Vektorräume – Schauplätze der linearen Algebra

Zusammenfassung

Die lineare Algebra kann auch als Theorie der Vektorräume bezeichnet werden. Diese Theorie entstand durch Verallgemeinerung der Rechenregeln von klassischen Vektoren im Sinne von Pfeilen in der Anschauungsebene. Der wesentliche Nutzen liegt darin, dass unzählige, in fast allen Gebieten der Mathematik und auch in zahlreichen Naturwissenschaften auftauchenden Mengen eben diese gleichen Rechengesetze erfüllen. So war es naheliegend jede Menge, in der jene Rechengesetze gelten, allgemein als Vektorraum zu bezeichnen. Eine systematische Behandlung eines allgemeinen Vektorraums, d. h. eine Entwicklung einer Theorie der Vektorräume, löst somit zahlreiche Probleme in den verschiedensten Gebieten der Mathematik und den Naturwissenschaften.

Wir werden den Begriff eines Vektorraums sehr allgemein definieren, um die verschiedensten Arten von Vektoren beschreiben zu können. Mithilfe von Vektoren lassen sich physikalische und statische Problemstellungen formulieren und lösen. Es lassen sich physikalische Prinzipien und Gesetze ausdrücken. Solche Beispiele werden wir in den Anwendungen demonstrieren.

Appendices

Zusammenfassung

Eine nichtleere Menge $V$ mit zwei Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ heißt ein Vektorraum über $\mathbb{K}$ oder kurz $\mathbb{K}$-Vektorraum für $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ oder $\mathbb{K}=\mathbb{C}$, wenn für alle $\boldsymbol{u},\,\boldsymbol{v},\,\boldsymbol{w}\in V$ und $\lambda,\,\mu\in\mathbb{K}$ gilt:

• (V1) $\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}\in V$ und $\lambda\,\boldsymbol{v}\in V$ (Abgeschlossenheit).

• (V2) $(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})+\boldsymbol{w}=\boldsymbol{u}+(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w})$ (Assoziativität).

• (V3) Es gibt ein Element $\mathbf{0}\in V$ mit $\boldsymbol{v}+\mathbf{0}=\boldsymbol{v}$

  (Existenz eines neutralen Elementes).

• (V4) Es gibt ein $\boldsymbol{v}^{\prime}\in V$ mit $\boldsymbol{v}+\boldsymbol{v}^{\prime}=\mathbf{0}$

  (Existenz eines entgegengesetzten Elementes).

• (V5) $\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}=\boldsymbol{w}+\boldsymbol{v}$ (Kommutativität).

• (V6) $\lambda\,(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w})=\lambda\,\boldsymbol{v}+\lambda\,\boldsymbol{w}$.

• (V7) $(\lambda+\mu)\,\boldsymbol{v}=\lambda\,\boldsymbol{v}+\mu\,\boldsymbol{w}$.

• (V8) $(\lambda\,\mu)\,\boldsymbol{v}=\lambda\,(\mu\,\boldsymbol{v})$.

• (V9) $1\,\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}$.

1.1 Beispiele von Vektorräumen

Beispiele für Vektorräume sind die Anschauungsebene, also der $\mathbb{R}^{2}$, der Anschauungsraum, also der $\mathbb{R}^{3}$, und allgemeiner für $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ oder $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ und jede natürliche Zahl $n$ der $\mathbb{K}$-Vektorraum $\mathbb{K}^{n}$.

Weitere wichtige Beispiele sind:

$\mathbb{K}^{m\times n}$ ist ein $\mathbb{K}$-Vektorraum

Die Menge $\mathbb{K}^{m\times n}$ aller $m\times n$-Matrizen über $\mathbb{K}$ bildet einen $\mathbb{K}$-Vektorraum.

$\mathbb{K}[X]$ ist ein $\mathbb{K}$-Vektorraum

Die Menge $\mathbb{K}[X]$ aller Polynome über $\mathbb{K}$ bildet einen $\mathbb{K}$-Vektorraum. Die Lösungsmenge $L$ eines homogenen linearen Gleichungssystems über $\mathbb{K}$ ist ein $\mathbb{K}$-Vektorraum.

