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One Hundred Years Uniform Distribution Modulo One and Recent Applications to Riemann’s Zeta-Function

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Topics in Mathematical Analysis and Applications

Part of the book series: Springer Optimization and Its Applications ((SOIA,volume 94))

Abstract

We start with a brief account of the theory of uniform distribution modulo one founded by Weyl and others around 100 years ago (which is neither supposed to be complete nor historically depleting the topic). We present a few classical implications to diophantine approximation. However, our main focus is on applications to the Riemann zeta-function. Following Rademacher and Hlawka, we show that the ordinates of the nontrivial zeros of the zeta-function ζ(s) are uniformly distributed modulo one. We conclude with recent investigations concerning the distribution of the roots of the equation ζ(s) = a, where a is any complex number, and further questions about such uniformly distributed sequences.

Dedicated to the Memory of Professor Wolfgang Schwarz

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Notes

  1. 1.

    The English translation is taken from [92].

  2. 2.

    The English translation is taken from [92].

  3. 3.

    This is the author’s free translation of the original German text: “Wir denken uns nun einen einseitig unbegrenzten Faden und nehmen auf demselben eine unbegrenzte Zahl von Knoten in der Weise an, daß der erste Knoten mit dem Fadenende zusammenfällt, während die übrigen im Abstände r > 0 der Reihe nach aufeinander folgen. (…) Auf einem Kreise vom Umfang 1 nehmen wir (…) eine Strecke AB von der Länge s (0 < s < 1) an und wickeln den Faden von irgendeinem Punkte ausgehend auf die Peripherie auf. Die Anzahl derjenigen unter den n ersten Knoten, welche bei der Aufwickelung auf der Strecke AB liegen, bezeichnen wir mit \(\varphi (n)\). (…) Ist r eine Irrationalzahl, so folgt (…) \(\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{\varphi (n)} {n} = s\)”.

  4. 4.

    This is the author’s free translation of the original German text: “Die Behauptung, daß diese Punktfolge überall dicht liegt, ist der Inhalt eines berühmten Approximationssatzes von Kronecker. Das vorliegende viel schärfere Theorem ist zuerst im Sommer 1913 von mir in einem Vortrag in der Göttinger Mathematischen Gesellschaft aufgestellt und ähnliche Weise wie hier bewiesen worden”.

  5. 5.

    Eidgenössische Hochschule Zürich (ETH).

  6. 6.

    A precise date is impossible because this entry is without date, however, comparing with other date entries one may deduce that Hurwitz wrote this in between April 2 and April 30.

  7. 7.

    Recently, H. Helfgott published an article “Major arcs for Goldbach’s theorem” (see arXiv:1305.2897) and another article “Numerical Verification of the Ternary Goldbach Conjecture up to 8.875e30” (see arXiv:1305.3062) which is joint work with D.J. Platt; both pieces together imply the full ternary Goldbach conjecture provided that there is no serious gap in their reasoning.

  8. 8.

    “Die gütige Mittheilung Ihrer Bemerkungen über die Frequenz der Primzahlen ist mir in mehr als einer Beziehung interessant gewesen. Sie haben mir meine eigenen Beschäftigungen mit demselben Gegenstande in Erinnerung gebracht, deren erste Anfänge in eine sehr entfernte Zeit fallen, ins Jahr 1792 oder 1793, wo ich mir die Lambertschen Supplemente zu den Logarithmentafeln angeschafft hatte. Es war noch ehe ich mit feineren Untersuchungend er höheren Arithmetik mich befasst hatte eines meiner ersten Geschäfte, meine Aufmerksamkeit auf die abnehmende Frequenz der Primzahlen zu richten, zu welchem Zweck ich die einzelnen Chiliaden abzählte, und die Resultate auf einem der angehefteten weissen Blätter verzeichnete. Ich erkannte bald, dass unter allen Schwankungen diese Frequenz durchschnittlich nahe dem Logarithmen verkehrt proportional sei, so dass die Anzahl aller Primzahlen unter einer gegebenen Grenze n nahe durch das Integral \(\int \frac{\,\mathrm{d}n} {\log n}\) ausgedrückt werde, wenn der hyperbolische Logarithm. verstanden werde”.

  9. 9.

    The original German text is: “und es ist wahrscheinlich, daß alle Wurzeln den Realteil 1∕2 haben: Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien”.

  10. 10.

    A different approach to results around the sum of terms \(\vert \beta -\frac{1} {2}\vert\) is due to Kondratyuk [54] based on a variant of the Carleman–Nevanlinna theorem.

  11. 11.

    Defined by continuous variation from the principal branch of the logarithm on the real axis.

  12. 12.

    “Der Referent [Hlawka] wurde von Herrn Bundschuh aufmerksam gemacht, daß auch P.D.T.A. Elliott (…) diese Tatsache bemerkt hat”.

  13. 13.

    Note that the notion of Jordan content is more restrictive than the notion of Lebesgue measure. But, if the Jordan content exists, then it is also defined in the sense of Lebesgue and equal to it.

  14. 14.

    “Ich komme jetzt zu einigen anderen Untersuchungen über ζ(s). Es sind bei einer analytischen Funktion die Punkte, an denen sie 0 ist, zwar sehr wichtig; ebenso interessant sind aber die Punkte, an denen sie einen bestimmten Wert a annimmt. Zu beweisen, dass ζ(s) jeden Wert a annimmt, ist ein leichtes. Wo liegen aber die Wurzeln von ζ(s) = a?”

  15. 15.

    And we shall make use of both results later on!

  16. 16.

    “Die Überlegungen lassen sich auf L-Reihen wie auf die Dedekindsche Zetafunktion übertragen. (…) Interessant wäre es, dies auf andere Zetafunktionen, wie z.B. auf die \(\sum \frac{\tau (n)} {n^{s}}\) auszudehnen, wo τ die bekannte Ramanujansche Funktion ist.”

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Acknowledgements

The author is grateful to Professors Kamel Mazhouda and Olivier Ramare for fruitful comments and interesting remarks to a preliminary version of this article at the occasion of a series of lectures the author has given at the University of Monastir in May 2013. Moreover, he would like to thank Prof. Kohji Matsumoto for further informing about further works related to Theorem 5. Last but not least, the author wants to thank Prof. Arias de Reyna for his comments and informing about typos.

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Authors and Affiliations

  1. Department of Mathematics, Würzburg University, Emil-Fischer-Str. 40, 97074, Würzburg, Germany

    Jörn Steuding

Authors
  1. Jörn Steuding
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Corresponding author

Correspondence to Jörn Steuding .

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Editors and Affiliations

  1. Department of Mathematics, National Technical University of Athens, Athens, Greece

    Themistocles M. Rassias

  2. Department of Mathematics, University of Pécs, Pécs, Hungary

    László Tóth

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© 2014 Springer International Publishing Switzerland

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Steuding, J. (2014). One Hundred Years Uniform Distribution Modulo One and Recent Applications to Riemann’s Zeta-Function. In: Rassias, T., Tóth, L. (eds) Topics in Mathematical Analysis and Applications. Springer Optimization and Its Applications, vol 94. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-06554-0_30

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