Analytische Geometrie – Rechnen statt Zeichnen

Zusammenfassung

Historisch gesehen hat sich die Geometrie aus einer Idealisierung unserer physikalischen Welt entwickelt. Zunächst war allein die Zeichnung die Grundlage geometrischer Fragestellungen. Es bedeutete zweifellos einen besonderen Durchbruch, als man begann, geometrische Elemente durch Zahlen zu beschreiben und damit die zeichnerische Lösung eines Problems durch eine rechnerische zu ersetzen. Dieser für die moderne Wissenschaft so bedeutende Schritt ist vor allem René Descartes (1596–1650) und Pierre de Fermat (1607/08–1665) zu verdanken und führte zur Entwicklung der Analytischen Geometrie. Ohne diese gäbe es keine Computergrafik, keine Robotik und keine Raumfahrt, um nur einige wenige unserer heute so selbstverständlichen Errungenschaften zu nennen.

In diesem Kapitel konzentrieren wir uns auf die analytische Geometrie des dreidimensionalen Raums, genauer, des $\mathbb{R}^{3}$. Dies deshalb, weil der $\mathbb{R}^{3}$ unseren physikalischen Raum idealisiert und wir uns die notwendigen Begriffe geometrisch veranschaulichen können. Mit der Kenntnis des Dreidimensionalen fällt es uns auch leichter, so manche n-dimensionale Fragestellung oder allgemeine mathematische Prinzipien zu verstehen und zu analysieren.

Appendices

Zusammenfassung

1.1 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum

Vektoren im Anschauungsraum können sowohl Punkte, als auch Pfeile bedeuten. Affin- und Konvexkombinationen betreffen Punkte, das Skalarprodukt und die Norm betreffen Pfeile.

Geometrische Deutung des Skalarproduktes

$$\displaystyle\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=\|\boldsymbol{u}\|\,\|\boldsymbol{v}\|\,\cos\varphi$$

mit $\varphi$ als von $\boldsymbol{u}$ und $\boldsymbol{v}$ eingeschlossenem Winkel bei $0^{\circ}\leq\varphi\leq 180^{\circ}$.

Auch die kartesischen Punkt- und Vektorkoordinaten sind Skalarprodukte.

Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung

$$\displaystyle|\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}|\leq\|\boldsymbol{u}\|\,\|\boldsymbol{v}\|.$$

Dabei gilt Gleichheit genau dann, wenn die Vektoren $\boldsymbol{u}$ und $\boldsymbol{v}$ linear abhängig sind.

Eine weitere wichtige Ungleichung ist die Dreiecksungleichung

$$\displaystyle\|\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\|\leq\|\boldsymbol{u}\|+\|\boldsymbol{v}\|.$$

1.2 Weitere Vektorverknüpfungen im Anschauungsraum

Definition des Vektorproduktes

$$\displaystyle\begin{pmatrix}u_{1}\\ u_{2}\\ u_{3}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}v_{1}\\ v_{2}\\ v_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}\\ u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}\\ u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\end{pmatrix}.$$

Der Vektor $\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}$ ist orthogonal zu der von $\boldsymbol{u}$ und $\boldsymbol{v}$ aufgespannten Ebene. Er hat die Länge $\|\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}\|=\|\boldsymbol{u}\|\,\|\boldsymbol{v}\|\sin\varphi$ und bildet mit den Vektoren $\boldsymbol{u}$ und $\boldsymbol{v}$ ein Rechtssystem.

Geometrische Deutung des Spatproduktes

Das Spatprodukt $\det(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})$ dreier Vektoren gibt das vorzeichenbehaftete Volumen des aufgespannten Parallelepipeds an.

Dabei lässt sich das Spatprodukt auch als gemischtes Produkt schreiben:

$$\displaystyle\det(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})=\boldsymbol{u}\cdot(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}).$$

Mit Skalarprodukt und Vektorprodukt beherrscht man die analytische Geometrie des $\mathbb{R}^{3}$.

