Abstract
We survey the main ideas in the early history of the subjects on which Riemann worked and that led to some of his most important discoveries. The subjects discussed include the theory of functions of a complex variable, elliptic and Abelian integrals, the hypergeometric series, the zeta function, topology, differential geometry, integration, and the notion of space. We shall see that among Riemann’s predecessors in all these fields, one name occupies a prominent place, this is Leonhard Euler.
Il est des hommes auxquels on ne doit pas adresser d’éloges,
si l’on ne suppose pas qu’ils ont le goût assez peu délicat
pour goûter les louanges qui viennent d’en bas.
(Jules Tannery, [240] p. 102)
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Notes
- 1.
In all this chapter, for Riemann’s habilitation, we use Clifford’s translation [231].
- 2.
Cf. for instance Euler’s Problematis cuiusdam Pappi Alexandrini constructio (On a problem posed by Pappus of Alexandria), [96], 1780.
- 3.
Today, Riehen belongs to the Canton of the city of Basel, and it hosts the famous Beyeler foundation.
- 4.
In 1842, at the death of his grandmother, Riemann quitted Hanover and attended the Gymnasium at the Johanneum Lüneburg.
- 5.
In Weil’s book, every piece of historical information is accompanied by a precise reference. Works that attain this level of scholarship are very rare.
- 6.
Unless otherwise stated, the translations from the French in this chapter are mine.
- 7.
Depuis que les sciences ont cessé d’être la propriété exclusive d’un petit nombre d’initiés, ce commerce épistolaire des savants a été absorbé par la presse périodique. Le progrès est incontestable. Cependant, cet abandon avec lequel on se communiquait autrefois ses idées et ses découvertes, dans des lettres toutes confidentielles et privées, on ne le retrouve plus dans les pièces mûries et imprimées. Alors, la vie du savant se reflétait, pour ainsi dire, tout entière dans cette correspondance. On y voit les grandes découvertes se préparer et se développer graduellement ; pas un chaînon, pas une transition n’y manque ; on suit pas à pas la marche qui a conduit à ces découvertes, et l’on puise de l’instruction jusque dans les erreurs des grands génies qui en furent les auteurs. Cela explique suffisamment l’intérêt qui se rattache à ces sortes de correspondances.
- 8.
Il me semble plus que probable que si cette liaison intime entre Euler et ce savant, liaison qui dura 36 ans sans interruption, n’eût pas lieu, la science des nombres n’aurait guère atteint ce degré de perfection dont elle est redevable aux immortelles découvertes d’Euler.
- 9.
Some historians of mathematics claimed that when Riemann enrolled the University of Göttingen, as a doctoral student of Gauss, the latter was old and in poor health, and that furthermore, he disliked teaching. From this, they deduced that Gauss’s influence on Riemann was limited. This is in contradiction with the scope and the variety of the mathematical ideas of Riemann for which he stated, in one way or another, but often explicitly, that he got them under the direct influence of Gauss or by reading his works. The influence of a mathematician is not measured by the time spent talking with him or reading his works. Gauss died the year after Riemann obtained his habilitation, but his imprint on him was permanent.
- 10.
The other courses are on the Cultural History of Greece and Rome, Theology, Recent Church history, General Physiology and Definite Integrals. Riemann had also the possibility to choose courses among Probability, Mineralogy and General Natural History. He adds: “The most useful to me will be mineralogy. Unfortunately it conflicts with Gauss’s lecture, since it is scheduled at 10 o’clock, and so I’d be able to attend only if Gauss moved his lecture forward, otherwise it looks like it won’t be possible. General Natural History would be very interesting, and I would certainly attend, if along with everything else I had enough money.”.
- 11.
As a matter of fact, this is the origin of the use of the word “uniformization” by Riemann.
- 12.
The title of Volterra’s lecture is: Betti, Brioschi, Casorati : Trois analystes italiens et trois manières d’envisager les questions d’analyse (Betti, Brioschi, Casorati: Three Italian analysts and three manners of addressing the analysis questions). In that lecture, Volterra presents three different ways of doing analysis, through the works of Betti, Brioschi and Casorati, who are considered as the founders of modern Italian mathematics. The three mathematicians had very different personalities, and contrasting approaches to analysis, but in some sense they were complementing each other. In particular, Brioschi was capable of doing very long calculations, Betti was a geometer repugnant to calculations, and Casorati was an excellent teacher and an applied mathematician.
- 13.
Je regarde comme un des pas les plus importants que l’Analyse ait faits dans ces derniers temps, de n’être plus embarrassée des quantités imaginaires et de pouvoir les soumettre au calcul comme les quantités réelles.
- 14.
The relation between chord and sine is : \(\sin x =\frac{1}{2}\mathrm {crd}\ 2x\).
- 15.
On appelle ici Fonction d’une grandeur variable, une quantité composée de quelque manière que ce soit avec cette grandeur variable et des constantes. [The emphasis is Bernoulli’s].
- 16.
We are using the translation from Latin in [61].
- 17.
- 18.
- 19.
There are other imperfections in the Introductio, even though this book is one of the most interesting treatises ever written on elementary analysis.
- 20.
One may recall here that the mathematicians of Greek antiquity (Archytas of Tarentum, Hippias, Archimedes, etc.) who examined curves formulated a mechanical definition. The curves with which they dealt were not necessarily defined by equations, they were “traced by a moving point,” sometimes (in theory) using a specific mechanical device. Of some interest here would be the connections between this subject and the theory of mechanical linkages, was extensively developed in the nineteenth century and became fashionable again in the twentieth century. A conjecture by Thurston says (roughly speaking) that any “topological curve” is drawable by a mechanical linkage. This is a vast generalization of a result of Kempe stating that any bounded piece of an algebraic curve is drawable by some linkage, cf. [160]. We refer the reader to Sossinsky’s survey of this subject and its recent developments [238], in particular the solution of Thurston’s conjecture.
- 21.
We are using George Heines’ translation.
- 22.