Polynome vom Grad kleiner gleich $n$ bilden einen Vektorraum

Für jedes $n\in\mathbb{N}_{0}\cup\{-\infty\}$ bildet die Menge

$$\displaystyle\mathbb{K}[X]_{n}=\{a_{n}\,X^{n}+\cdots+a_{1}\,X+a_{0}\,|\,a_{i}\in\mathbb{K}\}$$

aller Polynome mit einem Grad kleiner gleich $n$ einen $\mathbb{K}$-Vektorraum.

1.2 Jede Teilmenge eines Vektorraums erzeugt einen Vektorraum

Für jede nichtleere Teilmenge $X$ eines $\mathbb{K}$-Vektorraums $V$ bildet die Menge aller möglichen Linearkombinationen von $X$, also das Erzeugnis

$$\begin{aligned}\displaystyle\langle X\rangle&\displaystyle=\left\{\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\,\boldsymbol{v}_{i}\Bigm|\lambda_{i}\in\mathbb{K},\ \boldsymbol{v}_{i}\in X\text{ f{\"u}r }i=1,\,\ldots,n\right\}\end{aligned}$$

von $X$ einen $\mathbb{K}$-Vektorraum.

Man sagt $X$ ist ein Erzeugendensystem von $V$, wenn $\langle X\rangle=V$ gilt, und man definiert $\langle\emptyset\rangle=\{\mathbf{0}\}$.

1.3 Lineare Unabhängigkeit bedeutet: Mit weniger klappt es nicht!

Eine endliche Menge $E=\{\boldsymbol{v}_{1},\,\ldots,\,\boldsymbol{v}_{r}\}$ von Vektoren eines $\mathbb{K}$-Vektorraums $V$ heißt linear unabhängig, wenn aus

$$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{r}\lambda_{i}\,\boldsymbol{v}_{i}=\mathbf{0}$$

mit $\lambda_{i}\in\mathbb{K}$ für $i=1,\,\ldots,\,r$ folgt

$$\displaystyle\lambda_{1}=\lambda_{2}=\cdots=\lambda_{r}=0.$$

Eine unendliche Menge $T$ von Vektoren eines $\mathbb{K}$-Vektorraums $V$ heißt linear unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge $E\subseteq T$ linear unabhängig ist.

1.4 Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem nennt man Basis

Definition einer Basis

Eine Teilmenge $B$ eines $\mathbb{K}$-Vektorraums $V$ heißt Basis von $V$, wenn gilt:

• $\langle B\rangle=V$,

• $B$ ist linear unabhängig.

Existenz von Basen

Jeder Vektorraum $V$ besitzt eine Basis.

Genauer:

• Jedes Erzeugendensystem von $V$ enthält eine Basis von $V$.

• Jede linear unabhängige Teilmenge von $V$ kann zu einer Basis von $V$ durch Hinzunahme weiterer Vektoren ergänzt werden.

1.5 Die Dimension eines Vektorraums ist die Mächtigkeit einer und damit jeder Basis

Die Dimension eines Vektorraums

Ist $B$ eine Basis eines endlich erzeugten Vektorraums $V$, so nennt man $n=|B|\in\mathbb{N}_{0}$ die Dimension von $V$. Wir schreiben dafür $\dim(V)=n$.

Ist $V$ nicht endlich erzeugt, so setzen wir $\dim(V)=\infty$.

Nützliche Folgerungen für ein $\mathbb{K}$-Vektorraum $V$ mit endlicher Dimension $n$

• Je $n$ linear unabhängige Vektoren bilden eine Basis.

• Jedes Erzeugendensystem mit $n$ Elementen bildet eine Basis.

• Mehr als $n$ Vektoren sind stets linear abhängig.

• Für jeden Untervektorraum $U\subsetneq V$ gilt $\dim(U)<\dim(V)$.