1.3 Die Hesse’sche Normalform ist mehr als nur die Gleichung einer Ebene

Eigenschaften der Hesse’schen Normalform

Ist $l(\boldsymbol{x})=0$ die Hesse’sche Normalform der Ebene $E$, so gibt $l(\boldsymbol{a})$ den orientierten Abstand des Punktes $\boldsymbol{a}$ von $E$ an.

Diese Normalform vereinfacht die Darstellung der Normalprojektion auf $E$ sowie der Spiegelung an $E$. Deren Matrizengleichungen enthalten das dyadische Quadrat $\boldsymbol{n}\,\boldsymbol{n}^{\mathrm{T}}$ des normierten Normalvektors $\boldsymbol{n}$ von $E$.

1.4 Wechsel zwischen kartesischen Koordinatensystemen

Orthogonale Transformationsmatrizen

Die Transformationsmatrizen zwischen kartesischen Koordinatensystemen sind orthogonal. Sie genügen der Bedingung

$$\displaystyle\left({}_{B}\boldsymbol{T}_{B^{\prime}}\right)^{-1}=\left({}_{B}\boldsymbol{T}_{B^{\prime}}\right)^{\mathrm{T}},\ \text{ also }\ \left({}_{B}\boldsymbol{T}_{B^{\prime}}\right)^{\mathrm{T}}\,{}_{B}\boldsymbol{T}_{B^{\prime}}={\mathbf{E}}_{3}\,.$$

Die Spaltenvektoren in einer derartigen Matrix sind orthonormiert und ebenso die Zeilenvektoren.

Orthogonale Matrizen mit positiver Determinante beschreiben aber zugleich Raumbewegungen. Wird dabei ein Punkt festgehalten, etwa der Ursprung, so handelt es sich um eine Drehung.

Darstellungsmatrix einer Drehung

Die Drehung durch den Winkel $\varphi$ um die durch den Koordinatenursprung verlaufende Drehachse mit dem normierten Richtungsvektor $\boldsymbol{d}$ hat die Matrizendarstellung $\boldsymbol{x}^{\prime}=\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{d},\varphi}\,\boldsymbol{x}$ mit

$$\displaystyle\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{d},\varphi}=(\boldsymbol{d}\,\boldsymbol{d}^{\mathrm{T}})+\cos\varphi\,({\mathbf{E}}_{3}-\boldsymbol{d}\,\boldsymbol{d}^{\mathrm{T}})+\sin\varphi\,\boldsymbol{S}_{\boldsymbol{d}}\,.$$

Dabei ist die Matrix $\boldsymbol{S}_{\boldsymbol{d}}$ schiefsymmetrisch mit $\boldsymbol{S}_{\boldsymbol{d}}\,\boldsymbol{x}=\boldsymbol{d}\times \boldsymbol{x}$.

$\boldsymbol{d}$ ist ein Eigenvektor der Drehmatrix $\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{d},\varphi}$ zum Eigenwert 1. Die Spur der Drehmatrix lautet $1+2\cos\varphi$.

Bleibt bei der Raumbewegung kein einziger Punkt fix, so sind erweiterte Koordinaten und Matrizen sinnvoll, da diese einheitliche Formeln für die Transformation von Punkten und Vektoren ermöglichen. Dies wird in der Robotik oder auch bei der Umrechnung von einem lokalen Koordinatensystem auf der Erde zu einem heliozentrischen System angewandt.

Aufgaben

Die Aufgaben gliedern sich in drei Kategorien: Anhand der Verständnisfragen können Sie prüfen, ob Sie die Begriffe und zentralen Aussagen verstanden haben, mit den Rechenaufgaben üben Sie Ihre technischen Fertigkeiten und die Anwendungsprobleme geben Ihnen Gelegenheit, das Gelernte an praktischen Fragestellungen auszuprobieren.