Dans les ouvrages d’Euler et de Lagrange, une fonction est appelée continue ou discontinue, suivant que les diverses valeurs de cette fonction, correspondantes à diverses valeurs de la variable, sont ou ne sont pas assujetties à une même loi, sont ou ne sont pas fournies par une seule équation. C’est en ces termes que la continuité des fonctions se trouvait définie par ces illustres géomètres, lorsqu’ils disaient que “les fonctions arbitraires, introduites par l’intégration des équations aux dérivées partielles, peuvent être des fonctions continues ou discontinues.” Toutefois, la définition que nous venons de rappeler est loin d’offrir une précision mathématique [...] un simple changement de notation suffira souvent pour transformer une fonction continue en fonction discontinue, et réciproquement.
- 23.
Mais l’indétermination cessera si à la définition d’Euler on substitue celle que j’ai donnée dans le chapitre II de l’Analyse algébrique. Suivant la nouvelle définition, une fonction de la variable réelle x sera continue entre deux limites a et b de cette variable, si, entre ces limites, la fonction acquiert constamment une valeur unique et finie, de telle sorte qu’un accroissement infiniment petit de la variable produise toujours un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même.
- 24.
The translation is Remmert’s; cf. [213] p. 1.
- 25.
Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles que, la valeur de l’une d’elles étant donnée, on puisse en conclure les valeurs de toutes les autres, on conçoit d’ordinaire ces diverses quantités exprimées au moyen de l’une d’entre elles, qui prend alors le nom de variable indépendante ; et les autres quantités exprimées au moyen de la variable indépendante sont ce qu’on appelle des fonctions de cette variable.
Lorsque les quantités variables sont tellement liées entre elles que, les valeurs de quelques unes étant données, on puisse en conclure celles de toutes les autres, on conçoit ces diverses quantités exprimées au moyen de plusieurs d’entre elles, qui prennent alors le nom de variables indépendantes; et les quantités restantes, exprimées au moyen des variables indépendantes, sont ce qu’on appelle des fonctions de ces mêmes variables.
- 26.
In the Introductio Euler used the expression continuous function for a function that is “given by a formula.” This is thoroughly discussed in Sect. 10 of the present chapter.
- 27.
The reference is to Euler’s memoir Specimen novae methodi curvarum quadraturas et rectificationes aliasque quantitates transcendentes inter se comparandi (An example of a new method for the quadurature and rectificaiton of curves and of comparing other quantities which are transcendentally related to each other) [89].
- 28.
The reference to logarithms comes from the fact that \(\frac{dt}{t}\) and some more general rational functions can be integrated using logarithms.
- 29.
The translation is by S. G. Langton.
- 30.
The Euler archive lists thirty-three memoirs by him under the heading “Elliptic integrals,” published between 1738 and 1882. It is sometimes hard to know exactly the year where Euler wrote his memoirs. For several of them, the date of publication was much later that the date of writing, and there are several reasons for that, including the huge backlog of the publication department of the Academies of Sciences of Saint Petersburg and Berlin, the main reason being that Euler used to send them too many papers.
- 31.
J’ai lu avec autant de fruit que de satisfaction votre dernière pièce dont vous avez honoré notre académie. [...] Mais ce qui m’a plu surtout dans votre pièce c’est la réduction de plusieurs formules intégrales à la rectification de l’ellipse et de l’hyperbole ; matière à laquelle j’avais aussi déjà pensé, mais je n’ai pu venir à bout de la formule
$$\begin{aligned} \frac{dx}{\sqrt{\alpha +\beta x+\gamma x^2+\delta x^3+ \epsilon x^4}} \end{aligned}$$et je regarde votre formule comme un chef-d’œuvre de votre expertise.
- 32.
- 33.
Quoique le nom d’Euler soit attaché à presque toutes les théories importantes du calcul intégral, cependant j’ai cru qu’il me serait permis de donner plus spécialement le nom d’Intégrales Eulériennes à deux sortes de transcendantes dont les propriétés ont fait le sujet de plusieurs beaux mémoires d’Euler, et forment la théorie la plus complète que l’on connaisse jusqu’à présent sur les intagrales définies [...].
- 34.
Crelle’s Journal, 80 (1875), p. 205–279.
- 35.
Collected Works, t. I, pp. 385–46.
- 36.
Un jeune géomètre ose vous présenter quelques découvertes faites dans la théorie des fonctions elliptiques, auxquelles il a été conduit par la lecture assidue de vos beaux écrits. C’est à vous, Monsieur, que cette partie brillante de l’analyse doit le haut degré de perfectionnement auquel elle a été portée, et ce n’est qu’en marchant sur les vestiges d’un si grand maître, que les géomètres pourront parvenir à la pousser au-delà des bornes qui lui ont été prescrites jusqu’ici. C’est donc à vous que je dois offrir ce qui suit comme un juste tribut d’admiration et de reconnaissance.
- 37.
J’ai vérifié ce théorème par les méthodes qui me sont propres et je l’ai trouvé parfaitement exact. En regrettant que cette découverte m’ait échappée je n’en ai pas moins éprouvé une joie très vive de voir un perfectionnement si notable ajouté à la belle théorie, dont je suis le créateur, et que j’ai cultivé presque seul depuis plus de quarante ans.
- 38.
Depuis ma dernière lettre, des recherches de la plus grande importance ont été publiées sur les fonctions elliptiques de la part d’un jeune géomètre, qui peut-être vous sera connu personnellement.
- 39.
[J’avais déjà connaissance du beau travail de M. Abel inséré dans le Journal de Crelle. Mais vous m’avez fait beaucoup de plaisir de m’en donner une analyse dans votre langage qui est plus rapproché du mien.] ([146], t. 1, p. 407).
- 40.
Il n’y a que très peu de temps que ces recherches ont pris naissance. Cependant elles ne sont pas les seules entreprises en Allemagne sur le même objet. M. Gauss, ayant appris de celles-ci, m’a fait dire qu’il avait développé déjà en 1808 les cas de 3 sections, 5 sections et de 7 sections, et trouvé en même temps les nouvelles échelles de modules qui s’y rapportent. Cette nouvelle, à ce qui me paraît, est bien intéressante.
