ erfährt. b) Wie lange dauert es ungefähr, mit diesem Laserstrahl ein Rubidiumatom in einem Gas bei Raumtemperatur (300 K) nahezu zum Stillstand zu bringen?

1.3 Der Maxwell’sche Verschiebungsstrom

27.6

• Die parallel angeordneten Platten eines Kondensators ohne Dielektrikum sind kreisförmig und haben einen Radius von 2,3 cm. Der Abstand zwischen den Platten beträgt 1,1 mm. Mit einer Rate von 5,0 A fließt Ladung von der unteren Platte ab und zur oberen Platte hin. a) Geben Sie die Rate der Änderung des elektrischen Felds zwischen den Platten an. b) Berechnen Sie den Verschiebungsstrom im Bereich zwischen den Platten und zeigen Sie, dass er gleich 5,0 A ist.

27.7

•• Betrachten Sie noch einmal den Kondensator in Aufgabe 27.6 und zeigen Sie, dass das Magnetfeld zwischen den Platten im Abstand $r$ von deren gemeinsamer Achse gegeben ist durch $B=(1{,}9\cdot 10^{-3}\,\mathrm{T/m})\,r$.

27.8

•• Ein Ohm’scher Widerstand und ein Plattenkondensator (ohne Dielektrikum, Fläche der Platten je 0,50 $\mathrm{m^{2}}$) sind in Reihe geschaltet; durch die Schaltung fließt ein Strom von 10 A.  a) Geben Sie den Verschiebungsstrom zwischen den Platten an. b) Mit welcher Rate ändert sich die elektrische Feldstärke zwischen den Platten? c) Berechnen Sie das Integral $\oint_{C}\boldsymbol{B}\cdot\mskip 2.0mu\mathrm{d}\boldsymbol{l}$. Der Integrationsweg $C$ sei ein Kreis mit einem Radius von 10 cm, der parallel zur Ebene der Platten ausgerichtet ist und sich vollständig im Bereich zwischen den Platten befindet.

1.4 Maxwell’sche Gleichungen und elektromagnetisches Spektrum

27.9

• Der größte Teil des Lichts, das uns von der Sonne erreicht, liegt im gelbgrünen Bereich des sichtbaren elektromagnetischen Spektrums. Schätzen Sie die Wellenlänge und die Frequenz dieses Lichts ab.

27.10

• a) Wie groß ist die Frequenz von Röntgenstrahlung mit einer Wellenlänge von $0{,}100\,\mathrm{nm}$? b) Besonders empfindlich ist das menschliche Auge für Licht mit einer Wellenlänge von 550 nm. Wie hoch ist die Frequenz dieser Strahlung? Welche Farbe hat sie? Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem von Aufgabe 27.9 und erläutern Sie Ihre Antwort.

1.5 Elektrische Dipolstrahlung

Hinweis: Die folgenden beiden Aufgaben beziehen sich auf Abb.  27.11 . Die Intensität elektrischer Dipolstrahlung in einem Punkt weit entfernt vom Sender ist proportional zu $(\sin^{2}\,\theta)/r^{2}$ , wobei $\theta$ der Winkel zwischen den Richtungen des Dipolmomentvektors und des Ortsvektors  $\boldsymbol{r}$ des Feldpunkts relativ zum Mittelpunkt der Antenne ist. Das Intensitätsmuster, das eine solche Dipolantenne abstrahlt, hängt nicht vom Azimutwinkel ab. Das bedeutet, dass das Muster symmetrisch bezüglich der Rotation um die Längsachse der Antenne ist.

27.11

•• Ein elektrischer Dipol ist entlang der $z$-Achse ausgerichtet (sein Dipolmoment zeigt dann in $z$-Richtung). Darin ist $I_{\mathrm{em,1}}$ die Intensität der ausgesendeten Strahlung im Abstand $r=10\,\mathrm{m}$ unter dem Winkel $\theta=90^{\circ}$. Geben Sie die Strahlungsintensität $I_{\mathrm{em}}$ an folgenden Positionen an: a) $r=30\,\mathrm{m}$, $\theta=90^{\circ}$; b) $r=10\,\mathrm{m}$, $\theta=45^{\circ}$ und c) $r=20\,\mathrm{m}$, $\theta=30^{\circ}$.

27.12

••• Eine Radiostation sendet mit einer senkrechten Dipolantenne bei einer Frequenz von $1{,}20\,\mathrm{MHz}$; die abgestrahlte Leistung beträgt insgesamt $500\,\mathrm{kW}$. Berechnen Sie die Intensität des Signals $120\,\mathrm{km}$ waagerecht von der Station entfernt.

