Ableitung optimaler Preisrelationen in einer geschlossen und in einer offenen Volkswirtschaft

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden optimale Produkt- und Faktorpreisrelationen in geschlossenen und offenen Volkswirtschaften unter neoklassischen Bedingungen abgeleitet. Das Kapitel ist vornehmlich für Studierende gedacht, die bisher mit dem Instrumentarium der Neoklassik, wie es in Standardlehrbüchern dargestellt wird, nicht vertraut sind. Zunächst werden die Bedingungen sowohl für Tausch- als auch für Produktionseffizienz in einer geschlossenen Volkswirtschaft abgeleitet. Anschließend werden optimale Preisrelationen für handelbare und nicht-handelbare Güter in einer offenen Volkswirtschaft abgeleitet, und es wird gezeigt, wie diese Preisrelationen davon abhängen, ob ein Land groß oder klein im Sinne der Handelstheorie ist.

Anhang

Anhang 2.1 Optimalbedingungen in einem Modell mit zwei Individuen, zwei Gütern und zwei Produktionsfaktoren

Es wird von zwei Individuen mit deren Nutzenfunktionen, zwei Gütern, zwei Produktionsfaktoren und gegebenen neoklassischen Produktionsfunktionen ausgegangen. Ziel ist es, das gesamtgesellschaftliche Nutzen, bestehend aus dem Nutzen der beiden Individuen durch eine optimale Allokation der Produktionsfaktoren und der mit diesen Faktoren produzierten Güter, zu erreichen.

Die zu maximierende Lagrangefunktion lautet demnach:

$$\begin{aligned} & L = W\left[ {U^{1} \left( {Q_{1}^{D1} ,Q_{2}^{D1} } \right),U^{2} \left( {Q_{1}^{D2} ,Q_{2}^{D2} } \right)} \right] - \lambda_{1} \left[ {P_{1} Q_{1}^{S} \left( {K_{1} ,A_{1} } \right) - P_{1} \left( {Q_{1}^{D1} + Q_{2}^{D2} } \right)} \right] \\&- \lambda_{2} [P_{2} Q_{2}^{S} \left( {K_{2} ,A_{2} } \right) - \left. {P_{2} \left( {Q_{2}^{D1} + Q_{2}^{D2} } \right)} \right] - \lambda_{3} \left[ {K - K_{1} - K_{2} } \right] - \lambda_{4} \left[ {A - A_{1} - A_{2} } \right] \\ \end{aligned}$$

(2.37)

Die hieraus abzuleitende 8 Bedingungen 1. Ordnung sind:

$$\frac{\partial L}{{\partial Q_{1}^{D1} }} = \frac{\partial W}{{\partial U^{1} }}\frac{{\partial U^{1} }}{{\partial Q_{1}^{D1} }} + \lambda_{1} P_{1} = 0$$

(2.38)

$$\frac{\partial L}{{\partial Q_{2}^{D1} }} = \frac{\partial W}{{\partial U^{1} }}\frac{{\partial U^{1} }}{{\partial Q_{2}^{D1} }} + \lambda_{2} P_{2} = 0$$

(2.39)

$$\frac{\partial L}{{\partial Q_{1}^{D2} }} = \frac{\partial W}{{\partial U^{2} }}\frac{{\partial U^{2} }}{{\partial Q_{1}^{D2} }} + \lambda_{1} P_{1} = 0$$

(2.40)

$$\frac{\partial L}{{\partial Q_{2}^{D2} }} = \frac{\partial W}{{\partial U^{2} }}\frac{{\partial U^{2} }}{{\partial Q_{2}^{D2} }} + \lambda_{2} P_{2} = 0$$

(2.41)

$$\frac{\partial L}{{\partial K_{1} }} = - \lambda_{1} P_{1} \frac{{\partial Q_{1}^{S} }}{{\partial K_{1} }} + \lambda_{3} = 0$$

(2.42)

$$\frac{\partial L}{{\partial K_{2} }} = - \lambda_{2} P_{2} \frac{{\partial Q_{2}^{S} }}{{\partial K_{2} }} + \lambda_{3} = 0$$