Ein Punktesystem unterscheidet leichte Aufgaben •, mittelschwere •• und anspruchsvolle ••• Aufgaben. Lösungshinweise am Ende des Buches helfen Ihnen, falls Sie bei einer Aufgabe partout nicht weiterkommen. Dort finden Sie auch die Lösungen – betrügen Sie sich aber nicht selbst und schlagen Sie erst nach, wenn Sie selber zu einer Lösung gekommen sind. Ausführliche Lösungswege, Beweise und Abbildungen finden Sie auf der Website zum Buch.

Viel Spaß und Erfolg bei den Aufgaben!

2.1 Verständnisfragen

19.1

• Man beweise: Zwei Vektoren $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^{3}\setminus\{\mathbf{0}\}$ sind dann und nur dann zueinander orthogonal, wenn $\|\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\|^{2}=\|\boldsymbol{u}\|^{2}+\|\boldsymbol{v}\|^{2}$ ist.

19.2

• Man beweise: Für zwei linear unabhängige Vektoren $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^{3}$ sind die zwei Vektoren $\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}$ und $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}$ genau dann orthogonal, wenn $\|\boldsymbol{u}\|=\|\boldsymbol{v}\|$ ist. Was heißt dies für das von $\boldsymbol{u}$ und $\boldsymbol{v}$ aufgespannte Parallelogramm?

19.3

•• Angenommen, die Gerade $G$ ist die Schnittgerade der Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$, jeweils gegeben durch eine lineare Gleichung

$$\displaystyle\boldsymbol{n}_{i}\cdot\boldsymbol{x}-k_{i}=0\,,\quad i=1,2\,.$$

Stellen Sie die Menge aller durch $G$ legbaren Ebenen dar als Menge aller linearen Gleichungen mit Unbekannten $(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})$, deren Lösungsmenge $G$ enthält.

19.4

•• Das (orientierte) Volumen $V$ des von drei Vektoren $\boldsymbol{v}_{1}$, $\boldsymbol{v}_{2}$ und $\boldsymbol{v}_{3}$ aufgespannten Parallelepipeds ist gleich dem Spatprodukt $\det(\boldsymbol{v}_{1},\,\boldsymbol{v}_{2},\,\boldsymbol{v}_{3})$. Warum ist das Quadrat $V^{2}$ dieses Volumens gleich der Determinante der von den paarweisen Skalarprodukten gebildeten (symmetrischen) Gram’schen Matrix

$$\displaystyle\boldsymbol{G}(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{v}_{3})=\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}_{1}\cdot\boldsymbol{v}_{1}&\boldsymbol{v}_{1}\cdot\boldsymbol{v}_{2}&\boldsymbol{v}_{1}\cdot\boldsymbol{v}_{3}\\ \boldsymbol{v}_{2}\cdot\boldsymbol{v}_{1}&\boldsymbol{v}_{2}\cdot\boldsymbol{v}_{2}&\boldsymbol{v}_{2}\cdot\boldsymbol{v}_{3}\\ \boldsymbol{v}_{3}\cdot\boldsymbol{v}_{1}&\boldsymbol{v}_{3}\cdot\boldsymbol{v}_{2}&\boldsymbol{v}_{3}\cdot\boldsymbol{v}_{3}\end{pmatrix}?$$

19.5

••• Welche eigentlich orthogonale $3\times 3$-Matrix $\boldsymbol{A}\neq{\mathbf{E}}_{3}$ erfüllt die Eigenschaften

$$\displaystyle\boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{A}={\mathbf{E}}_{3}\quad\text{und}\quad\boldsymbol{A}\,\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}.$$

Wie viele Lösungen gibt es? Gibt es auch eine uneigentlich orthogonale Matrix mit diesen Eigenschaften?

2.2 Rechenaufgaben

19.6

• Im $\mathbb{R}^{3}$ sind zwei Vektoren gegeben, nämlich $\boldsymbol{u}=\left(\begin{array}[]{@{}r@{}}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ und $\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}2\\ 5\\ 14\end{pmatrix}$. Berechnen Sie $\|\boldsymbol{u}\|$, $\|\boldsymbol{v}\|$, den von $\boldsymbol{u}$ und $\boldsymbol{v}$ eingeschlossenen Winkel $\varphi$ sowie das Vektorprodukt $\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}$.