- 41.
Comment se fait-il que M. Gauss ait osé vous dire que la plupart de vos théorèmes lui étaient connus et qu’il en avait fait la découverte dès 1808 ? Cet excès d’impudence n’est pas croyable de la part d’un homme qui a assez de mérite personnel pour n’avoir pas besoin de s’approprier les découvertes des autres... Mais c’est le même homme qui en 1801 voulut s’attribuer la découverte de la loi de réciprocité publiée en 1785 et qui voulut s’emparer en 1809 de la méthode des moindres carrés publiée en 1805.
- 42.
Gauss’s collected works, Carl Friedrich Gauss’ Werke, in twelve volumes, were published between 1863 and 1929.
- 43.
La première idée de ces fonctions a été donnée par l’immortel Euler, en démontrant que l’équation séparée
$$\begin{aligned} \frac{\partial x}{\sqrt{\alpha +\beta x+\gamma x^2+\delta x^3+\epsilon x^4}}+\frac{\partial y}{\sqrt{\alpha +\beta y+\gamma y^2+\delta y^3+\epsilon y^4}}=0 \end{aligned}$$est intégrable algébriquement. Après Euler , Lagrange y a ajouté quelque chose, en donnant son élégante théorie de la transformation de l’intégrale
$$\begin{aligned} \displaystyle \int \frac{R dx}{\sqrt{(1-p^2x^2)(1-q^2x^2)}}, \end{aligned}$$où R est une fonction rationnelle de x. Mais le premier, et si je ne me trompe, le seul, qui ait approfondi la nature de ces fonctions, est M. Legendre, qui d’abord dans un mémoire sur les fonctions elliptiques, et ensuite dans ses excellents exercices de mathématiques, a développé nombre de propriétés élégantes de ces fonctions, et a montré leur application.
- 44.
This article constituted the preface to the Collected Works of Galois which were published shortly after.
- 45.
Nous ne connaissons de ces recherches que ce qu’il en dit dans cette lettre ; plusieurs points restent obscurs dans quelques énoncés de Galois, mais on peut cependant se faire une idée précise de quelques-uns des résultats auxquels il était arrivé dans la théorie des intégrales de fonctions algébriques. On acquiert ainsi la conviction qu’il était en possession des résultats les plus essentiels sur les intégrales abéliennes que Riemann devait obtenir vingt-cinq ans plus tard. Nous voyons sans étonnement Galois parler des périodes d’une intégrale abélienne relative à une fonction algébrique quelconque [...] Les énoncés sont précis ; l’illustre auteur fait la classification en trois espèces des intégrales abéliennes, et affirme que, si n désigne le nombre des intégrales de première espèce linéairement indépendantes, les périodes seront en nombre 2n. Le théorème relatif à l’inversion du paramètre dans les intégrales de troisième espèce est nettement indiqué, ainsi que les relations entre les périodes des intégrales abéliennes ; Galois parle aussi d’une généralisation de l’équation classique de Legendre, où figurent les périodes des intégrales elliptiques, généralisation qui l’avait probablement conduit à l’importante relation découverte depuis par Weierstrass et par M. Fuchs.
- 46.
Even though the notation \(\zeta (s)\) and the name zeta function appear in Riemann’s paper, we shall commit the usual anachronism of using the notation \(\zeta (s)\) for the series \(\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}\) even when we talk about the work done on this series before Riemann.
- 47.
Les mathématiciens ont tâché jusqu’ici en vain à découvrir un ordre quelconque dans la progression des nombres premiers, et on a lieu de croire, que c’est un mystère auquel l’esprit humain ne saurait jamais pénétrer. Pour s’en convaincre, on n’a qu’à jeter les yeux sur les tables des nombres premiers, que quelques personnes se sont donné la peine de continuer au-delà de cent mille : et on s’apercevra d’abord qu’il ne règne aucun ordre ni règle.
- 48.
Mengoli’s treatise is entirely devoted to the theory of infinite series, despite the word quadrature (that is, computation of areas) in the title.
- 49.
See the comments of this work of Bernoulli in Weil’s article [256] p. 4.
- 50.
One should note that power series representations of functions already appear in the works of Newton, the 1660s.
- 51.
In this volume of the Opera Ominia, the letters are translated into English.
- 52.
In a letter to Goldbach, sent in 1728, Daniel Bernoulli writes that the value of the series \(\zeta (2)\) “is very nearly 8 / 5,” and Goldbach answers that \(\zeta (2)-1\) lies between 16233 / 25200 and 30197 / 46800; cf. Weil [255] p. 257 for more details on this history.
- 53.
The translation from the Latin is by André Weil, [255] p. 261.
- 54.
Weil adds: [i.e., upon \(\pi \)].
- 55.
This name was still not given to that function in the work of Euler mentioned.
- 56.
Au reste, il est vraisemblable que la formule rigoureuse qui donne la valeur de b lorsque a est très grand, est de la forme \(\displaystyle b=\frac{a}{A\log a+B}\), A et B étant des coefficients constants, et \(\log a\) désignant un logarithme hyperbolique. La détermination exacte de ces coefficients serait un problème curieux et digne d’exercer la sagacité des Analystes.
- 57.
The work of Chebyshev deserves to be much more developed than in these few lines. Like his famous Swiss-Russian predecessor, Leonhard Euler Chebyshev published on most of the fields of pure and applied mathematics. In 1852, he made a stay in France, whose aim was essentially to visit factories and industrial plants, but during his stay he also met several French mathematicians and discussed with them. The list includes Bienaymé, Cauchy, Liouville, Hermite, Lebesgue, Poulignac, Serret and others. A detailed report on this stay, written by Chebyshev himself, is contained in his Collected works [45]. Chebyshev used to published in French journals and his relations with French mathematicians remained constant over the years. In 1860, he was elected corresponding member of the Paris Academy of Sciences, and in 1874 foreign member. We learn from his report that at the end of his 1852 stay in France, on his way back to Russia, Chebyshev stopped in Berlin and had several discussions with Dirichlet. is conceivable that during that meeting the two mathematicians talked about the problems related to the prime number counting function. We refer the reader to the article [193] where some of Chebyshev’s works are compared with works of Euler.
