Fouriertheorie – von schwingenden Saiten

Zusammenfassung

Die Fouriertheorie ist eines der Gebiete der modernen Mathematik mit der breitesten Anwendung. In den meisten Wohnungen stehen heute Fernseher, CD- und DVD-Spieler und Verstärker, alles Geräte, die es ohne die moderne Signalverarbeitung nicht geben würde. Die mathematische Grundlage dafür ist die Fouriertheorie.

In diesem Kapitel wollen wir uns zum einen mit Fourierreihen, zum anderen mit der diskreten Fouriertheorie beschäftigen. Die kontinuierliche Fouriertransformation bleibt zunächst außen vor und wird im Kap. 33 zu Integraltransformationen behandelt. Während wir die Fourierreihen noch im Wesentlichen mit der uns bekannten Mathematik behandeln können, benötigt die Fouriertransformation für eine mathematisch korrekte Darstellung weitaus mehr Mittel.

Die Idee der Fouriertheorie ist es, beliebige Funktionen als Überlagerung von Schwingungen mit festen Frequenzen darzustellen. Es war schon der Grundgedanke von Fourier im 18. Jahrhundert, dass dies für beliebige periodische Funktionen möglich sei. Auch wenn sich diese ganz generelle Idee als falsch herausstellte, hat sich das Prinzip als sehr fruchtbar erwiesen.

Ist die Aufteilung einer Funktion (oder eines Signals) in seine Frequenzkomponenten erreicht, so ist Filterung oder Verstärkung einzelner Frequenzen beliebig möglich. Dass die Ermittlung dieser Komponenten in der Praxis effizient zu bewerkstelligen ist, ist der Verdienst der sogenannten schnellen Fouriertransformation.

Appendices

Zusammenfassung

1.1 Linearkombination der trigonometrischen Monome bilden die trigonometrischen Polynome

Definition der trigonometrischen Polynome

Ein trigonometrisches Polynom vom Grad $n$ ist eine Funktion $p:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ der Form

$$\displaystyle p(x)=\sum_{k=-n}^{n}c_{k}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx},\quad x\in\mathbb{R},$$

mit Koeffizienten $c_{k}\in\mathbb{C}$.

Statt mit den komplexen trigonometrischen Monomen $\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}$ können die trigonometrischen Polynome auch mit den trigonometrischen Funktionen ausgedrückt werden. Dies liefert die reelle Darstellung

$$\displaystyle p(x)=a_{0}+\sum_{k=1}^{n}\left[a_{k}\,\cos(kx)+b_{k}\,\sin(kx)\right].$$

1.2 Approximation im quadratischen Mittel

In der Fouriertheorie versucht man Funktionen durch trigonometrische Polynome zu approximieren. Um gute Approximationen zu erhalten, kann ein Skalarprodukt verwendet werden. Bei der Approximation im quadratischen Mittel nutzt man das $L^{2}$-Skalarprodukt

$$\displaystyle\langle p,q\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}p(x)\,\overline{q(x)}\,\mathrm{d}x.$$

Die normierten trigonometrischen Monome bilden eine Orthonormalbasis auf dem Raum $T$ der trigonometrischen Polynome.

1.3 Funktionen, die sich nur auf Nullmengen unterscheiden, werden im $L^{2}$-Sinn miteinander identifiziert

Das $L^{2}$-Skalarprodukt ist für diejenigen Funktionen $f$ anwendbar, für die das Integral

$$\displaystyle\int_{\pi}^{\pi}|f(x)|^{2}\,\mathrm{d}x$$

existiert. Diese Funktionen bilden den Raum $L^{2}(-\pi,\pi)$ der quadratintegrierbaren Funktionen auf $(-\pi,\pi)$. Dabei werden Funktionen identifiziert, wenn sie sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden.

1.4 Das Fourierpolynom einer Funktion ist die beste Approximation aus $T$ im Sinne des quadratischen Mittels

Definition des Fourierpolynoms

Das Fourierpolynom $p_{n}$ vom Grad $n$ zu einer Funktion $f\in L^{2}(-\pi,\pi)$ ist definiert als

$$\displaystyle p_{n}(x)=\sum_{k=-n}^{n}c_{k}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx},\quad x\in\mathbb{R},$$

mit den Fourierkoeffizienten

$$\displaystyle c_{k}=\frac{1}{2\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\,\mathrm{d}x.$$

Es ist das eindeutig bestimmte trigonometrische Polynom aus $T_{n}$, welches $f$ im quadratischen Mittel am besten approximiert.