19.7

• Stellen Sie die Gerade

$$\displaystyle G=\begin{pmatrix}3\\ 0\\ 4\end{pmatrix}+\mathbb{R}\left(\begin{array}[]{@{}r@{}}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$$

als Schnittgerade zweier Ebenen dar, also als Lösungsmenge zweier linearer Gleichungen. Wie lauten die Gleichungen aller durch $G$ legbaren Ebenen?

19.8

•• Im affinen Raum $\mathbb{R}^{3}$ sind die vier Punkte

$$\displaystyle\boldsymbol{a}=\left(\begin{array}[]{@{}r@{}}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right),\quad\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 2\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{c}=\left(\begin{array}[]{@{}r@{}}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right),\quad\boldsymbol{d}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ x_{3}\end{pmatrix}$$

gegeben. Bestimmen Sie die letzte Koordinate $x_{3}$ von $\boldsymbol{d}$ derart, dass der Punkt $\boldsymbol{d}$ in der von $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ aufgespannten Ebene liegt. Liegt $\boldsymbol{d}$ im Inneren oder auf dem Rand des Dreiecks $\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c}$?

19.9

• Im Anschauungsraum $\mathbb{R}^{3}$ sind die zwei Geraden

$$\displaystyle G=\left(\begin{array}[]{@{}r@{}}2\\ 0\\ -3\end{array}\right)+\mathbb{R}\left(\begin{array}[]{@{}r@{}}3\\ 1\\ -1\end{array}\right),\quad H=\left(\begin{array}[]{@{}r@{}}2\\ -1\\ 0\end{array}\right)+\mathbb{R}\left(\begin{array}[]{@{}r@{}}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$$

gegeben. Bestimmen Sie die Gleichung derjenigen Ebene $E$ durch den Ursprung, welche zu $G$ und $H$ parallel ist. Welche Entfernung hat $E$ von der Geraden $G$, welche von $H$?

19.10

• Im Anschauungsraum $\mathbb{R}^{3}$ sind die Gerade

$$\displaystyle G=\left(\begin{array}[]{@{}r@{}}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)+\mathbb{R}\left(\begin{array}[]{@{}r@{}}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)\ \text{und der Punkt}\ \boldsymbol{p}=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$$

gegeben. Bestimmen Sie die Hesse’sche Normalform derjenigen Ebene $E$ durch $\boldsymbol{p}$, welche zu $G$ normal ist.

19.11

•• Im Anschauungsraum $\mathbb{R}^{3}$ sind die zwei Geraden

$$\displaystyle G_{1}=\begin{pmatrix}3\\ 0\\ 4\end{pmatrix}+\mathbb{R}\left(\begin{array}[]{@{}r@{}}2\\ -2\\ 1\end{array}\right),\quad G_{2}=\begin{pmatrix}2\\ 3\\ 3\end{pmatrix}+\mathbb{R}\left(\begin{array}[]{@{}r@{}}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$$

gegeben. Bestimmen Sie die kürzeste Strecke zwischen den beiden Geraden, also deren Endpunkte $\boldsymbol{a}_{1}\in G_{1}$ und $\boldsymbol{a}_{2}\in G_{2}$ sowie deren Länge $d$.

19.12

•• Im Anschauungsraum $\mathbb{R}^{3}$ ist die Gerade

$$\displaystyle G=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 2\end{pmatrix}+\mathbb{R}\left(\begin{array}[]{@{}r@{}}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$$

gegeben. Welcher Gleichung müssen die Koordinaten $x_{1}$, $x_{2}$ und $x_{3}$ des Raumpunktes $\boldsymbol{x}$ genügen, damit $\boldsymbol{x}$ von $G$ den Abstand $r=3$ hat und somit auf dem Drehzylinder mit der Achse $G$ und dem Radius $r$ liegt?