- 58.
Pour la Science, November 1979.
- 59.
Autrefois, il m’est quelquefois venu à l’esprit que, si je pouvais démontrer l’hypothèse de Riemann, laquelle avait été formulée en 1859, je la garderais secrète pour ne la révéler qu’à l’occasion de son centenaire en 1959. Comme en 1959, je m’en sentais encore bien loin, j’y ai peu à peu renoncé, non sans regret.
- 60.
In the Categories, (4b 20-5b 11) Aristotle distinguishes seven different types of quantities, which he classifies as continuous and discrete. Discrete quantity comprises number and speech. Continuous quantity comprises the line, the surface, the body, time, and space. Needless to say, although this classification may appear limited from a modern point of view, it has the great merit of existing, may be for the first time. Aristotle asked the pertinent questions.
- 61.
This theme of space and its relation to place was particularly expanded by Aristotle’s commentators. We mention in particular the medieval Andalusian polymath Averroes (1126–1198). third chapter of Rashed’s book Les mathématiques infinitésimales du IXème au XIème siècle [211] contains a critical edition together with a translation and commentaries of the treatise On space by the Arabic scientist Ibn al-Haytham (known in the West under the name al-Hazen) in which this author criticizes Aristotle’s theory of space developed in his Physics, and where he defines subsets of space by metric properties. There is also a rich discussion on the notion of space in Greek philosophy in the multi-volume encyclopedic work of P. Duhem [57], see in particular vol. I, p. 197ff.
- 62.
Principe XIV. Quelle difference il y a entre le lieu et l’espace: Toutefois le lieu et l’espace sont différents en leurs noms, parce que le lieu nous marque plus expressément la situation que la grandeur ou la figure, et qu’au contraire nous pensons plutôt à celles-ci lorsqu’on nous parle de l’espace ; car nous disons qu’une chose est entrée en la place d’une autre, bien qu’elle n’en ait exactement ni la grandeur ni la figure, et n’entendons point qu’elle occupe pour cela le même espace qu’occupait cette autre chose ; et lorsque la situation est changée, nous disons que le lieu est aussi changé, quoiqu’il soit de même grandeur et de même figure qu’auparavant : de sorte que si nous disons qu’une chose est en un tel lieu, nous entendons seulement qu’elle est située de telle façon à l’égard de quelques autres choses ; mais si nous ajoutons qu’elle occupe un tel espace, ou un tel lieu, nous entendons outre cela qu’elle est de telle grandeur et de telle figure qu’elle peut le remplir tout justement.
- 63.
Principe XV. Comment la superficie qui environne un corps peut être prise pour son lieu exterieur: Ainsi nous ne distinguons jamais l’espace d’avec l’étendue en longueur, largeur et profondeur ; mais nous considérons quelquefois le lieu comme s’il était en la chose qui est placée, et quelquefois aussi comme s’il en était dehors. L’intérieur ne diffère en aucune façon de l’espace ; mais nous prenons quelquefois l’extérieur ou pour la superficie qui environne immédiatement la chose qui est placée (et il est à remarquer que par la superficie on ne doit entendre aucune partie du corps qui environne, mais seulement l’extrémité qui est entre le corps qui environne et celui qui est environné, qui n’est rien qu’un mode ou une façon), ou bien pour la superficie en général, qui n’est point partie d’un corps plutôt que d’un autre, et qui semble toujours la même, tant qu’elle est de même grandeur et de même figure ; car encore que nous voyions que le corps qui environne un autre corps passe ailleurs avec sa superficie, nous n’avons pas coutume de dire que celui qui en était environné ait pour cela changé de place lorsqu’il demeure en la même situation à l’égard des autres corps que nous considérons comme immobiles. Ainsi nous disons qu’un bateau qui est emporté par le cours d’une rivière, et qui en même temps est repoussé par le vent d’une force si égale qu’il ne change point de situation à l’égard des rivages, demeure en même lieu, bien que nous voyions que toute la superficie qui l’environne change incessamment.
- 64.
We may quote P. S. Alexandrov, who declared in a talk he gave at a celebration of the centenary of Poincaré’s birth [9]: “To the question of what is Poincaré’s relationship to topology, one can reply in a single sentence: he created it.” On Poincaré and Riemann, Alexandrov, in the same talk, says the following: “The close connection of the theory of functions of a complex variable, which Riemann has observed in embryonic form, was first understood in all its depth by Poincaré."
- 65.
Après tous les progrès que j’ai faits en ces matières, je ne suis pas encore content de l’Algèbre, en ce qu’elle ne donne ni les plus courtes voies, ni les plus belles constructions de Géométrie. C’est pourquoi lorsqu’il s’agit de cela, je crois qu’il nous faut encore une autre analyse proprement géométrique ou linéaire, qui nous exprime directement situm, comme l’algèbre exprime magnitudinem. Et je crois d’en avoir le moyen, et qu’on pourrait représenter des figures et même des machines et mouvements en caractères, comme l’algèbre représente les nombres en grandeurs. [We have modernized the French.].
- 66.
J’ai trouvé quelques éléments d’une nouvelle caractéristique, tout à fait différente de l’Algèbre, et qui aura de grands avantages pour représenter à l’esprit exactement et au naturel, quoique sans figures, tout ce qui dépend de l’imagination. L’Algèbre n’est autre chose que la caractéristique des nombres indéterminés ou des grandeurs. Mais elle n’exprime pas directement la situation, les angles et les mouvements, d’où vient qu’il est souvent difficile de réduire dans un calcul ce qui est dans la figure, et qu’il est encore plus difficile de trouver des démonstrations et des constructions géométriques assez commodes lors même que le calcul d’Algèbre est tout fait.
- 67.
Mais comme je ne remarque pas que quelqu’autre ait jamais eu la même pensée, ce qui me fait craindre qu’elle ne se perde, si je n’y ai pas le temps de l’achever, j’ajouterai ici un essai qui me paraît considérable, et qui suffira au moins à rendre mon dessein plus croyable et plus aisé à concevoir, afin que si quelque hasard en empêche la perfection à présent, ceci serve de monument à la postérité, et donne lieu à quelque autre d’en venir à bout.