Bonusmaterial

Wir haben Vektorräume über $\mathbb{R}$ bzw. $\mathbb{C}$ betrachtet. Man kann Vektorräume aber auch für andere Zahlbereiche, d. h. Körper, erklären. Wir betrachten insbesondere endliche Körper, die für die Anwendungen der linearen Algebra, etwa in der Codierungstheorie, eine fundamentale Rolle spielen.

Weiter untersuchen wir Summen und Durchschnitte von Untervektorräumen und diskutieren weitere Beispiele von Vektorräumen.

Aufgaben

Die Aufgaben gliedern sich in drei Kategorien: Anhand der Verständnisfragen können Sie prüfen, ob Sie die Begriffe und zentralen Aussagen verstanden haben, mit den Rechenaufgaben üben Sie Ihre technischen Fertigkeiten und die Anwendungsprobleme geben Ihnen Gelegenheit, das Gelernte an praktischen Fragestellungen auszuprobieren.

Ein Punktesystem unterscheidet leichte Aufgaben •, mittelschwere •• und anspruchsvolle ••• Aufgaben. Lösungshinweise am Ende des Buches helfen Ihnen, falls Sie bei einer Aufgabe partout nicht weiterkommen. Dort finden Sie auch die Lösungen – betrügen Sie sich aber nicht selbst und schlagen Sie erst nach, wenn Sie selber zu einer Lösung gekommen sind. Ausführliche Lösungswege, Beweise und Abbildungen finden Sie auf der Website zum Buch.

Viel Spaß und Erfolg bei den Aufgaben!

3.1 Verständnisfragen

15.1

•• Zeigen Sie, dass die Menge $\mathbb{K}^{m\times n}$ aller $m\times n$-Matrizen über einem Körper $\mathbb{K}$ mit komponentenweiser Addition und skalarer Multiplikation einen $\mathbb{K}$-Vektorraum bildet.

15.2

•• Begründen Sie die auf S. 554 gemachten Aussagen zum Erzeugnis $\langle X\rangle$ einer Teilmenge $X$ eines $\mathbb{K}$-Vektorraums $V$.

15.3

• Gelten in einem Vektorraum $V$ die folgenden Aussagen?

• (a) Ist eine Basis von $V$ unendlich, so sind alle Basen von $V$ unendlich.

• (b) Ist eine Basis von $V$ endlich, so sind alle Basen von $V$ endlich.

• (c) Hat $V$ ein unendliches Erzeugendensystem, so sind alle Basen von $V$ unendlich.

• (d) Ist eine linear unabhängige Menge von $V$ endlich, so ist es jede.

15.4

• Gegeben sind ein Untervektorraum $U$ eines $\mathbb{K}$-Vektorraums $V$ und Elemente $\boldsymbol{u},\,\boldsymbol{w}\in V$. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

• (a) Sind $\boldsymbol{u}$ und $\boldsymbol{w}$ nicht in $U$, so ist auch $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}$ nicht in $U$.

• (b) Sind $\boldsymbol{u}$ und $\boldsymbol{w}$ nicht in $U$, so ist $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}$ in $U$.

• (c) Ist $\boldsymbol{u}$ in $U$, nicht aber $\boldsymbol{w}$, so ist $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}$ nicht in $U$.

15.5

• Folgt aus der linearen Unabhängigkeit von $\boldsymbol{u}$ und $\boldsymbol{v}$ eines $\mathbb{K}$-Vektorraums auch jene von $\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}$ und $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}$?

15.6

• Folgt aus der linearen Unabhängigkeit der drei Vektoren $\boldsymbol{u},\,\boldsymbol{v},\,\boldsymbol{w}$ eines $\mathbb{K}$-Vektorraums auch die lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w},\,\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v},\,\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}$?