(2.43)

$$\frac{\partial L}{{\partial A_{1} }} = - \lambda_{1} P_{1} \frac{{\partial Q_{1}^{S} }}{{\partial A_{1} }} + \lambda_{4} = 0$$

(2.44)

$$\frac{\partial L}{{\partial A_{2} }} = - \lambda_{2} P_{2} \frac{{\partial Q_{2}^{S} }}{{\partial A_{2} }} + \lambda_{4} = 0$$

(2.45)

Aus den Gl. 2.38 bis Gl. 2.41 folgt:

$$\frac{\partial W}{{\partial U^{1} }}\frac{{\partial U^{1} }}{{\partial Q_{1}^{D1} }} = \frac{\partial W}{{\partial U^{2} }}\frac{{\partial U^{2} }}{{\partial Q_{1}^{D2} }}$$

(2.46)

und

$$\frac{\partial W}{{\partial U^{1} }}\frac{{\partial U^{1} }}{{\partial Q_{2}^{D1} }} = \frac{\partial W}{{\partial U^{2} }}\frac{{\partial U^{2} }}{{\partial Q_{2}^{D2} }}$$

(2.47)

Folglich gilt:

$$\frac{{\frac{\partial W}{{\partial U^{1} }}}}{{\frac{\partial W}{{\partial U^{2} }}}} = \frac{{\frac{{\partial U^{2} }}{{\partial Q_{1}^{D2} }}}}{{\frac{{\partial U^{1} }}{{\partial Q_{1}^{D1} }}}} = \frac{{\frac{{\partial U^{2} }}{{\partial Q_{2}^{D2} }}}}{{\frac{{\partial U^{1} }}{{\partial Q_{2}^{D1} }}}}$$

(2.48)

und daher:

$$\frac{{\frac{{\partial U^{1} }}{{\partial Q_{1}^{D1} }}}}{{\frac{{\partial U^{1} }}{{\partial Q_{2}^{D1} }}}} = \frac{{\frac{{\partial U^{2} }}{{\partial Q_{1}^{D2} }}}}{{\frac{{\partial U^{2} }}{{\partial Q_{2}^{D2} }}}}$$

(2.49)

bzw., dass die Grenzraten der Substitution zwischen Gut 1 und Gut 2 für beide Individuen gleich sind. Diese Bedingung wird oben in Abschn. 2.2 des Kapitels erläutert und anhand des Edgeworth-Box-Diagramms in Abb. 2.1 illustriert.

Aus Gl. 2.42 bis Gl. 2.45 folgt:

$$- \lambda_{1} P_{1} \frac{{\partial Q_{1}^{S} }}{{\partial K_{1} }} = - \lambda_{2} P_{2} \frac{{\partial Q_{2}^{S} }}{{\partial K_{2} }}$$

(2.50)

und

$$- \lambda_{1} P_{1} \frac{{\partial Q_{1}^{S} }}{{\partial A_{1} }} = - \lambda_{2} P_{2} \frac{{\partial Q_{2}^{S} }}{{\partial A_{2} }}$$

(2.51)

Folglich gilt:

$$\frac{{\lambda_{1} P_{1} }}{{\lambda_{2} P_{2} }} = \frac{{\frac{{\partial Q_{2}^{S} }}{{\partial K_{2} }}}}{{\frac{{\partial Q_{1}^{S} }}{{\partial K_{1} }}}} = \frac{{\frac{{\partial Q_{2}^{S} }}{{\partial A_{2} }}}}{{\frac{{\partial Q_{1}^{S} }}{{\partial A_{1} }}}}$$

(2.52)

und daher

$$\frac{{\frac{{\partial Q_{1}^{S} }}{{\partial K_{1} }}}}{{\frac{{\partial Q_{1}^{S} }}{{\partial A_{1} }}}} = \frac{{\frac{{\partial Q_{2}^{S} }}{{\partial K_{2} }}}}{{\frac{{\partial Q_{2}^{S} }}{{\partial A_{2} }}}}$$

(2.53)

bzw., dass die Grenzraten der Substitution zwischen Kapital und Arbeit in der Produktion der Güter 1 und 2 gleich sind. Diese Bedingung wird im Abschn. 2.3 des Kapitels und anhand des Edgeworth-Box-Diagramms in Abb. 2.2 erläutert.