- 68.
Je n’ai qu’une remarque à ajouter, c’est que je vois qu’il est possible d’étendre la caractéristique jusqu’aux choses, qui ne sont pas sujettes à l’imagination ; mais cela est trop important et va trop loin pour que je me puisse expliquer là-dessus en peu de paroles.
- 69.
J’ai examiné attentivement ce que vous me demandez touchant votre nouvelle caractéristique, mais pour vous l’avouer franchement, je ne conçois pas parce que vous m’en étalez, que vous y puissiez fonder de si grandes espérances. Car votre exemple des Lieux ne regarde que des vérités qui nous étaient déjà fort connues, et la proposition de ce que l’intersection d’un plan et d’une surface sphérique fait la circonférence d’un cercle, s’y conclut assez obscurément. Enfin, je ne vois point de quel biais vous pourriez appliquer votre caractéristique à toutes ces choses différentes qu’il semble que vous y vouliez réduire, comme les quadratures, l’invention des courbes par la propriétés des tangentes, les racines irrationnelles des Équations, les problèmes de Diophante, les plus courtes et plus belles constructions des problèmes géométriques. Et ce qui me paraît encore le plus étrange, l’invention et l’explication des machines. Je vous le dis ingénument, ce ne sont là à mon avis que de beaux souhaits, et il me faudrait d’autres preuves pour croire qu’il y eût de la réalité dans ce que vous avancez. Je n’ai pourtant garde de dire que vous vous abusiez, connaissant d’ailleurs la subtilité et profondeur de votre esprit. Je vous prie seulement que la grandeur des choses que vous cherchez ne vous fasse point différer de nous donner celles que vous avez déjà trouvées, comme est cette Quadrature Arithmétique et que vous avez découvert pour les racines des équations au-delà du cube, si vous en êtes content vous-même.
- 70.
Pour ce qui est des effets de votre caractéristique, je vois que vous persistez à en être persuadé, mais, comme vous dites vous-même, les exemples toucheront plus que les raisonnements. C’est pourquoi je vous en demande des plus simples, mais propres à convaincre mon incrédulité, car celui des lieux, je l’avoue, ne me paraît pas de cette sorte.
- 71.
Today, the city of Königsberg, called Kaliningrad, is part of a Russian exclave between Poland and Lithuania on the Baltic Sea.
- 72.
Today, Danzig is the city of Gdansk, in Poland.
- 73.
Translation by C. Frances and D. Richeson.
- 74.
A similar proof is given by Hilbert and Cohn-Vossen [138] p. 290.
- 75.
Cauchy “decomposes” the polyhedron by taking new vertices in the interior of the three-dimensional polyhedron (and not on the boundary surface).
- 76.
Euler a déterminé, dans les Mémoires de Pétersbourg, année 1758, la relation qui existe entre les différents éléments qui composent la surface d’un polyèdre ; et M. Legendre, ses Éléments de Géométrie, a démontré d’une manière beaucoup plus simple le théorème d’Euler, par la considération des polygones sphériques. Ayant été conduit par quelques recherches à une nouvelle démonstration de ce théorème, je suis parvenu à un théorème plus général que celui d’Euler et dont voici l’énoncé :
Théorème. Si l’on décompose un polyèdre en tant d’autres que l’on voudra, en prenant à volonté dans l’intérieur de nouveaux sommets ; que l’on représente par P le nombre de nouveaux polyèdres ainsi formés, par S le nombre total de sommets, y compris ceux du premier polyèdre, par F le nombre total de faces, et par A le nombre total des arêtes, on aura
$$\begin{aligned} S+F=A+P-1, \end{aligned}$$c’est-à-dire que la somme faite du nombre des sommets et de celui des faces surpassera d’une unité la somme faite du nombre des arêtes et de celui des polyèdres.
- 77.
[...] tels que tout contour fermé tracé sur leur surface et ne se traversant pas lui-même divise cette surface en deux régions séparées ; catégorie qui renferme comme cas particulier les polyèdres convexes.
- 78.
Il serait aisé de démontrer que si l’on peut tracer sur un polyèdre \(\lambda \) contours différents, ne se coupant pas mutuellement et ne divisant pas la surface en parties séparées, on aura \(S+F=A+2-2\lambda \).
- 79.
Une surface sera dite d’espèce (m, n) si elle est limitée par m contours fermés et si l’on peut d’autre part y tracer n contours fermés ne se coupant pas eux-mêmes ni mutuellement, sans la partager en deux régions distinctes.
- 80.
Les polyèdres de l’espèce (0, 0) ne sont autres que ceux que j’ai appelés eulériens.
- 81.
Je ne suis pas du tout d’accord avec ceux qui prétendent attribuer à Descartes le théorème d’Euler. Descartes n’a pas énoncé le théorème ; il ne l’a pas vu. Euler l’a aperçu et en a bien compris le caractère. Pour Euler, la description de la forme d’un polyèdre doit précéder l’utilisation des mesures de ses éléments et c’est pourquoi il a posé son théorème comme théorème fondamental. C’est, pour lui comme pour nous, un théorème d’Analysis situs énumérative ; aussi a-t-il cherché à le démontrer par des considérations indépendantes de toute propriété métrique, appartenant bien à ce que nous appelons le domaine de l’Analysis situs. Et c’est pourquoi il a laissé à Legendre l’honneur d’en trouver la preuve rigoureuse ; de ceux qui ont quelque peu lu Euler, et qui ont été stupéfaits de sa prodigieuse virtuosité technique, ne doutera un seul instant que si Euler avait pensé à faire passer son théorème au second plan et à le déduire d’un de ses corollaires métriques, il n’y eût facilement réussi. (Il convient d’ajouter qu’Euler ne restreint nullement ses recherches aux polyèdres convexes.) Que Descartes soit passé si près du théorème sans le voir me paraît au contraire souligner le mérite d’Euler. Encore peut-on dire que Descartes était jeune quand il s’occupait de ces questions. (C’est du moins ce que l’on croit, parce que Descartes a employé dans son cahier certains caractères cossiques qu’il utilisait avant de connaître les notations de Viète.) Mais Leibniz qui a trouvé le cahier de Descartes assez intéressant pour le copier, qui a reconnu que la géométrie de Descartes ne s’appliquait pas aux questions où interviennent des relations d’ordre et de position, qui a rêvé de construire l’algèbre de ces relations et l’a nommée à l’avance Analysis situs, n’a pas aperçu, dans le cahier de Descartes, théorème d’Euler si fondamental en Analysis situs. Le théorème appartient bien à Euler ; quant à la démonstration, on pourrait, un peu injustement peut-être, la dénommer démonstration de Legendre et Descartes. Cette démonstration est métrique ; il est juste de lui reprocher de faire appel à des notions étrangères à l’Analysis situs. Mais il ne faudrait pas s’exagérer la valeur de ce grief.