1.6 Energie und Impuls elektromagnetischer Wellen

27.13

• Die Amplitude einer elektromagnetischen Welle sei $E_{0}=400\,\mathrm{V/m}$. Berechnen Sie a) $E_{\mathrm{eff}}$, b) $B_{\mathrm{eff}}$, c) die Intensität $I_{\mathrm{em}}$ und d) den Strahlungsdruck $P_{\mathrm{S}}$.

27.14

•• a) Eine elektromagnetische Welle mit einer Intensität von $200\,\mathrm{W/m}^{2}$ trifft senkrecht auf ein rechteckiges Stück schwarzer Pappe mit den Seitenlängen $20\,\mathrm{cm}$ und $30\,\mathrm{cm}$. Die Pappe absorbiert die Strahlung zu 100 %. Welche Kraft übt die Strahlung auf das Stück Pappe aus? b) Welche Kraft übte die Strahlung aus, wenn sie nicht absorbiert, sondern zu 100 % reflektiert würde?

27.15

•• Ein Laserpuls mit einer Energie von $20{,}0\,\mathrm{J}$ und einem Strahlradius von $2{,}00\,\mathrm{mm}$ dauert $10{,}0\,\mathrm{ns}$, wobei die Energiedichte während des Pulses gleichmäßig verteilt ist. a) Geben Sie die räumliche Länge des Pulses an. b) Wie groß ist die Energiedichte innerhalb des Pulses? c) Berechnen Sie die Amplituden des elektrischen und des magnetischen Felds im Laserpuls.

27.16

•• Auf einen $10{,}0\,\mathrm{mg}$ schweren Körper, der an einem $4{,}00\,\mathrm{cm}$ langen, dünnen Faden aufgehängt ist, trifft ein 200 ns dauernder Lichtpuls aus einem Laser mit einer Leistung von 1000 MW. Um welchen Winkel wird dieses Pendel aus seiner Ruhelage ausgelenkt, wenn der Körper die Strahlung vollständig absorbiert? (Behandeln Sie das System als ballistisches Pendel; der Körper soll senkrecht nach unten hängen, bevor der Lichtpuls ihn trifft.)

27.17

•• In einen bestimmten Laser sind Spiegel eingebaut, die die Strahlung zu 99,99 % reflektieren. a) Der Laser hat eine mittlere Ausgangsleistung von $15\,\mathrm{W}$. Wie groß ist die mittlere Strahlungsleistung, die auf einen dieser Spiegel fällt? b) Welche Kraft wird dabei durch den Strahlungsdruck ausgeübt?

27.18

•• Das Projekt Breakthrough Starshot will kleine, nur wenige Gramm schwere Sonden mit einer Reisezeit von ca. 20 Jahren zu unseren Nachbarsternen Proxima Centauri oder Alpha Centauri schicken. Damit das funktionieren kann, dürfen die Sonden ihren Treibstoff und Antrieb nicht mittransportieren. Stattdessen sollen die Sonden mit verspiegelten Folien ausgestattet und von der Erde aus mit einem starken Laserstrahl beschleunigt werden. a) Berechnen Sie den Impuls, der von den Photonen in einem Lichtstrahl der Leistung $P$ pro Sekunde weggetragen wird. b) Welche Kraft erfährt die Sonde, wenn sie einen senkrecht von der Erde einfallenden Laserstrahl der Leistung $P=100$ GW komplett reflektiert? c) Wie lange dauert es, bis eine Sonde der Masse $m=10$ g die vorgesehene Reisegeschwindigkeit $c/6$ erreicht? Wie weit fliegt die Sonde in dieser Zeit?

