Abstract
Extending a previous result, we show that, for the friable summation method, the Fourier series of any normalized function F with bounded variation on the unidimensional torus converges pointwise to F while avoiding the Gibbs phenomenon. We also prove that the convergence is uniform when F is continuous and provide an effective bound for the rate when F satisfies a uniform Lipschitz condition.
Pour Helmut Maier, qui compte par plaisir et partage sans compter.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Notes
- 1.
Désigné dans ces travaux sous le nom de P-convergence ou P-sommabilité.
- 2.
On peut aussi établir directement via la formule d’Euler–Maclaurin que, pour \(0 < \vert \vartheta \vert \leqslant \frac{1} {2}\), on a \(f(\vartheta ) \ll 1/\{\vartheta (\log \vartheta )^{2}\}\).
- 3.
Voir par exemple [7], chapitre III.5. Rappelons que \(\varrho\) est la solution continue de l’équation différentielle aux différences \(u\varrho '(u) +\varrho (u - 1) = 0\) avec la condition initiale \(\varrho (u) = 1\) \((0\leqslant u\leqslant 1)\).
Bibliographie
R. de la Bretèche, P-régularité de sommes d’exponentielles. Mathematika 45, 145–175 (1998)
R. de la Bretèche, G. Tenenbaum, Séries trigonométriques à coefficients arithmétiques. J. Anal. Math. 92, 1–79 (2004)
R.J. Duffin, Representation of Fourier integrals as sums, III. Proc. Am. Math. Soc. 8, 272–277 (1957)
É. Fouvry, G. Tenenbaum, Entiers sans grand facteur premier en progressions arithmétiques. Proc. Lond. Math. Soc. 63(3), 449–494 (1991)
Y. Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, 2ème édn. (Dover, New York, 1976)
T.W. Körner, Fourier Analysis, 2nd edn. (Cambridge University Press, Cambridge, 1989), xii+591 pp.
G. Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, 3ème édn. (coll. Échelles, Belin, 2008), 592 pp.
G. Tenenbaum, J. Wu, Exercices corriges de théorie analytique et probabiliste des nombres (coll. Échelles, Belin, 2014), 347 pp.
A. Zygmund, Trigonometric Series. Cambridge Mathematical Library, vol. I, II, 3ème édn. (Cambridge University Press, Cambridge, 2002), vol. I: xiv+383 pp.; vol. II: viii+364 pp.
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Editor information
Editors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 2015 Springer International Publishing Switzerland
About this chapter
Cite this chapter
de la Bretèche, R., Tenenbaum, G. (2015). Théorème de Jordan Friable. In: Pomerance, C., Rassias, M. (eds) Analytic Number Theory. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-22240-0_3
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-22240-0_3
Publisher Name: Springer, Cham
Print ISBN: 978-3-319-22239-4
Online ISBN: 978-3-319-22240-0
eBook Packages: Mathematics and StatisticsMathematics and Statistics (R0)