19.13

•• Im Anschauungsraum $\mathbb{R}^{3}$ sind die zwei Geraden

$$\displaystyle G_{1}=\begin{pmatrix}3\\ 0\\ 4\end{pmatrix}+\mathbb{R}\left(\begin{array}[]{@{}r@{}}2\\ -2\\ 1\end{array}\right),\quad G_{2}=\begin{pmatrix}2\\ 3\\ 3\end{pmatrix}+\mathbb{R}\left(\begin{array}[]{@{}r@{}}-1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$$

gegeben. Welcher Gleichung müssen die Koordinaten $x_{1}$, $x_{2}$ und $x_{3}$ des Raumpunktes $\boldsymbol{x}$ genügen, damit $\boldsymbol{x}$ von den beiden Geraden denselben Abstand hat? Bei der Menge dieser Punkte handelt es sich übrigens um das Abstandsparaboloid von $G_{1}$ und $G_{2}$, ein orthogonales hyperbolisches Paraboloid (siehe Kap. 21).

19.14

•• Im Anschauungsraum $\mathbb{R}^{3}$ ist die Gerade

$$\displaystyle G=\boldsymbol{p}+\mathbb{R}\boldsymbol{u}\text{ mit }\boldsymbol{p}=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 2\end{pmatrix}\text{ und }\boldsymbol{u}=\left(\begin{array}[]{@{}r@{}}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$$

gegeben. Welcher Gleichung müssen die Koordinaten $x_{1}$, $x_{2}$ und $x_{3}$ des Raumpunktes $\boldsymbol{x}$ genügen, damit $\boldsymbol{x}$ auf demjenigen Drehkegel mit der Spitze $\boldsymbol{p}$ und der Achse $G$ liegt, dessen halber Öffnungswinkel $\varphi=30^{\circ}$ beträgt?

19.15

•• Man füge in der folgenden Matrix $\boldsymbol{M}$ die durch Sterne markierten fehlenden Einträge derart ein, dass eine eigentlich orthogonale Matrix entsteht.

$$\displaystyle\boldsymbol{M}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}[]{@{}rrr@{}}\ast&-2&2\\ \ast&1&\ast\\ \ast&\ast&\ast\end{array}\right).$$

Wie viele verschiedene Lösungen gibt es?

19.16

•• Der Einheitswürfel $\mathcal{W}$ wird um die durch den Koordinatenursprung gehende Raumdiagonale durch $60^{\circ}$ gedreht. Berechnen Sie die Koordinaten der Ecken des verdrehten Würfels $\mathcal{W}^{\prime}$.

19.17

•• Man bestimme die orthogonale Darstellungsmatrix $\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{d},\varphi}$ der Drehung durch den Winkel $\varphi$ um eine durch den Koordinatenursprung laufende Drehachse mit dem Richtungsvektor $\boldsymbol{d}=\begin{pmatrix}d_{1}\\ d_{2}\\ d_{3}\end{pmatrix}$ bei $\|\boldsymbol{d}\|=1$.

2.3 Anwendungsprobleme

19.18

•• Im Anschauungsraum $\mathbb{R}^{3}$ sind die „einander fast schneidenden“ Geraden

$$\displaystyle G_{1}=\begin{pmatrix}2\\ 3\\ 3\end{pmatrix}+\mathbb{R}\left(\begin{array}[]{@{}r@{}}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right),\quad G_{2}=\begin{pmatrix}3\\ 0\\ 4\end{pmatrix}+\mathbb{R}\left(\begin{array}[]{@{}r@{}}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$$

gegeben. Für welchen Raumpunkt $\boldsymbol{m}$ ist die Quadratsumme der Abstände von $G_{1}$ und $G_{2}$ minimal.

19.19

••• Man zeige:

• 1. In einem Parallelepiped schneiden die vier Raumdiagonalen einander in einem Punkt.

• 2. Die Quadratsumme dieser vier Diagonalenlängen ist gleich der Summe der Quadrate der Längen aller 12 Kanten des Parallelepipeds (siehe dazu die Parallelogrammgleichung (S. 704)).

