Heikle Fragen und Vertrauen: Erklärungen des Antwortverhaltens in Randomized Response Surveys

Zusammenfassung

Die „Randomized Response Technik“ (RRT) ist eine indirekte Befragungsmethode, die mithilfe eines Zufallsmechanismus Anonymität bei der Beantwortung heikler Fragen in Surveys herstellt. Frühere Studien nahmen häufig implizit an, dass die Befragten der RRT vertrauen, den Instruktionen folgen und entsprechend geneigt sind, ehrliche Antworten zu geben. Allerdings zeigen Validierungsstudien, dass der Einsatz der RRT nicht immer zu ehrlicheren Antworten führt, sondern teils sogar schlechtere Ergebnisse liefert, als die direkte Befragung. Dieser Artikel untersucht deshalb auf einer theoretischen Ebene die Bedingungen, unter denen diese impliziten Annahmen mit dem rationalen Verhalten der Befragten konsistent sind: Erstens, da P (A | Ja) > P (A | Nein) ist, haben beide Typen von Befragten A (mit heiklem Merkmal) und Nicht-A (ohne heikles Merkmal) einen Anreiz die RRT-Instruktionen zu missachten. Im Gegensatz dazu haben Befragte vom Typ Nicht-A in einer direkten Befragung keinen Anreiz, unehrliche Antworten zu geben. In einer RRT-Befragung ist entsprechend das Ausmaß der Verzerrung durch Effekte sozialer Erwünschtheit theoretisch höher, als in direkten Befragungen. Zweitens, ein einfacher spieltheoretischer Ansatz modelliert die Interviewsituation als soziale Interaktion zwischen Befragten und Interviewern in einem Kontext von Normen und wechselseitigen Erwartungen. Es wird argumentiert, dass die Entscheidung des Befragten ehrlich zu antworten abhängt von: 1) der subjektiven Wahrscheinlichkeit, dass der Interviewer Vertrauen honoriert und 2) der Relation des Nutzens aus der Befolgung einer „Ehrlichkeitsnorm“ und den potenziellen Kosten einer ehrlichen Antwort. Schließlich zeigen wir unter Berücksichtigung bisheriger empirischer Evidenz unter welchen Bedingungen ein Erfolg bzw. Scheitern der RRT zu erwarten ist.

Anhang: Beweis, dass P(A|Ja) > P(A|Nein)

Es gibt zwei Typen von Befragten A (mit heiklem Merkmal) und Nicht-A (ohne heikles Merkmal). Der Einfachheit halber werden nur dichotome Items mit den Antwortmöglichkeiten „Ja“ oder „Nein“ berücksichtigt. Zunächst werden die Bedingungen identifiziert, unter denen $P(A|Ja) > P(A|Nein)$ bzw. $P(NichtA|Nein) > P(NichtA|Ja)$ gilt. Aus dem RRT-Design ergeben sich die folgenden Design–Wahrscheinlichkeiten:

$$ P\left( {Ja |A} \right) = 1 - P(Nein|A) $$

und

$$ P\left( {Ja |NichtA} \right) = 1 - P(Nein|NichtA) $$

Unter der Annahme, dass alle Befragten den RRT-Regeln folgen, lassen sich mit dem Bayes-Theorem die bedingten Wahrscheinlichkeiten bestimmen, dass gegeben eine bestimmte Antwort, ein Befragter Mitglied der stigmatisierten Gruppe A ist:

$$ P(A|Antwort) = \frac{P(A) \cdot P(Antwort|A)}{P(A) \cdot P(Antwort|A) + P(NichtA) \cdot P(Antwort|NichtA)} $$

Hierbei ist $P(A)$ gleich dem unbekannten Populationsanteil $\pi_{A}$ mit dem heiklen Merkmal A. Setzt man nun eine spezifische Antwort ein, dann ergibt sich:

$$ P(A|Ja) = \frac{P(A) \cdot P(Ja|A)}{P(A) \cdot P(Ja|A) + P(NichtA) \cdot P(Ja|NichtA)} $$

und

$$ P(A|Nein) = \frac{P(A) \cdot P(Nein|A)}{P(A) \cdot P(Nein|A) + P(NichtA) \cdot P(Nein|NichtA)} $$