Für gerade oder ungerade Funktionen gibt es spezielle Darstellungen der Fourierkoeffizienten, die von den besonderen Eigenschaften dieser Funktionen Gebrauch machen und die Rechnungen vereinfachen.

1.5 Fourierreihen

Fourier’scher Entwicklungssatz

Die Folge $(p_{n})$ der Fourierpolynome zu einer Funktion $f\in L^{2}(-\pi,\pi)$ konvergiert im quadratischen Mittel gegen $f$, d. h.

$$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|p_{n}(x)-f(x)|^{2}\,\mathrm{d}x\longrightarrow 0\quad(n\to\infty).$$

Die in diesem Sinne konvergente Reihe

$$\displaystyle\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\right)$$

mit den Fourierkoeffizienten $(c_{k})$ von $f$ heißt Fourierreihe.

Ferner gilt die Parseval’sche Gleichung

$$\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}|c_{k}|^{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^{2}\,\mathrm{d}x\,.$$

Im Allgemeinen konvergieren Fourierreihen nur in dem im Entwicklungssatz angegebenen Sinn. Insbesondere muss die Fourierreihe an irgendeiner festen Stelle überhaupt nicht konvergieren.

Für glatte Funktionen sind jedoch weitergehende Aussagen möglich. Ist die Ableitung einer Funktion $f$ stückweise stetig, so konvergiert die Fourierreihe punktweise. Es gilt die Formel

$$\displaystyle\frac{f(x+)+f(x-)}{2}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}.$$

Eine Fourierreihe darf man gliedweise integrieren. Das Ergebnis ist stets wieder eine Reihe, die eine $L^{2}$-Funktion darstellt, es ist aber nicht deren Fourierreihe.

Auch gliedweises Differenzieren ist möglich, wenn man fordert, dass die Funktion $f$ stetig und ihre Ableitung stückweise stetig ist. In diesem Fall ist das Ergebnis die Fourierreihe der Ableitung.

1.6 Für eine Funktion mit einem Sprung konvergiert die Fourierreihe niemals gleichmäßig

Bei Funktionen mit Sprüngen tritt an den Sprungstellen das Gibbs’sche Phänomen auf. Egal wie hoch man den Grad des Fourierpolynoms wählt, gibt es immer Stellen, an denen das Fourierpolynom um eine feste Größe von der ursprünglichen Funktion abweicht. Dies widerspricht der gleichmäßigen Konvergenz in der Nähe der Sprungstelle.

Bei periodischen Funktionen fallen die Fourierkoeffizienten um so schneller ab, umso öfter diese Funktionen stetig differenzierbar sind.

1.7 Zur Approximation kann auch interpoliert werden

Die trigonometrische Interpolation besteht darin, zu einer vorgegebenen Funktion $f$ ein trigonometrisches Polynom $p$ zu bestimmen, dass mit $f$ in $2N$ äquidistanten Stellen übereinstimmt. Zu jeder $2\pi$-periodischen Funktion $f$ gibt es ein eindeutig bestimmtes trigonometrisches Interpolationspolynom $q_{N}$ vom Grad $N$.

Es bestehen enge Zusammenhänge zwischen dem trigonometrischen Interpolationspolynom und dem Fourierpolynom einerseits, aber auch der kontinuierlichen Fouriertransformation andererseits. Daher spricht man statt trigonometrischer Interpolation auch von der diskreten Fouriertransformation.

1.8 Die diskrete Fouriertransformation lässt sich sehr effizient berechnen

Aufwand der schnellen Fouriertransformation

Zur Bestimmung der Fourierkoeffizienten aus einem Datenvektor der Länge $N=2^{p}$ benötigt man bei direkter Matrixmultiplikation

$$\displaystyle 2N^{2}-N$$

Rechenoperationen. Bei Anwendung der schnellen Fouriertransformation liegt der Aufwand bei

$$\displaystyle\frac{3}{2}\,N\log_{2}N$$

Operationen.

Aufgaben

Die Aufgaben gliedern sich in drei Kategorien: Anhand der Verständnisfragen können Sie prüfen, ob Sie die Begriffe und zentralen Aussagen verstanden haben, mit den Rechenaufgaben üben Sie Ihre technischen Fertigkeiten und die Anwendungsprobleme geben Ihnen Gelegenheit, das Gelernte an praktischen Fragestellungen auszuprobieren.