19.20

••• Angenommen, die Punkte $\boldsymbol{p}_{1},\ \boldsymbol{p}_{2},\ \boldsymbol{p}_{3},\ \boldsymbol{p}_{4}$ bilden ein reguläres Tetraeder der Kantenlänge 1. Man zeige:

• 1. Der Schwerpunkt $\boldsymbol{s}=\frac{1}{4}(\boldsymbol{p}_{1}+\boldsymbol{p}_{2}+\boldsymbol{p}_{3}+\boldsymbol{p}_{4})$ hat von allen Eckpunkten dieselbe Entfernung.

• 2. Die Mittelpunkte der Kanten $\boldsymbol{p}_{1}\boldsymbol{p}_{2}$, $\boldsymbol{p}_{1}\boldsymbol{p}_{3}$, $\boldsymbol{p}_{4}\boldsymbol{p}_{3}$ und $\boldsymbol{p}_{4}\boldsymbol{p}_{2}$ bilden ein Quadrat. Wie lautet dessen Kantenlänge?

• 3. Der Schwerpunkt $\boldsymbol{s}$ halbiert die Strecke zwischen den Mittelpunkten gegenüberliegender Kanten. Diese drei Strecken sind paarweise orthogonal.

19.21

•• Die Vektoren $(\boldsymbol{b}_{1},\,\boldsymbol{b}_{2},\,\boldsymbol{b}_{3})$ der orthonormierten Standardbasis $B$ werden durch Multiplikation mit der eigentlich orthogonalen Matrix

$$\displaystyle\boldsymbol{A}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}2&-1&-1\\ 0&\sqrt{3}&-\sqrt{3}\\ \sqrt{2}&\sqrt{2}&\sqrt{2}\end{pmatrix}$$

in eine orthonormierte Basis $B^{\prime}=(\boldsymbol{b}^{\prime}_{1},\,\boldsymbol{b}^{\prime}_{2},\,\boldsymbol{b}^{\prime}_{3})$ mit $\boldsymbol{b}_{i}^{\prime}=\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{b}_{i}$ bewegt. Diese Bewegung $\mathcal{B}$ ist bekanntlich eine einzige Drehung. Bestimmen Sie die Achse $\boldsymbol{d}$ und den Drehwinkel $\varphi$ dieser Drehung.

19.22

•• Die Spaltenvektoren der eigentlich orthogonalen Matrix

$$\displaystyle\boldsymbol{A}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}[]{@{}rrr@{}}2&1&2\\ 1&2&-2\\ -2&2&1\end{array}\right)$$

bilden die Raumlage $(\boldsymbol{b}^{\prime}_{1},\,\boldsymbol{b}^{\prime}_{2},\,\boldsymbol{b}^{\prime}_{3})$ eines orthonormierten Dreibeins. Bestimmen Sie die zu dieser Raumlage gehörigen Euler’schen Drehwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$.

19.23

••• Die drei Raumpunkte

$$\displaystyle\boldsymbol{a}_{1}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{a}_{2}=\left(\begin{array}[]{@{}r@{}}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right),\quad\boldsymbol{a}_{3}=\left(\begin{array}[]{@{}r@{}}-1\\ -1\\ 3\end{array}\right)$$

bilden ein gleichseitiges Dreieck. Gesucht ist die erweiterte Darstellungsmatrix derjenigen Bewegung, welche die drei Eckpunkte zyklisch vertauscht, also mit $\boldsymbol{a}_{1}\mapsto\boldsymbol{a}_{2}$, $\boldsymbol{a}_{2}\mapsto\boldsymbol{a}_{3}$ und $\boldsymbol{a}_{3}\mapsto\boldsymbol{a}_{1}$.