Aus Gl. 2.38 und 2.39 folgt schließlich:

$$\frac{\partial W}{{\partial U^{1} }}\frac{{\partial U^{1} }}{{\partial Q_{1}^{D1} }} = - \lambda_{1} P_{1}$$

(2.54)

und

$$\frac{\partial W}{{\partial U^{1} }}\frac{{\partial U^{1} }}{{\partial Q_{2}^{D1} }} = - \lambda_{2} P_{2}$$

(2.55)

Diese Gleichungen werden in Gl. 2.42 und 2.43 eingesetzt:

$$\frac{\partial W}{{\partial U^{1} }}\frac{{\partial U^{1} }}{{\partial Q_{1}^{D1} }}\frac{{\partial Q_{1}^{S} }}{{\partial K_{1} }} = - \lambda_{3}$$

(2.56)

$$\frac{\partial W}{{\partial U^{1} }}\frac{{\partial U^{1} }}{{\partial Q_{2}^{D1} }}\frac{{\partial Q_{2}^{S} }}{{\partial K_{2} }} = - \lambda_{3}$$

(2.57)

Daher gilt:

$$\frac{{\partial U^{1} }}{{\partial Q_{1}^{D1} }}\frac{{\partial Q_{1}^{S} }}{{\partial K_{1} }} = \frac{{\partial U^{1} }}{{\partial Q_{2}^{D1} }}\frac{{\partial Q_{2}^{S} }}{{\partial K_{2} }}$$

(2.58)

$$\frac{{\frac{{\partial U^{1} }}{{\partial Q_{2}^{D1} }}}}{{\frac{{\partial U^{1} }}{{\partial Q_{2}^{D1} }}}} = \frac{{\frac{{\partial Q_{2}^{S} }}{{\partial K_{2} }}}}{{\frac{{\partial Q_{1}^{S} }}{{\partial K_{1} }}}}$$

(2.59)

bzw., dass die Grenzrate der Substitution zwischen Gut 1 und Gut 2 (die laut Gl. 2.48 für alle Konsumenten gleich ist) gleich der Grenzrate der Transformation zwischen den Gütern 1 und 2 ist. Diese Bedingung wird auch in Abschn. 2.3 des Kapitels erläutert.

Anhang 2.2 Die optimale Faktorkombination eines Unternehmens

Das Entscheidungsproblem eines Unternehmens lautet: Mit welcher Kombination der Faktoren Kapital und Arbeit wird welche Menge des Guts j produziert? Wenn davon ausgegangen werden kann, dass die gewinnmaximierende Faktorkombination und Outputmenge gewählt wird, lautet das Entscheidungsproblem des Unternehmens

$$Max:{ }\pi = P_{j} Q_{j}^{S} \left( {K_{j} ,A_{j} } \right) - P_{K} K_{j} - P_{A} A_{j}$$

(2.60)

mit:

$\pi$:

= Gewinn und

$P_{K}$ und $P_{A}$ die Preise der Produktionsfaktoren Kapital und Arbeit.

Das Maximum wird durch Bildung und Nullsetzen der ersten partiellen Ableitungen der Gewinnfunktion Gl. 2.60 erhalten (Bedingungen 1. Ordnung)⁸:

$$\frac{d\pi }{{dK_{j} }} = P_{j} \frac{{\partial Q_{j}^{S} }}{{\partial K_{j} }} - P_{K} = 0$$

(2.61)

$$\frac{d\pi }{{dA_{j} }} = P_{j} \frac{{\partial Q_{j}^{S} }}{{\partial A_{j} }} - P_{A} = 0$$

(2.62)

Aus Gl. 2.61 und 2.62 ergeben sich:

$$P_{j} = \frac{{P_{K} }}{{\frac{{\partial Q_{j}^{S} }}{{\partial K_{j} }}}}$$

(2.63)

$$P_{j} = \frac{{P_{A} }}{{\frac{{\partial Q_{j}^{S} }}{{\partial A_{j} }}}}$$

(2.64)

Daraus folgt:

$$\frac{{P_{K} }}{{\frac{{\partial Q_{j}^{S} }}{{\partial K_{j} }}}} = \frac{{P_{A} }}{{\frac{{\partial Q_{j}^{S} }}{{\partial A_{j} }}}}\;{\text{bzw}}.\;\frac{{\frac{{\partial Q_{j}^{S} }}{{\partial K_{j} }}}}{{\frac{{\partial Q_{j}^{S} }}{{\partial A_{j} }}}} = \frac{{P_{K} }}{{P_{A} }}$$

(2.65)

D. h. im Optimum wählt das Unternehmen eine Faktorkombination, bei der die Grenzrate der Substitution gleich der Faktorpreisrelation ist.