Ein Punktesystem unterscheidet leichte Aufgaben •, mittelschwere •• und anspruchsvolle ••• Aufgaben. Lösungshinweise am Ende des Buches helfen Ihnen, falls Sie bei einer Aufgabe partout nicht weiterkommen. Dort finden Sie auch die Lösungen – betrügen Sie sich aber nicht selbst und schlagen Sie erst nach, wenn Sie selber zu einer Lösung gekommen sind. Ausführliche Lösungswege, Beweise und Abbildungen finden Sie auf der Website zum Buch.

Viel Spaß und Erfolg bei den Aufgaben!

2.1 Verständnisfragen

30.1

• Gegeben ist die Funktion

$$\displaystyle f(x)=\begin{cases}x,&0<x\leq\frac{\pi}{2}\\ \frac{\pi}{2},&\frac{\pi}{2}<x\leq\pi.\end{cases}$$

Setzen Sie die Funktion

• (a) als gerade Funktion,

• (b) als ungerade Funktion,

• (c) als $\pi$-periodische Funktion

auf das Intervall $[-\pi,0)$ fort. Skizzieren Sie jeweils den Funktionsverlauf in $(-\pi,\pi)$ und berechnen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten $c_{0}$, $c_{1}$ und $c_{-1}$ sowie die reellen Koeffizienten $a_{0}$, $a_{1}$ und $b_{1}$.

30.2

•• Leiten Sie aus der komplexen Darstellung der Parseval’schen Gleichung (siehe S. 1147) die folgende reelle Form her: Für eine reellwertige Funktion $f\in L^{2}(\pi,\pi)$ mit den Fourierkoeffizienten $a_{k}$, $k\in\mathbb{N}_{0}$ bzw. $b_{k}$, $k\in\mathbb{N}$ gilt

$$\displaystyle 2\,a_{0}^{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_{k}^{2}+b_{k}^{2})=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^{2}\mathrm{d}x.$$

30.3

•• Die mit $2\pi$-periodische Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ besitzt im Intervall $(-\pi,\pi)$ die Werte

$$\displaystyle f(x)=\cosh x,\quad x\in(-\pi,\pi).$$

Begründen Sie, dass $f$ stückweise stetig differenzierbar ist. Ist $f$ auch stetig differenzierbar?

Bestimmen Sie auch die Fourierreihe der Funktion in reeller Form. Ist diese punktweise konvergent? Tritt das Gibbs’sche Phänomen auf?

30.4

••• Sind $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ $2\pi$-periodische Funktionen mit $f,g\in L^{2}(-\pi,\pi)$, so ist auch $h$ definiert durch

$$\displaystyle h(x)=\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)\,g(t)\,\mathrm{d}t,\quad x\in(-\pi,\pi),$$

eine Funktion aus $L^{2}(-\pi,\pi)$. Man nennt $h$ die Faltung von $f$ mit $g$.

Wir bezeichnen mit $(f_{k})$, $(g_{k})$ bzw. $(h_{k})$ die Fourierkoeffizienten der entsprechenden Funktion. Zeigen Sie den Faltungssatz

$$\displaystyle h_{k}=2\pi\,f_{k}g_{k},\quad k\in\mathbb{Z}.$$

30.5

••  Der Satz über die trigonometrische Interpolation von S. 1158 soll bewiesen werden. Dazu sind für $N\in\mathbb{N}$ die Interpolationspunkte durch

$$\displaystyle x_{j}=-\pi+j\,\frac{\pi}{N},\quad j=0,\ldots,2N$$

gegeben. Zeigen Sie:

• (a) Es gelten die Gleichungen

  $$\begin{aligned}\displaystyle\sum_{j=0}^{2N-1}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(l-k)x_{j}}&\displaystyle=\begin{cases}2N,&l=k,\\ 0,&\text{sonst},\end{cases}\\ \displaystyle\sum_{k=-N+1}^{N}\mathrm{e}^{\mathrm{i}k(x_{j}-x_{l})}&\displaystyle=\begin{cases}2N,&j=l,\\ 0,&\text{sonst}.\end{cases}\end{aligned}$$

• (b) Erfüllen die Zahlen $c_{-N+1},\ldots,c_{N}\in\mathbb{C}$ das Gleichungssystem

  $$\displaystyle\sum_{k=-N+1}^{N}c_{k}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx_{j}}=f(x_{j}),\quad j=0,\ldots,2N-1,$$

  so gilt

  $$\displaystyle c_{k}=\frac{1}{2N}\sum_{j=0}^{2N-1}f(x_{j})\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx_{j}},\quad k=-N+1,\ldots,N.$$

• (c) Durch die $c_{k}$ aus der letzten Formel in Aufgabenteil (b) ist eine Lösung des Gleichungssystems aus Teil (b) gegeben.