15.7

• Geben Sie zu folgenden Teilmengen des $\mathbb{R}$-Vektorraums $\mathbb{R}^{3}$ an, ob sie Untervektorräume sind, und begründen Sie dies:

• (a) $U_{1}:=\left\{\begin{pmatrix}v_{1}\\ v_{2}\\ v_{3}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3}\biggm|v_{1}+v_{2}=2\right\}$

• (b) $U_{2}:=\left\{\begin{pmatrix}v_{1}\\ v_{2}\\ v_{3}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3}\biggm|v_{1}+v_{2}=v_{3}\right\}$

• (c) $U_{3}:=\left\{\begin{pmatrix}v_{1}\\ v_{2}\\ v_{3}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3}\biggm|v_{1}\,v_{2}=v_{3}\right\}$

• (d) $U_{4}:=\left\{\begin{pmatrix}v_{1}\\ v_{2}\\ v_{3}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3}\biggm|v_{1}=v_{2}\text{ oder }v_{1}=v_{3}\right\}$

15.8

•• Begründen Sie, dass für jedes $n\in\mathbb{N}$ die Menge

$$\displaystyle U:=\left\{\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}u_{1}\\ \vdots\\ u_{n}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{n}\biggm|u_{1}+\cdots+u_{n}=0\right\}$$

einen $\mathbb{R}$-Vektorraum bildet und bestimmen Sie eine Basis und die Dimension von $U$.

15.9

•• Welche der folgenden Teilmengen des $\mathbb{R}$-Vektorraums $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ sind Untervektorräume? Begründen Sie Ihre Aussagen.

• (a) $U_{1}:=\{f\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\,|\,f(1)=0\}$

• (b) $U_{2}:=\{f\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\,|\,f(0)=1\}$

• (c) $U_{3}:=\{f\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\,|\,f$ hat höchstens endlich viele Nullstellen$\}$

• (d) $U_{4}:=\{f\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\,|\,$ für höchstens endlich viele $x\in\mathbb{R}$ ist $f(x)\neq 0\}$

• (e) $U_{5}:=\{f\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\,|\,f$ ist monoton wachsend$\}$

• (f) $U_{6}:=\{f\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\,|\,$ die Abbildung $g\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ mit $g(x)=f(x)-f(x-1)$ liegt in $U\}$, wobei $U\subseteq\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ ein vorgegebener Untervektorraum ist.

15.10

•• Gibt es für jede natürliche Zahl $n$ eine Menge $A$ mit $n+1$ verschiedenen Vektoren $\boldsymbol{v}_{1},\ldots,\boldsymbol{v}_{n+1}\in\mathbb{R}^{n}$, sodass je $n$ Elemente von $A$ linear unabhängig sind? Geben Sie eventuell für ein festes $n$ eine solche an.

15.11

•• Begründen Sie, dass das Axiom (V5) bei der Definition des Vektorraums auf S. 546 aus den anderen dort angegebenen Axiomen folgt.

15.12

••• Für einen Körper $\mathbb{K}$ und eine nichtleere Menge $M$ definieren wir

$$\displaystyle V:=\{f\in\mathbb{K}^{M}\,|\,\text{nur f{\"u}r endlich viele }x\in M\text{ ist }f(x)\neq 0\}.$$

Es ist $V$ also eine Teilmenge von $\mathbb{K}^{M}$, dem Vektorraum aller Abbildungen von $M$ nach $\mathbb{K}$ (siehe S. 550).

• (a) Begründen Sie, dass $V$ ein $\mathbb{K}$-Vektorraum ist.

• (b) Für jedes $y\in M$ definieren wir eine Abbildung $\delta_{y}:M\rightarrow\mathbb{K}$ durch:

  $$\displaystyle\delta_{y}(x):=\begin{cases}1,&\text{falls }x=y\\ 0,&\text{sonst}\end{cases}$$

  Begründen Sie, dass $B:=\{\delta_{y}\,|\,y\in M\}$ eine Basis von $V$ ist.