- 82.
We recall that p denotes the genus.
- 83.
Camille Jordan (1838–1922), who is mostly known for his results on the topology of surfaces and on group theory, also worked on function theory in the sense of Riemann. The title of the second part of his doctoral thesis is: “On periods of inverse functions of integrals of algebraic differentials.” The subject was proposed to him by Puiseux, whom we mention in this paper concerning uniformization. Jordan is among the first who tried to study the ideas of Galois, and he is also among the first who introduced group theory in the study of differential equations.
- 84.
The word “homeomorphism” was introduced by Poincaré his article [200] but with a meaning that is different from the one it has today. There is a definition of homeomorphism in the 1909 article by Hadamard [136], as being a one-to-one continuous map. This is not correct, unless Hadamard meant, by “one-to-one continuous”, “one-to-one bi-continuous.” We refer the reader to the paper [183] on the rise and the development of the notion of homeomorphism. This paper contains several quotes, some of which are very intriguing.
- 85.
The complete title is: Récoltes et semailles : Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien (Harvesting and Sowing: Reflections and testimony on the past of a mathematician). This is a long manuscript by Grothendieck in which he meditates on his past as a mathematician and where he presents without any compliance his vision of the mathematical milieu in which he evolved, especially the decline in morals, for what concerns intellectual honesty.
- 86.
Il doit y avoir déjà quinze ou vingt ans, en feuilletant le modeste volume constituant l’œuvre complète de Riemann, j’avais été frappé par une remarque de lui “en passant.” Il y fait observer qu’il se pourrait bien que la structure ultime de l’espace soit “discrète”, et que les représentations “continues” que nous en faisons constituent peut-être une simplification (excessive, peut-être, à la longue...) d’une réalité plus complexe; que pour l’esprit humain, “le continu” était plus aisé à saisir que “le discontinu”, et qu’il nous sert, par suite, comme une “approximation” pour appréhender le discontinu. C’est là une remarque d’une pénétration surprenante dans la bouche d’un mathématicien, à un moment où le modèle euclidien de l’espace physique n’avait jamais été mis en cause; au sens strictement logique, c’est plutôt le discontinu qui, traditionnellement, a servi comme mode d’approche technique vers le continu.
Les développements en mathématique des dernières décennies ont d’ailleurs montré une symbiose bien plus intime entre structures continues et discontinues, qu’on ne l’imaginait encore dans la première moitié de ce siècle. Toujours est-il que de trouver un modèle “satisfaisant” (ou, au besoin, un ensemble de tels modèles, se “raccordant” de façon aussi satisfaisante que possible...), que celui-ci soit “continu,” “discret” ou de nature “mixte”—un tel travail mettra en jeu sûrement une grande imagination conceptuelle, et un flair consommé pour appréhender et mettre à jour des structures mathématiques de type nouveau. Ce genre d’imagination ou de “flair” me semble chose rare, non seulement parmi les physiciens (où Einstein et Schrödinger semblent avoir été parmi les rares exceptions), mais même parmi les mathématiciens (et là je parle en pleine connaissance de cause).
Pour résumer, je prévois que le renouvellement attendu (s’il doit encore venir ...) viendra plutôt d’un mathématicien dans l’âme, bien informé des grands problèmes de la physique, que d’un physicien. Mais surtout, il y faudra un homme ayant “l’ouverture philosophique” pour saisir le nœud du problème. Celui-ci n’est nullement de nature technique, mais bien un problème fondamental de “philosophie de la nature.”
- 87.
Ainsi le jugement sur la courbure des surface, quelque compliqué qu’il ait paru au commencement, se réduit pour chaque élément à la conaissance de deux rayons osculateurs, dont l’un est le plus grand et l’autre le plus petit dans cet élément ; ces deux choses déterminent entièrement la nature de la courbure en nous découvrant la courbure de toutes les sections possibles qui sont perpendiculaires sur l’élément proposé.
- 88.
Ayant repris cette matière, à l’occasion d’un mémoire que M. Euler a donné dans le volume 1771 de l’Académie de Pétersbourg, sur les surfaces développables, et dans lequel cet illustre géomètre donne des formules pour reconnaître si une surface courbe proposée jouit ou non de la propriété de pouvoir être appliquée sur un plan, je suis parvenu à des résultats qui me semblent beaucoup plus simples, et d’un usage bien plus facile pour le même sujet.
- 89.
M. Euler a traité la même matière dans un fort beau mémoire, imprimé en 1760 parmi ceux de l’Académie de Berlin. Cet illustre géomètre envisage la question d’une manière différente de celle que nous venons d’exposer ; il fait dépendre la courbure d’un élément de surface de celle des différentes sections qu’on peut y faire en le coupant par des plans.
- 90.
Euler published a Latin and a French version of his memoir, which appeared in the years 1749 and 1748 respectively. (The title of the French version, Sur la vibration des cordes, traduit du latin, although it was published first, shows that it was written after the Latin one.).
- 91.
Histoire de l’Académie Impériale des Sciences, année 1787, p. 4.
- 92.