2.2 Rechenaufgaben

30.6

• Bestimmen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten der Funktion $f$, die durch

$$\displaystyle f(x)=\begin{cases}0,&-\pi<x\leq 0,\\ \mathrm{e}^{\mathrm{i}x},&0<x\leq\pi,\\ \end{cases}$$

gegeben ist.

30.7

•• Entwickeln Sie die Funktion

$$\displaystyle f(x)=x\,\cos x,\quad x\in(-\pi,\pi),$$

in eine Fourierreihe in reeller Form.

30.8

•• Die $2\pi$-periodische Funktion $f$ ist auf dem Intervall $(-\pi,\pi)$ durch

$$\displaystyle f(x)=|x|\,(\pi-|x|)$$

gegeben. Skizzieren Sie $f$ und berechnen Sie die reellen Fourierkoeffizienten. Warum konvergiert die Fourierreihe für jedes $x\in\mathbb{R}$? Zeigen Sie außerdem

$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}}=\frac{\pi^{4}}{90}.$$

30.9

•• Berechnen Sie den Wert der Reihe

$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{4n^{2}-1}$$

unter Verwendung der Fourierreihe der $2\pi$-periodischen Funktion $f$ mit

$$\displaystyle f(x)=\cos\left(\frac{x}{2}\right),\quad x\in(-\pi,\pi).$$

Zeigen Sie dazu

$$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos\frac{x}{2}\,\cos(nx)\,\mathrm{d}x=(-1)^{n}\frac{4}{1-4n^{2}}$$

für $n=1,2,3,\ldots$

30.10

••• Die Funktion $f$ ist auf $\mathbb{R}$ gegeben durch

$$\displaystyle f(x)=\begin{cases}x\,(\pi-x)\,,&0\leq x\leq\pi\,,\\ 0\,,&\text{sonst.}\end{cases} $$

• (a) Zeigen Sie, dass $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, definiert durch

  $$\displaystyle g(x)=f\left(x+\frac{\pi}{2}\right),\quad x\in\mathbb{R},$$

  eine gerade Funktion ist.

• (b) Bestimmen Sie die reellen Fourierkoeffizienten von $g$.

• (c) Zeigen Sie

  $$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}nx}\,\mathrm{d}x=(-\mathrm{i})^{n}\,\int_{-\pi}^{\pi}g(x)\,\cos(nx)\,\mathrm{d}x,\quad n\in\mathbb{Z},$$

  und bestimmen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten von $f$.

2.3 Anwendungsprobleme

30.11

•• Beim Anschlagen einer Saite werden Obertöne angeregt. Sie sind auch wichtig für die Klangfarbe. Nun ist es so, dass die zweite und vierte Oberschwingung genau ins Halbtonkonzept passen, in dem eine Oktave in 12 Halbtöne zerlegt wird, die dritte und sechste fast genau und die fünfte auch noch einigermaßen. Die siebente Oberschwingung aber liegt ziemlich genau zwischen zwei Halbtönen und sorgt entsprechend für Dissonanzen. Wo muss man eine Saite anschlagen, um die siebente Oberschwingung so weit wie möglich zu unterdrücken?

30.12

•• Ermitteln Sie mit einem Separationsansatz die Lösung $u:[0,\pi]\times\mathbb{R}_{> 0}\rightarrow\mathbb{R}$ des Problems

$$\displaystyle u_{xx}(x,t)-4u_{t}(x,t)-3u(x,t)=0$$

mit Anfangswert $u(x,0)=x\,(x^{2}-\pi^{2})$ für $x\in[0,\pi]$ und Randwerten $u(0,t)=u(\pi,t)=0$.

30.13

••• Eine zirkulante $n\times n$-Matrix ist eine Matrix $\boldsymbol{C}=(c_{jk})\in\mathbb{C}^{n\times n}$ mit

$$\displaystyle c_{jk}=\gamma_{j-k},\quad j,k=1,\ldots,n,$$

mit $\gamma_{j}\in\mathbb{C}$, $j=1-n,\ldots,n-1$ und

$$\displaystyle\gamma_{j-n}=\gamma_{j},\quad j=1,\ldots,n-1.$$

• (a) Überlegen Sie sich ein Beispiel für eine zirkulante $(4\times 4)$-Matrix.