Anhang 2.3: Die linear-homogene Produktionsfunktion

Homogenität einer Funktion vom Grad $\lambda$ bedeutet, dass eine Multiplikation der unabhängigen Variablen mit einer Konstanten $k$ den Wert der Funktion um den Faktor $k^{\lambda }$ verändert. Für eine Funktion$f$, die homogen vom Grad $\lambda$ ist, gilt folglich:

$$f\left( {kx_{1} ,kx_{2} , \ldots ,kx_{n} } \right) = k^{\lambda } *f\left( {x_{1} ,x_{2} , \ldots ,x_{n} } \right)$$

(2.66)

Die Funktion

$$y = 3x^{2} + 2z^{2}$$

(2.67)

z. B. ist homogen vom Grad 2, da eine Ver-$k$-fachung der unabhängigen Variablen $x$ und $z$ zu einer Veränderung des Werts der Funktion um den Faktor $k^{2}$ führt.

Die Begriffe homogen vom Grad 1 und linear homogen werden häufig synonym verwandt. Dies kann zu Verwirrungen führen, denn eine linear homogene Funktion – d. h. eine Funktion, die homogen vom Grad 1 ist – muss nicht linear sein: das Adjektiv 'linear' beschreibt die Homogenität der Funktion und nicht die Funktion selbst. Folgende Funktion, z. B. ist nicht-linear in $x$ und$z$, aber homogen vom Grad 1 und daher linear homogen:

$$y = 3x^{0,25} + 2z^{0,75}$$

(2.68)

In der Ökonomie wird die Cobb–Douglas-Funktion oft zur Abbildung von Produktionsprozessen verwandt.⁹ Die Cobb–Douglas Funktion lautet im Allgemeinen:

$$y = \beta_{0} x^{{\beta_{1} }} z^{{\beta_{2} }}$$

(2.69)

Dabei ist die Cobb–Douglas-Funktion nur linear-homogen, wenn$\beta_{1} + \beta_{2} = 1$.

Eine typische Cobb–Douglas-Produktionsfunktion mit zwei Inputs, $A$ und$K$, und Output $Q$ lautet:

$$Q = \beta_{0} A^{{\beta_{1} }} K^{{\beta_{2} }}$$

(2.70)

In Gl. 2.70 sind $\beta_{1}$ und $\beta_{2}$ sog. partielle Produktionselastizitäten. Die partielle Produktionselastizität ist definiert als prozentuale Änderung der produzierten Menge bei einer ein-prozentigen Änderung des Einsatzes eines Faktors. Für den Faktor Arbeit, z. B., ist die partielle Produktionselastizität wie folgt definiert:

$$\frac{{\frac{\partial Q}{Q}}}{{\frac{\partial A}{A}}} = \frac{\partial Q}{{\partial A}}\frac{A}{Q}$$

(2.71)

Die Identität der partiellen Produktionselastizität in Gl. 2.71 mit dem Koeffizienten $\beta_{1}$ in Gl. 2.70 kann durch Logarithmierung und totales Differenzieren von Gl. 2.70 bewiesen werden:

$$\ln Q = \ln \beta_{0} + \beta_{1} \ln A + \beta_{2} \ln K$$

(2.72)

bzw.

$$d\left( {\ln Q} \right) = d\left( {\ln \beta_{0} } \right) + d\left( {\beta_{1} \ln A} \right) + d\left( {\beta_{2} \ln K} \right)$$

(2.73)