Nun muss die Bedingung gefunden werden, unter der $\frac{P(A|Ja)}{P(A|Nein)}\mathop > \limits^{!} 1$ ist: $\frac{{P\left( {A |Ja} \right)}}{{P\left( {A |Nein} \right)}} =$$= \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {Ja |A} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {Ja |A} \right) + P\left( {NichtA} \right) \cdot P\left( {Ja |NichtA} \right)}} \cdot \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {Nein |A} \right) + P\left( {NichtA} \right) \cdot P\left( {Nein |NichtA} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {Nein |A} \right)}}$ $= \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {Ja |A} \right) \cdot P\left( {Nein |A} \right) + P(NichtA) \cdot P\left( {Ja |A} \right) \cdot P(Nein|NichtA)}}{P(A) \cdot P(Ja|A) \cdot P(Nein|A) + P(NichtA) \cdot P(Ja|NichtA) \cdot P(Nein|A)}\mathop > \limits^{!} 1 \Leftrightarrow$ $\frac{{a + P(NichtA) \cdot P\left( {Ja |A} \right) \cdot P(Nein|NichtA)}}{a + P(NichtA) \cdot P(Ja|NichtA) \cdot P(Nein|A)}\mathop > \limits^{!} 1 \Leftrightarrow$ $P\left( {NichtA} \right) \cdot P\left( {Ja |A} \right) \cdot P\left( {Nein |NichtA} \right) > P\left( {NichtA} \right) \cdot P\left( {Ja |NichtA} \right) \cdot P\left( {Nein |A} \right) \Leftrightarrow$ $P\left( {Ja |A} \right) \cdot P\left( {Nein |NichtA} \right) > P\left( {Ja |NichtA} \right) \cdot P\left( {Nein |A} \right)$

Aus $P\left( {Nein |NichtA} \right) = 1 - P(Ja|NichtA)$ folgt:

$$ P\left( {Ja |A} \right) \cdot \left( {1 - P(Ja|NichtA)} \right) > P\left( {Ja |NichtA} \right) \cdot P\left( {Nein |A} \right) \Leftrightarrow $$

$$ P\left( {Ja |A} \right) - P\left( {Ja |A} \right) \cdot P(Ja|NichtA) > P\left( {Ja |NichtA} \right) \cdot P\left( {Nein |A} \right) \Leftrightarrow $$

$$ P\left( {Ja |A} \right) > P\left( {Ja |NichtA} \right) \cdot P\left( {Nein |A} \right) + P\left( {Ja |A} \right) \cdot P(Ja|NichtA) \Leftrightarrow $$

$P\left( {Ja |A} \right) > P\left( {Ja |NichtA} \right) \cdot \left( {P\left( {Nein |A} \right) + P(Ja|A)} \right)$

Weil $P\left( {Nein |A} \right) + P\left( {Ja |A} \right) = 1$ ist, ist die folgende Bedingung für $P\left( {A |Ja} \right) > P\left( {A |Nein} \right)$ bzw. $P\left( {NichtA |Nein} \right) > P\left( {NichtA |Ja} \right)$ wahr:

$$ P\left( {Ja |A} \right) > P\left( {Ja |NichtA} \right) $$

und $P\left( {Nein |NichtA} \right) > P\left( {Nein |A} \right)$

Im RRT-Design enthalten automatische „Ja“- oder „Nein“-Antworten keine Informationen über den Befragten und sind unabhängig von dessen wahren Status bezüglich des heiklen Merkmals.

Sei eine ehrliche Antwort auf eine heikle Frage als $Q$ und eine automatische Antwort als $Q'$ bezeichnet. Zudem nehmen wir an, dass alle Befragten die RRT-Regeln befolgen. Für den Fall, dass das Zufallsexperiment eine automatische Antwort festlegt (mit Wahrscheinlichkeit $1 - p$), ergibt sich:

$$ P(Ja|A\mathop \cap \nolimits Q') = P(Ja|NichtA\mathop \cap \nolimits Q') $$

und $P(Nein|NichtA\mathop \cap \nolimits Q') = P(Nein|A\mathop \cap \nolimits Q')$.

Im Gegensatz dazu, erhalten wir für den Fall, dass das Zufallsexperiment als Ergebnis eine ehrliche Antwort erfordert (mit Wahrscheinlichkeit $p$):

$$ P(Ja|A\mathop \cap \nolimits Q) = P(Nein|NichtA\mathop \cap \nolimits Q) = 1 $$

und $P(Nein|A\mathop \cap \nolimits Q) = P(Ja|NichtA\mathop \cap \nolimits Q) = 0$.

Somit ist es offensichtlich, dass für jede Auswahlwahrscheinlichkeit $p > 0$ die Bedingungen $P(Ja|A) > P(Ja|NichtA)$ und $P(Nein|NichtA) > P(Nein|A)$ wahr sind.

Folglich sind auch die vorgeschlagenen bayesschen Ungleichungen $P\left( {A |Ja} \right) > P\left( {A |Nein} \right)$ und $P\left( {NichtA |Nein} \right) > P\left( {NichtA |Ja} \right)$ für jede Auswahlwahrscheinlichkeit der heiklen Frage von $p > 0$ (und $0 < P\left( A \right) = \pi_{A} < 1$) wahr. Im RRT-Design lässt sich die Differenz $P(A|Ja) - P(A|Nein)$ als „Grad des Datenschutzes“ der RRT interpretieren. Hierbei kann der Grad des Datenschutzes maximiert werden, indem $P(A|Ja)$ und $P(A|Nein)$ möglichst nah beieinander liegend konzipiert werden (siehe auch Ljungqvist 1993 für ähnliche Vorschläge).