• (b) Es ist $\boldsymbol{C}$ eine zirkulante $(2N\times 2N)$-Matrix, $\boldsymbol{a}=(a_{0},\ldots,a_{2N-1})^{\mathrm{T}}\in\mathbb{C}^{2N}$, ${\boldsymbol{\gamma}}=(\gamma_{0},\ldots,\gamma_{2N-1})^{\mathrm{T}}$ und $\boldsymbol{b}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{a}$. Mit $\boldsymbol{F}$ bezeichnen wir die Matrix der diskreten Fouriertransformation. Zeigen Sie:

  $$\displaystyle(\boldsymbol{F}\boldsymbol{b})_{j}=2N\,(\boldsymbol{F}{\boldsymbol{\gamma}})_{j}(\boldsymbol{F}\boldsymbol{a})_{j},\qquad j=0,\ldots,2N-1.$$

• (c) Wieso kann die Multiplikation mit einer zirkulanten Matrix effizient implementiert werden?

Antworten der Selbstfragen

Antwort 1

Wenn ein trigonometrisches Polynom reellwertig ist, dann sind die Zahlen $a_{k}$, $k=0,\ldots,n$ und $b_{k}$, $k=1,\ldots,n$ alle reell. Die eben bestimmte Formel für die $c_{k}$ zeigt, dass in diesem Fall

$$\displaystyle c_{-k}=\overline{c_{k}},\quad k=-n,\ldots,n,$$

gilt.

Antwort 2

Die $f_{n}$ sind Partialsummen der geometrischen Reihe, die genau für $|z|<1$ konvergiert. Das entspricht gerade der punktweisen Konvergenz.

Für die Differenz zwischen Partialsumme und Reihenwert gilt

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{1}{1-z}-f_{n}(z)&\displaystyle=\sum_{k=n+1}^{\infty}z^{k}\\ \displaystyle&\displaystyle=z^{n+1}\sum_{k=0}^{\infty}z^{k}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{z^{n+1}}{1-z}.\end{aligned}$$

Für $|1-z|<1/2$ gilt daher

$$\displaystyle\left|\frac{1}{1-z}-f_{n}(z)\right|> 2|z|^{n+1}.$$

Egal wie groß wir $n$ wählen, ist die rechte Seite in dieser Abschätzung größer als $1$, sofern nur $z$ nahe genug bei $1$ liegt. Daher ist die Konvergenz nicht gleichmäßig.

Gleichmäßige Konvergenz erhält man, indem man fordert, dass $|z|\leq q<1$ ist. Dann gilt $|1-z|\geq 1-q$, und es folgt

$$\displaystyle\left|\frac{1}{1-z}-f_{n}(z)\right|\leq\frac{|q|^{n+1}}{1-q}.$$

Die rechte Seite dieser Abschätzung ist unabhängig von $z$ und wird für $n$ groß genug beliebig klein. Daher ist

$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\max_{|z|\leq q}\left|\frac{1}{1-z}-f_{n}(z)\right|=0,$$

es liegt gleichmäßige Konvergenz vor.

Antwort 3

Die Funktion $g$ mit

$$\displaystyle g(x)=\begin{cases}1,&x\in(-\pi,\pi)\setminus\mathbb{Q},\\ 0,&x\in(-\pi,\pi)\cap\mathbb{Q},\end{cases}$$

unterscheidet sich von $f(x)=1$ nur auf der Nullmenge $(-\pi,\pi)\cap\mathbb{Q}$. Daher ist

$$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)-g(x)|^{2}\,\mathrm{d}x=\int_{-\pi}^{\pi}0\,\mathrm{d}x=0.$$

Der Abstand im quadratischen Mittel dieser beiden Funktionen ist null.

Antwort 4

Die Funktion $f$ ist ungerade, daher sind die Fourierkoeffizienten $a_{k}$ alle null. Die Funktion $g$ ist gerade, hier verschwinden alle Fourierkoeffizienten $b_{k}$.

Die Funktion $h$ ist die Differenz aus der ungeraden Funktion $\sinh$ und der Konstanten $1$. Daher ist nur $a_{0}=1$, alle anderen $a_{k}$ sind null.

Antwort 5

Die Reihe $\sum|c_{k}|^{2}$ konvergiert nach der Parseval’schen Gleichung, daher ist die Reihe $\sum 1/k$ keine divergente Minorante. Hieraus folgt die Asymptotik.