Da die Änderung einer logarithmierten Größe gleich der Änderungsrate der ursprünglichen Größe ist (d. h. $d\left( {\ln x} \right) = \frac{dx}{x}$), und da $\beta_{0}$ eine Konstante ist (d. h.$d\left( {\ln \beta_{0} } \right) = 0$), kann Gl. 2.73 wie folgt umgeformt werden:

$$\frac{dQ}{Q} = \beta_{1} \frac{dA}{A} + \beta_{2} \frac{dK}{K}{ }$$

(2.74)

Wird nun die Einsatzmenge des Faktors $K$ konstant gehalten folgt:

$$\frac{\frac{dQ}{Q}}{\frac{dA}{A}} = \beta_{1} \;{\text{bzw}}{.}\;{\text{bei}}\;{\text{konstantem}}\;{\text{Faktor}}\;{\text{A}}\;{\text{entsprechend}}\;\frac{\frac{dQ}{Q}}{\frac{dK}{K}} = \beta_{2} .$$

(2.75)

Linear-homogene Produktionsfunktionen haben mehrere Eigenschaften, die eine wichtige Rolle in der Preistheorie spielen. Diese Eigenschaften werden im Folgenden vorgestellt.

1. Die Skalen- oder Niveauelastizität einer linear-homogenen Produktionsfunktion ist gleich eins.

Die Skalen- oder Niveauelastizität gibt an, um wie viel Prozent sich die Produktionsmenge ändert, wenn sich der gesamte Faktoreinsatz um 1 % ändert. Eine Skalenelastizität von eins bedeutet, dass sich bei einer Erhöhung aller Faktoreinsatzmengen um 1 % auch die Produktionsmenge um 1 % erhöht. Da für eine linear-homogene Funktion gilt:

$$f\left( {kx_{1} ,kx_{2} , \ldots ,kx_{n} } \right) = k{*}f\left( {x_{1} ,x_{2} , \ldots ,x_{n} } \right)$$

(2.76)

folgt, dass die Skalenelastizität einer solchen Funktion gleich eins sein muss.

Im Falle einer Skalenelastizität von eins bringt eine Verdoppelung oder sonstige proportionale Vergrößerung des Unternehmens für den Produzenten keine Wettbewerbsvorteile, denn bei einer Vergrößerung ändern sich seine Kosten und seine Produktionsmenge um den gleichen Prozentsatz, sodass seine Stückkosten unverändert bleiben. Ein anderer Ausdruck für Skalenelastizität ist Skalenerträge oder im Englischen returns to scale. Eine Skalenelastizität von eins wird auch constant returns to scale genannt; bei einer Skalenelastizität von größer eins (d. h. eine Produktionsfunktion, die homogen vom Grad > 1 ist) wird von increasing returns to scale (steigende Skalenerträge) gesprochen.

Die Annahme einer Skalenelastizität von eins ist für die Existenz eines Konkurrenzgleichgewichts von entscheidender Bedeutung. Bei steigenden Skalenerträgen z. B. sinken die Stückkosten mit steigender Betriebsgröße. Sind steigenden Skalenerträgen gegeben, können demnach größere Produzenten kleinere vom Markt verdrängen, was früher oder später zur Entstehung von Monopolstrukturen führen muss. Wie in Abschn. 2.2 dargestellt wurde, kann aber der Markt- und Preismechanismus nur zu einem Pareto-Optimum führen, wenn vollständige Konkurrenz auf allen Gütermärkten herrscht.

2. Die Summe der partiellen Produktionselastizitäten einer linear-homogenen Produktionsfunktion ist gleich eins.

Diese Eigenschaft folgt direkt aus der ersten. Da die Skalenelastizität einer linear-homogenen Funktion gleich eins ist, wissen wir, dass eine Änderung aller Inputmengen um einen bestimmten Prozentsatz eine Änderung der Outputmenge um den gleichen Prozentsatz bewirkt (d. h. bei gleichem $\frac{dA}{A}$ und $\frac{dK}{K}$ ist$\frac{dQ}{Q} = \frac{dA}{A} = \frac{dK}{K}$). Gl. 2.74 kann daher wie folgt umgeformt werden:

$$\frac{dQ}{Q} = \left( {\beta_{1} + \beta_{2} } \right)\frac{dK}{K}$$

(2.77)

bzw.