Antworten der Selbstfragen

Antwort 1

Nunmehr gilt $\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}=\boldsymbol{f}-\boldsymbol{c}$, also

$$\displaystyle\boldsymbol{f}=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}=\begin{pmatrix}6\\ 9\\ 4\end{pmatrix}.$$

Die Gleichung $\boldsymbol{f}-\boldsymbol{c}=\boldsymbol{c}-\boldsymbol{d}$ bestätigt $\boldsymbol{c}$ als Mittelpunkt der Strecke $\boldsymbol{d}\,\boldsymbol{f}$.

Antwort 2

Die erste ist richtig, denn die Affinkombinationen sind spezielle Linearkombinationen. Die zweite Aussage ist falsch, denn nicht jede Linearkombination ist eine Affinkombination, also eine mit der Koeffizientensumme 1 .

Antwort 3

$\boldsymbol{s}=\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol{b}+\frac{1}{3}\boldsymbol{c}$ ist eine Konvexkombination der drei Eckpunkte, denn $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1$ und $0\leq\frac{1}{3}\leq 1$. Nachdem keiner der Koeffizienten verschwindet, liegt $\boldsymbol{s}$ im Inneren.

Wir finden noch eine weitere Affinkombination, nämlich

$$\displaystyle\boldsymbol{s}=\frac{2}{3}\left[\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\right]+\frac{1}{3}\boldsymbol{c}\,,$$

und diese beweist die zweite Behauptung.

Antwort 4

Nein, natürlich nicht! Die Eigenschaft, ein Rechtssystem zu sein, ist unabhängig von der Position im Raum. Ein rechter Schuh wird kein linker, wenn wir ihn umdrehen, also mit der Sohle nach oben hinlegen.

Antwort 5

Es ist

$$\displaystyle\|\boldsymbol{a}_{1}-\boldsymbol{a}_{2}\|=\|\boldsymbol{a}_{3}-\boldsymbol{a}_{4}\|=4\,,$$

und für jedes $i\in\{1,2\}$ und $j\in\{3,4\}$ ist

$$\displaystyle\|\boldsymbol{a}_{i}-\boldsymbol{a}_{j}\|=\sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}\cdot 2}=4\,.$$

Je drei dieser Punkte bilden ein gleichseitiges Dreieck. Alle vier sind die Eckpunkte einer speziellen dreiseitigen Pyramide, eines regulären Tetraeders.

Antwort 6

$$\displaystyle\cos\varphi=\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}}{\|\boldsymbol{u}\|\,\|\boldsymbol{v}\|}=\frac{1}{\sqrt{2}\,\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\ \Longrightarrow\ \varphi=60^{\circ}$$

Antwort 7

Dies ist äquivalent zur linearen Unabhängigkeit der Vektoren $(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})$ und $(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})$, also zu $(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})\times(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})\neq\mathbf{0}$. Wir können die linke Seite dieser Ungleichung noch umformen zu $(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{b})-(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})-(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{a})$, wobei der letzte Summand verschwindet.

Antwort 8

Der Vektor $\boldsymbol{u}\times(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w})$ ist zum Vektor $\boldsymbol{n}=(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w})$ orthogonal, wobei $\boldsymbol{n}$ ein Normalvektor der von $\boldsymbol{v}$ und $\boldsymbol{w}$ aufgespannten Ebene ist.

Antwort 9

Ebenfalls ein reguläres Tetraeder, und zwar eines, das der Einheitskugel eingeschrieben ist, nachdem es sich um lauter Einheitsvektoren handelt.

Antwort 10

1) Nein, denn alle Spalten in dieser Matrix sind skalare Vielfache des Vektors $\boldsymbol{u}$. Die Matrix $\boldsymbol{u}\,\boldsymbol{v}^{\mathrm{T}}$ hat bei $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\neq\mathbf{0}$ den Rang 1 .

2) Wegen $\|\boldsymbol{n}\|=1$ ist

$$\displaystyle\boldsymbol{N}\,\boldsymbol{N}=\boldsymbol{n}\,(\boldsymbol{n}^{\mathrm{T}}\,\boldsymbol{n})\,\boldsymbol{n}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{n}\,\boldsymbol{n}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{N}$$

und daher $({\mathbf{E}}_{3}-\boldsymbol{N})^{2}={\mathbf{E}}_{3}-2\boldsymbol{N}+\boldsymbol{N}={\mathbf{E}}_{3}-\boldsymbol{N}$.