3.2 Rechenaufgaben

15.13

• Wir betrachten im $\mathbb{R}^{2}$ die drei Untervektorräume $U_{1}=\left\langle\left\{\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}\right\}\right\rangle$, $U_{2}=\left\langle\left\{\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ -2\end{pmatrix}\,\right\}\right\rangle$ und $U_{3}=\left\langle\left\{\begin{pmatrix}1\\ -3\end{pmatrix}\right\}\right\rangle$. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

• (a) Es ist $\left\{\begin{pmatrix}-2\\ -4\end{pmatrix}\right\}$ ein Erzeugendensystem von $U_{1}\cap U_{2}$.

• (b) Die leere Menge $\emptyset$ ist eine Basis von $U_{1}\cap U_{3}$.

• (c) Es ist $\left\{\begin{pmatrix}1\\ 4\end{pmatrix}\right\}$ eine linear unabhängige Teilmenge von $U_{2}$.

• (d) Es gilt $\langle U_{1}\cup U_{3}\rangle=\mathbb{R}^{2}$.

15.14

•• Prüfen Sie, ob die Menge

$$\begin{aligned}\displaystyle B:=\Bigg\{&\displaystyle\boldsymbol{v}_{1}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix},\,\boldsymbol{v}_{2}=\begin{pmatrix}1&1\\ 0&0\end{pmatrix},\\ \displaystyle&\displaystyle\boldsymbol{v}_{3}=\begin{pmatrix}0&1\\ -1&0\end{pmatrix},\,\boldsymbol{v}_{4}=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\Bigg\}\subseteq\mathbb{R}^{2\times 2}\end{aligned}$$

eine Basis des $\mathbb{R}^{2\times 2}$ bildet.

15.15

•• Bestimmen Sie eine Basis des von der Menge

$$\begin{aligned}\displaystyle X=\left\{\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\\ -1\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\\ -2\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}-1\\ -2\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}-1\\ 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}1\\ 0\\ -1\\ -1\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}2\\ 0\\ -1\\ 0\end{pmatrix}\right\}\end{aligned}$$

erzeugten Untervektorraums $U:=\langle X\rangle$ des $\mathbb{R}^{4}$.

3.3 Anwendungsprobleme

15.16

•• Die Wirkung der in einem Punkt $\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^{3}$ angreifenden Kraft $\boldsymbol{F}=\begin{pmatrix}-7\\ 24\\ 9\end{pmatrix}$ in Newton, soll durch geeignete Vielfache der drei in $\boldsymbol{v}$ angreifenden Kräfte

$$\displaystyle\boldsymbol{F}_{1}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 0\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{F}_{2}=\begin{pmatrix}3\\ -4\\ 1\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{F}_{3}=\begin{pmatrix}0\\ 2\\ 3\end{pmatrix}$$

– jeweils in Newton – kompensiert werden. D. h., der Punkt $\boldsymbol{v}$ ist ein Knoten, in dem ein Kräftegleichgewicht, also $\boldsymbol{F}+\lambda_{1}\,\boldsymbol{F}_{1}+\lambda_{2}\,\boldsymbol{F}_{2}+\lambda_{3}\,\boldsymbol{F}_{3}=\mathbf{0}$ mit $\lambda_{1},\,\lambda_{2},\,\lambda_{3}\in\mathbb{R}$, herrschen soll.

15.17

•• Gegeben sind drei Punktladungen $q_{0}=-4\,C$, $q_{1}=6\,C$ und $q_{2}=3\,C$ im $\mathbb{R}^{2}$ an den jeweiligen Stellen $\boldsymbol{r}_{0}=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}$, $\boldsymbol{r}_{2}=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$ und $\boldsymbol{r}_{3}=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}$.

Abb. 15.29

Die Anordnung der Ladungen im $\mathbb{R}^{2}$

Bestimmen Sie die resultierende Kraft $\boldsymbol{F}$, die von $q_{1}$ und $q_{2}$ auf $q_{0}$ ausgeübt wird.