1.7 Die Wellengleichung für elektromagnetische Wellen

27.19

• Zeigen Sie durch direktes Einsetzen, dass die Wellenfunktion

$$\begin{aligned}\displaystyle E_{y}=E_{0}\,\sin(kx-\omega t)=E_{0}\,\sin[k\,(x-ct)]\end{aligned}$$

mit $c=\omega/k$ die folgende Wellengleichung erfüllt:

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{\partial^{2}{\boldsymbol{E}}}{\partial x^{2}}=\frac{1}{c^{2}}\;\frac{\partial^{2}{\boldsymbol{E}}}{\partial t^{2}}\,.\end{aligned}$$

27.20

•• Zeigen Sie, dass jede beliebige Funktion der Form $y(x,t)=f(x-vt)$ oder $y(x,t)=g(x+vt)$ die folgende Wellengleichung erfüllt:

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{\partial^{2}y(x,t)}{\partial x^{2}}=\frac{1}{\upsilon^{2}}\;\frac{\partial^{2}y(x,t)}{\partial t^{2}}\,.\end{aligned}$$

1.8 Allgemeine Aufgaben

27.21

• Zeigen Sie, dass die Einheit des Poynting-Vektors $\boldsymbol{S}=(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B})/\mu_{0}$ Watt pro Quadratmeter ist (also gleich der SI-Einheit für die Intensität einer elektromagnetischen Welle), wenn $E$ in Volt pro Meter und $B$ in Tesla eingesetzt werden.

27.22

•• Für die von einer Radiostation abgestrahlte elektrische Feldstärke gilt in einer bestimmten Entfernung vom Sender $E=(1{,}00\cdot 10^{4}\,\mathrm{N/C})\;\cos[(1{,}00\cdot 10^{6}\,\mathrm{rad/s})\,t]$, wobei $t$ in Sekunden einzusetzen ist. a) Welche maximale Spannung baut sich entlang eines 50,0 cm langen Drahts auf, der in Feldrichtung orientiert ist? b) Welche Spannung kann maximal in einer Leiterschleife mit einem Radius von $20{,}0\,\mathrm{cm}$ induziert werden, und wie muss die Schleife dazu ausgerichtet sein?

27.23

•• Zeigen Sie, dass die Gleichung

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{\partial B_{z}}{\partial x}=-\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial E_{y}}{\partial t}\end{aligned}$$

für $I=0$ aus der Gleichung

$$\begin{aligned}\displaystyle\oint_{C}\boldsymbol{B}\cdot\mskip 2.0mu\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\int_{A}\,\frac{\partial E_{\mathrm{n}}}{\partial t}\,\mskip 2.0mu\mathrm{d}A\end{aligned}$$

folgt. Integrieren Sie dazu entlang eines geeigneten Wegs $C$ und über eine geeignete Fläche $A$; orientieren Sie sich an der Herleitung der Gleichung

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{\partial E_{y}}{\partial x}=-\frac{\partial B_{z}}{\partial t}\,.\end{aligned}$$

27.24

••• Die Mittelpunkte der runden parallelen Platten eines Kondensators mit dem Radius $r_{\mathrm{P}}$ sind durch einen dünnen Draht miteinander verbunden, der den Ohm’schen Widerstand $R$ hat; der Abstand zwischen den Platten ist $d$. An den Platten liegt eine zeitabhängige Spannung $U_{0}\,\sin\omega t$ an. a) Welcher Strom fließt durch den Kondensator? b) Geben Sie das Magnetfeld zwischen den Platten als Funktion des radialen Abstands $r$ von der Mittellinie an. c) Geben Sie die Phasenverschiebung zwischen Strom und angelegter Spannung an.

27.25

••• Eine intensive Punktquelle mit einer Leistung von 1,00 MW strahlt isotrop (d. h. in alle Raumrichtungen gleichmäßig) Licht ab. Sie befindet sich 1,00 m oberhalb einer unendlich ausgedehnten, ideal reflektierenden Ebene. Geben Sie einen Ausdruck für die Kraft an, die der Strahlungsdruck auf die Ebene ausübt.

27.26

••• Durch den Strahlungsdruck der Sonne werden kleine Teilchen aus dem Sonnensystem hinaus„geweht“. Betrachten Sie kugelförmige Teilchen mit dem Radius $r$ und einer Dichte von $1{,}00\,\mathrm{g/cm}^{3}$, die über einen effektiven Querschnitt $\uppi\,r^{2}$ sämtliche Strahlung absorbieren. Die Teilchen befinden sich im Abstand $d$ von der Sonne, die eine Gesamtleistung von $3{,}83\cdot 10^{26}\,\mathrm{W}$ abgibt. a) Bei welchem kritischen Teilchenradius $r_{\mathrm{k}}$ gleichen sich die von der Strahlung ausgeübte Abstoßungskraft und die Anziehungskraft der Sonne infolge der Gravitation gerade aus? b) Welche Teilchen verlassen unser Sonnensystem – solche mit einem kleineren oder solche mit einem größeren Radius als dem kritischen Wert? Erläutern Sie Ihre Antwort.