Dazu gibt es auch eine geometrische Erklärung: Geht die Ebene $E$ durch den Ursprung $(k=0)$, so beschreibt die Matrix $({\mathbf{E}}_{3}-\boldsymbol{N})$ allein die Normalprojektion. Wird nun der Normalenfußpunkt $\boldsymbol{x}^{n}$ von $\boldsymbol{x}$ noch einmal normal nach $E$ projiziert, so ändert er sich nicht mehr. Es bewirkt die zweifache Hintereinanderausführung der Normalprojektion nicht anderes als die einfache, und genau dies drückt die Idempotenz der Matrix aus.

3) Nachdem das Bild des $\mathbb{R}^{3}$ nur mehr die Dimension 2 hat, muss die Abbildungmatrix singulär sein. Oder: Wäre diese Matrix invertierbar, könnte man beide Seiten der Gleichung $({\mathbf{E}}_{3}-\boldsymbol{N})^{2}={\mathbf{E}}_{3}-\boldsymbol{N}$ mit der Inversen von links multiplizieren und es folgte ${\mathbf{E}}_{3}-\boldsymbol{N}={\mathbf{E}}_{3}$. Also müsste $\boldsymbol{N}$ die Nullmatrix sein, und das ist unmöglich.

Antwort 11

Wegen $\boldsymbol{N}^{2}=\boldsymbol{N}$ folgt durch Ausrechnen $({\mathbf{E}}_{3}-2\boldsymbol{N})^{2}={\mathbf{E}}_{3}$. Diese Gleichung ist andererseits daraus zu folgern, dass die zweimalige Spiegelung an $E$ alle Raumpunkte unverändert lässt.

Antwort 12

1) Nein, sie ist zwar orthogonal, aber die Spaltenvektoren bilden ein Linkssystem. Erst nach Vertauschung zweier Spalten – oder auch Zeilen – entstünde eine eigentlich orthogonale Matrix.

2) Die Matrix $\boldsymbol{M}=({\mathbf{E}}_{3}-2\boldsymbol{N})$ ist symmetrisch, und wegen $\boldsymbol{N}^{2}=\boldsymbol{N}$ ist $\boldsymbol{M}\,\boldsymbol{M}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{M}\,\boldsymbol{M}={\mathbf{E}}_{3}$, wie bereits früher auf S. 720 festgestellt worden ist. Die Spiegelung führt Rechtssysteme in Linkssysteme über. Daher ist die Matrix uneigentlich orthogonal.

Antwort 13

Die Matrizen der Drehungen um die $x_{1}$- bzw. $x_{2}$-Achse lauten

$$\displaystyle A_{1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&\mathrm{c}\varphi&-\mathrm{s}\varphi\\ 0&\mathrm{s}\varphi&\mathrm{c}\varphi\end{pmatrix},\quad A_{2}=\begin{pmatrix}\mathrm{c}\varphi&0&\mathrm{s}\varphi\\ 0&1&0\\ -\mathrm{s}\varphi&0&\mathrm{c}\varphi\end{pmatrix}.$$

Dabei wurden die Symbole für die Sinus- und Kosinusfunktion durch $\mathrm{s}$ bzw. $\mathrm{c}$ abgekürzt.

Antwort 14

Die Drehmatrix ist orthogonal. Daher gilt $\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{d},\varphi}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{d},\varphi}^{-1}$. Nun ist die inverse Bewegung zur Drehung um $\boldsymbol{d}$ durch den Winkel $\varphi$ die Drehung durch $-\varphi$, also in dem entgegengesetzten Drehsinn. Dieselbe Bewegungsumkehr ist auch durch den Ersatz von $\boldsymbol{d}$ durch $-\boldsymbol{d}$ zu erreichen. Natürlich ist dies auch an Hand der Darstellung in (19.16) zu bestätigen.