Le problème des cordes vibrantes est sans contredit un des plus fameux problèmes de la mathématique appliquée. Les plus célèbres géomètres de notre temps, qui l’ont résolu, se sont disputés sur la légitimité de leurs solutions, sans avoir jamais pu se convaincre l’un l’autre. Ce n’est pas que le problème en lui-même ne soit pas facilement réduit à l’analyse pure ; mais comme il a été le premier qui ait donné occasion de traiter des équations différentielles à trois variables, par l’intégration desquelles on parvient à des fonctions arbitraires et variables, la question importante qui partagea les avis de ces grands hommes fut : si ces fonctions sont entièrement arbitraires ? si elles représentent toutes les courbes et surfaces quelconques, formées par un mouvement volontaire de la main ? ou si elles ne renferment que celles qui sont comprises sous une équation soit algébrique soit transcendante ? Outre que c’est de cette décision que dépend le moyen de terminer cette dispute sur les cordes vibrantes, la même question sur la nature des fonctions arbitraires renaît toutes les fois qu’un problème quelconque conduit à des équations différentielles à trois et plusieurs variables : ce qui arrive même bien souvent, non seulement lorsqu’on traite des sujets de la mécanique sublime, mais surtout des mouvements des fluides : de sorte qu’on ne saurait soutenir rigoureusement qu’un pareil problème ait été résolu, avant qu’on ait fixé exactement la nature des fonctions arbitraires. L’Académie invite donc tous les géomètres de décider:
Si les fonctions arbitraires, auxquelles on parvient par l’intermédiaire des équations à trois ou plusieurs variables, représentent des courbes ou surfaces quelconques, soit algébriques soit transcendantes, soit mécaniques, discontinues, ou produites par un mouvement volontaire de la main ; ou si ces fonctions renferment seulement des courbes continues représentées par une équation algébrique ou transcendante?
- 93.
Il ne s’agit pas de conjecturer, mais de démontrer, et il serait dangereux (quoi qu’à la vérité ce malheur soit peu à craindre) qu’un genre de démonstration si singulier s’introduisît en Géométrie. Ce qui pourra seulement paraître surprenant, c’est que de pareils raisonnements soient employés comme démonstratifs par un mathématicien célèbre.
- 94.
Lorsque la corde fait à la fois plusieurs espèces de vibration, quel qu’en soit le nombre, et de quelque ordre qu’elles soient, la courbure absolue sera toujours exprimée par cette équation générale
$$\begin{aligned} y=\alpha \sin \frac{x}{l}\pi + \beta \sin \frac{2x}{l}\pi + \gamma \sin \frac{3x}{l}\pi + \mathrm {etc.} \end{aligned}$$et comme le nombre des coefficients arbitraires est infini, on peut faire passer la courbe par tant de points donnés de position qu’on voudra, ce qui marque que toutes les courbes se trouvent dans ce cas, pourvu qu’on ne fasse pas violence aux hypothèses. Et ce serait leur faire violence, si on ne faisait pas les quantités y, dy et ddy comme infiniment plus petites dans tous les points de la courbe, que les quantités x, dx et \(\frac{dx^2}{l}\).
- 95.
J’ai appris avec plaisir que vous approuviez ma solution relative aux cordes vibrantes, que d’Alembert s’est efforcé de réfuter par divers sophismes, et ceci pour l’unique raison qu’il ne l’a pas proposée lui-même. Il a annoncé qu’il en publierait une accablante réfutation ; j’ignore s’il l’a fait. Il croit qu’il pourra jeter de la poudre aux yeux avec son éloquence de demi-savant. Je doute qu’il joue ce rôle sérieusement, à moins qu’il ne soit profondément aveuglé par l’amour-propre. Il a voulu insérer dans nos Mémoires non une démonstration, mais une simple déclaration suivant laquelle ma solution était très défectueuse ; pour ma part, j’ai proposé une nouvelle démonstration possédant toute la rigueur voulue.
- 96.
à l’égard de [notre discussion] sur les cordes vibrantes, elle est maintenant réduite à un point qui échappe, ce me semble, à l’Analyse. Au reste, j’ai trouvé par une voie tout à fait directe qu’en admettant dans la figure initiale les conditions que vous y exigez, la solution se réduit à celle de M. Bernoulli, savoir : \(y=\alpha \sin \frac{\pi x}{a} + \beta \sin \frac{2 \pi x}{a} + ...\), et j’ai peine à croire que celle-ci soit la seule qui puisse avoir lieu dans la nature. D’ailleurs, les phénomènes de la propagation du son ne peuvent s’expliquer qu’en admettant les fonctions discontinues, comme je l’ai prouvé dans ma seconde dissertation.
- 97.
Nicolaus Fuss (1755–1826) was first hired as Euler’s secretary, then he became successively his favorite student, his closest friend, his collaborator and colleague at the Saint Petersburg Academy of Sciences, and eventually his grandson-in-law (the husband of Euler’s grand-daughter Albertine).
- 98.
La controverse entre MM. Euler, d’Alembert & Bernoulli au sujet du mouvement des cordes vibrantes ne peut intéresser proprement que les Géomètres de profession. M. D. Bernoulli, qui fut le premier à en développer la partie physique qui regarde la formation du son engendré par ce mouvement, crut la solution de Taylor suffisante de l’expliquer. MM. Euler et d’Alembert, qui avaient épuisé, dans cette matière difficile, tout ce que l’esprit analytique a de sublime & de profond, firent voir que la solution de M. Bernoulli, tirée des Trochoïdes Tayloriennes, n’est pas générale, qu’elle est même insuffisante. Cette controverse qui a été continuée longtemps, avec tous les égards que des hommes aussi illustres se doivent mutuellement, a donné naissance à quantité d’excellents mémoires ; elle n’a fini proprement qu’à la mort de M. Bernoulli.
- 99.
This memoir, read to the Academy 1807, was never published, until it was edited with comments by Grattan-Guinness, see [132].
- 100.