Tab. 15.1 Die Massen der Sonne und der Planeten und ihre Abstände von der Sonne in Astronomischen Einheiten (AE)

Abb. 15.30

Das vereinfachte Sonnensystem aus Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun und Sonne

15.18

•• Der Schwerpunkt des Sonnensystems. In der Tab. 15.1 sind die ungefähren Massen der Planeten und ihre genäherten Abstände von der Sonne angegeben. Bestimmen Sie den ungefähren Schwerpunkt des Sonnensystems. Berücksichtigen Sie hierzu vereinfachend nur die Sonne und die Planeten Jupiter, Saturn, Uranus und Neptun. Gehen Sie weiter von einem ebenen Sonnensystem aus und tragen Sie Jupiter auf der positiven $x_{1}$-Achse, Saturn auf der negativen $x_{2}$-Achse, Uranus auf der negativen $x_{1}$-Achse und schließlich Neptun auf der positiven $x_{2}$-Achse auf.

Antworten der Selbstfragen

Antwort 1

Nein. Sind nämlich $\boldsymbol{v}^{\prime}$ und $\boldsymbol{v}^{\prime\prime}$ entgegengesetzte Elemente von $\boldsymbol{v}$, so gilt

$$\displaystyle\boldsymbol{v}^{\prime}=\boldsymbol{v}^{\prime}+(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{v}^{\prime\prime})=(\boldsymbol{v}^{\prime}+\boldsymbol{v})+\boldsymbol{v}^{\prime\prime}=\boldsymbol{v}^{\prime\prime}.$$

Also gilt $\boldsymbol{v}^{\prime}=\boldsymbol{v}^{\prime\prime}$.

Antwort 2

Durch nichts: $\mathbb{K}^{n}=\mathbb{K}^{n\times 1}$.

Antwort 3

Ja. Die reelle Zahl $0$ hat den Grad $-\infty$ und ist $a\in\mathbb{R}$ ungleich null, so hat $a$ den Grad $0$.

Antwort 4

Neben den trivialen Untervektorräumen sind für alle $\boldsymbol{v}\neq\mathbf{0}\neq\boldsymbol{w}$ und $\boldsymbol{w}\notin\mathbb{R}\,\boldsymbol{v}$ die Mengen $\mathbb{R}\,\boldsymbol{v}$ und $\mathbb{R}\,\boldsymbol{v}+\mathbb{R}\,\boldsymbol{w}=\{\lambda\,\boldsymbol{v}+\mu\,\boldsymbol{w}\,|\,\lambda,\,\mu\in\mathbb{R}\}$ Untervektorräume. Tatsächlich gibt es keine weiteren Untervektorräume im $\mathbb{R}^{3}$.

Antwort 5

Von denen gibt es nur die trivialen $\smash{\begin{pmatrix}a&a\\ a&a\end{pmatrix}}$.

Antwort 6

Ja. Der Vektorraum selbst ist stets ein Erzeugendensystem.

Antwort 7

Ja, dies folgt aus der Definition.

Antwort 8

Vom Nullvektorraum $\{\mathbf{0}\}$ abgesehen (dieser besitzt die einzige Basis $\emptyset$) besitzt jeder $\mathbb{K}$-Vektorraum sogar unendlich viele Basen. Einen Basisvektor $\boldsymbol{b}$ kann man nämlich stets durch $\lambda\,\boldsymbol{b}$ mit $\lambda\in\mathbb{K}\setminus\{0\}$ ersetzen und erhält wieder eine Basis. Man beachte, dass wir hier voraussetzen, dass für $\mathbb{K}$ nur der Körper der reellen oder komplexen Zahlen in Frage kommt.

Antwort 9

• 1. Ja, die leere Menge ist Basis des Nullvektorraums.

• 2. Nein, der $\mathbb{R}^{2}$ ist keine Basis von $\langle\mathbb{R}^{2}\rangle=\mathbb{R}^{2}$.

• 3. Ja, jede linear unabhängige Menge $X$ ist Basis von $\langle X\rangle$?

Antwort 10

Der $\mathbb{R}$-Vektorraum $\mathbb{R}$ hat die Dimension 1, und jede von null verschiedene Zahl ist als Basisvektor wählbar.

Antwort 11

Ja, aber nur falls $\boldsymbol{v}\in U$, also $\mathbf{0}\in T$ gilt.