$$\frac{\frac{dQ}{Q}}{\frac{dK}{K}} = \left( {\beta_{1} + \beta_{2} } \right) = 1$$

(2.78)

Aus der Tatsache, dass sich die partiellen Produktionselastizitäten zu eins aufaddieren, ergibt sich ein wichtiges Theorem, das Euler'sche Theorem. Es besagt, dass bei einer Entlohnung aller Faktoren nach der Wertgrenzproduktivität die Summe der Faktoreinkommen gleich dem Wert der Produktion ist. Dies kann wie folgt gezeigt werden:

Ausgangspunkt des Beweises ist die Gl. 2.78:

$$\beta_{1} + \beta_{2} = \frac{dQ}{{dA}}\frac{A}{Q} + \frac{dQ}{{dK}}\frac{K}{Q} = 1$$

(2.79)

Wird diese Gleichung mit $P*Q$ multipliziert, so ergibt sich:

$$PQ = \frac{\partial Q}{{\partial A}}PA + \frac{\partial Q}{{\partial K}}PK$$

(2.80)

und bei einer Entlohnung nach der Wertgrenzproduktivität folglich:

$$PQ = P_{A} A + P_{K} K$$

(2.81)

da $\frac{\partial Q}{{\partial A}}P = P_{A}$ und$\frac{\partial Q}{{\partial K}}P = P_{K}$. Gilt das Euler'sche Theorem, gibt es folglich kein Residualeinkommen und alle Faktoren können nach ihren marginalen Produktionsbeiträgen entlohnt werden. Offensichtlich ist diese Aussage für das Funktionieren eines marktwirtschaftlichen Konkurrenzsystems von großer Bedeutung.

3. In einer linear-homogenen Produktionsfunktion hängt die Faktorproduktivität nur von der Faktorintensität ab.

Die Produktivität eines Faktors ist definiert als Quotient aus der Produktionsmenge und der Einsatzmenge des Faktors:

$$\frac{Q}{A}\;{\rm{bzw}}.\;\frac{Q}{K} = {\rm{Produktivit}}\ddot{\rm{a}} {\rm{t}}\;{\rm{des}}\;{\rm{Faktors}}\;{\rm{A}}\;{\rm{bzw}}{.}\;{\rm{K}}.$$

Die Faktorintensität gibt die Relation der Faktoreinsatzmengen an:

$$\frac{A}{K}\;{\rm{oder}}\;\frac{K}{A} = {\rm{Faktorintensit}}\ddot{\rm{a}} {\rm{t}}$$

Es soll nun gezeigt werden, dass die Faktorproduktivität nur von der Faktorintensität abhängt, also:

$$\frac{Q}{A} = f\left( \frac{A}{K} \right)$$

(2.82)

Hierzu wird von der Produktionsfunktion ausgegangen:

$$Q = f\left( {A,K} \right)$$

(2.83)

Dividiert man die Gleichung durch$A$, so ergibt sich:

$$\frac{Q}{A} = f\left( {1,\frac{K}{A}} \right) = f\left( \frac{K}{A} \right)$$

(2.84)

Die Produktivität des Faktors $A$ ist also umso höher, je größer die Intensität des Faktors $K$ ist.

Dieser Zusammenhang lässt sich konkret auch für die Cobb–Douglas-Produktionsfunktion $Q = \beta_{0} A^{{\beta_{1} }} K^{{\beta_{2} }}$ ableiten. Dividiert man durch$A$, und unter Berücksichtigung der Tatsache, dass $\beta_{1} + \beta_{2} = 1$ ergibt sich:

$$\frac{Q}{A} = \frac{{\beta_{0} A^{{\beta_{1} }} K^{{\beta_{2} }} }}{A} = \frac{{\beta_{0} K^{{\beta_{2} }} }}{{A^{{1 - \beta_{1} }} }} = \frac{{\beta_{0} K^{{\beta_{2} }} }}{{A^{{\beta_{2} }} }}$$

(2.85)

woraus deutlich wird, dass die Faktorproduktivität $\frac{Q}{A}$ ausschließlich von der Faktorintensität $\frac{K}{A}$ abhängt.