Il résulte de mes recherches sur cet objet que les fonctions arbitraires même discontinues peuvent toujours être représentées par les développements en sinus ou cosinus d’arcs multiples, et que les intégrales qui contiennent ces développements sont précisément aussi générales que celles où entrent les fonctions arbitraires d’arcs multiples. Conclusion que le célèbre Euler a toujours repoussée.
- 101.
Cette pièce renferme de véritables équations différentielles de la transmission de la chaleur, soit à l’intérieur des corps, soit à leur surface ; et la nouveauté du sujet, jointe à son importance, a déterminé la Classe à couronner cet Ouvrage, en observant cependant que la manière dont l’Auteur parvient à ses équations n’est pas exempte de difficultés, et que son analyse, pour les intégrer, laisse encore quelque chose à désirer, soit relativement à la généralité, soit même du côté de la rigueur.
- 102.
Il résulte de tout ce qui a été démontré dans cette section, concernant le développement des fonctions en séries trigonométriques, que si l’on propose une fonction fx, dont la valeur est représentée dans un intervalle déterminé, depuis \(x=0\) jusqu’à \(x=X\), par l’ordonnée d’une ligne courbe tracée arbitrairement on pourra toujours développer cette fonction en une série qui ne contiendra que les sinus, ou les cosinus, ou les sinus et les cosinus des arcs multiples, ou les seuls cosinus des multiples impairs.
- 103.
On ne peut résoudre entièrement les questions fondamentales de la théorie de la chaleur, sans réduire à cette forme les fonctions qui représentent l’état initial des températures.
Ces séries trigonométriques, ordonnées selon les cosinus ou les sinus des multiples de l’arc, appartiennent à l’analyse élémentaire, comme les séries dont les termes contiennent les puissances successives de la variable. Les coefficients des séries trigonométriques sont des aires définies, et ceux des séries de puissances sont des fonctions données par la différenciation, et dans lesquelles on attribue aussi à la variable une valeur définie.
- 104.
Les séries ordonnées selon les cosinus ou les sinus des arcs multiples sont toujours convergentes, c’est-à-dire qu’en donnant à la variable une valeur quelconque non imaginaire, la somme des termes converge de plus en plus vers une seule limite fixe, qui est la valeur de la fonction développée.
- 105.
Les connaissances que les plus anciens peuples avaient pu acquérir dans la mécanique rationnelle ne nous sont pas parvenues, et l’histoire de cette science, si l’on excepte les premiers théorèmes sur l’harmonie, ne remonte point au-delà des découvertes d’Archimède. Ce grand géomètre expliqua les principes mathématiques de l’équilibre des solides et des fluides. Il s’écoula environ dix-huit siècles avant que Galilée, premier inventeur des théories dynamiques, découvrit les lois du mouvement des corps graves. Newton embrassa dans cette science nouvelle tout le système de l’univers.
- 106.
Les séries de sinus et de cosinus, au moyen desquelles on peut représenter une fonction arbitraire dans un intervalle donné, jouissent entre autres propriétés remarquables aussi de celles d’être convergentes. Cette propriété n’avait pas échappé au géomètre illustre qui a ouvert une nouvelle carrière aux applications de l’analyse, en y introduisant la manière d’exprimer les fonctions arbitraires dont il est question ; elle se trouve énoncée dans le Mémoire qui contient ses premières recherches sur la chaleur. Mais personne, que je sache, n’en a donné jusqu’à présent une démonstration générale. Je ne connais sur cet objet qu’un travail dû à M. Cauchy et qui fait partie des Mémoires de l’Académie des sciences de Paris pour l’année 1823. L’auteur de ce travail avoue lui-même que sa démonstration tombe en défaut pour certaines fonctions pour lesquelles la convergence est pourtant incontestable. Un examen attentif du mémoire cité m’a porté à croire que la démonstration qui y est exposée n’est pas même suffisante pour les cas auxquels l’auteur la croit applicable.
- 107.
Dans l’enseignement que j’ai reçu de mes aînés, les références historiques étaient rarissimes, et j’ai été nourri, non par la lecture d’auteurs tant soit peu anciens ni même contemporains, mais surtout par la communication, de vive voix ou par lettres interposées, avec d’autres mathématiciens, à commencer par mes aînés.
- 108.
Je me sens faire partie, quant à moi, de la lignée des mathématiciens dont la vocation spontanée et la joie est de construire sans cesse des maisons nouvelles. [...] Moi qui ne suis pas fort en histoire, si je devais donner des noms de mathématiciens dans cette lignée-là, il me vient spontanément ceux de Galois et de Riemann (au siècle dernier) et celui de Hilbert (au début du siècle présent).
- 109.
The emphasis is Grothendieck’s.
- 110.
La plupart des mathématiciens sont portés à se cantonner dans un cadre conceptuel, dans un “Univers” fixé une fois pour toutes—celui, essentiellement, qu’ils ont trouvé “tout fait” au moment où ils ont fait leurs études. Ils sont comme les héritiers d’une grande et belle maison toute installée, avec ses salles de séjour et ses cuisines et ses ateliers, et sa batterie de cuisine et un outillage à tout venant, avec lequel il y a, ma foi, de quoi cuisiner et bricoler. Comment cette maison s’est construite progressivement, au cours des générations, et pourquoi et comment ont été conçus et façonnés tels outils (et pas d’autres...), pourquoi les pièces sont aménagées de telle façon ici, et de telle autre là—voilà autant de questions que ces héritiers ne songeraient pas à se demander jamais. C’est ça “l’Univers”, le “donné” dans lequel il faut vivre, un point c’est tout ! Quelque chose qui paraît grand (et on est loin, le plus souvent, d’avoir fait le tour de toutes ses pièces), mais familier en même temps, et surtout: immuable.
- 111.
The English translation is by Lochak and Schneps.
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Acknowledgements
I would like to thank Vincent Alberge, Jeremy Gray and Marie Pascale Hautefeuille who read a preliminary version of this chapter and suggested corrections.
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Papadopoulos, A. (2017). Looking Backward: From Euler to Riemann. In: Ji, L., Papadopoulos, A., Yamada, S. (eds) From Riemann to Differential Geometry and Relativity. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-60039-0_1
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