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The Axiomatic Destiny of the Theorems of Pappus and Desargues

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Geometry in History

Abstract

We present the largely twentieth century history of the discovery of the significance of Pappus and Desargues for the axiomatics of geometry. Their significance is followed in projective, affine, and orthogonality contexts. There is an extensive bibliography, that should allow the interested reader to take a comprehensive look at the research literature on these axioms.

Non c’è un unico tempo: ci sono molti nastriche paralleli slittanospesso in senso contrario e raramentes’intersecano. Eugenio Montale, Tempo e tempi

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Notes

  1. 1.

    Il n’y a aucune construction de Géométrie descriptive qui ne puisse être traduite en Analyse; et lorsque les questions ne comportent pas plus de trois inconnues, chaque opération analytique peut être regardée comme l’écriture d’un spectacle en Géométrie. (All translations are by V.P.).

  2. 2.

    Nun ist in der That in jeder exakten Wissenschaft die Einführung der Zahl ein vornehmstes Ziel.

  3. 3.

    Aber, wenn die Wissenschaft nicht einem unfruchtbaren Formalismus anheimfallen soll, so wird sie auf einem späteren Stadium der Entwicklung sich wieder auf sich selbst besinnen müssen und mindestens die Grundlagen prüfen, auf denen sie zur Einführung der Zahl gekommen ist.

  4. 4.

    What’s more, in the higher-dimensional case, there is not even a need for any configuration theorem to hold, for any at least 3-dimensional projective space must satisfy Des and thus surprisingly gives rise to the intricate algebraic structure of a skew field in terms of trivial geometrical statements.

  5. 5.

    All known proofs that theorems π equivalent to Pappus (in its projective or in its affine form) imply theorems δ equivalent to Desargues resort to three uses of π (see, for example, [127]).

  6. 6.

    [“Wir] können […] sagen, daß der Satz von Pascal der einzig wesentliche Schnittpunktsatz der Ebenen ist, daß die Konfiguration (93)1 die wichtigste Figur der ebenen Geometrie darstellt.”

  7. 7.

    The word associative was coined by Hamilton in 1848 precisely to describe the fact that the octonions are non-associative.

  8. 8.

    The connection between Blaschke—who would later author two books on webs ([31] (with G. Bol) and [30]) and a textbook on projective geometry [29]—and the foundations of affine and projective geometry was not only one giving an impetus to the discovery of so many configuration theorem central to the foundational approach, but also one of a personal friendship with Reidemeister, for whom he intervened in June 1933, after Reidemeister was dismissed from his position in Königsberg—which he had held since 1925, and where he had worked among others with Ruth Moufang—for having been a longtime critic of the National Socialists, by organizing a petition to persuade the government that forcing Reidemeister to retire at 40 was not in the interest of the teaching of mathematics and of mathematical research in Germany. The petition was successful and Reidemeister was appointed to Hensel’s chair at Marburg.

  9. 9.

    Mit dem Hjelmslevschen Resultat haben wir den höchsten Punkt bezeichnet, den die moderne Mathematik über Euklid hinausgehend in der Begründung der Elementargeometrie erreicht hat: in der Ebene, mit Voraussetzungen nur über einen beschränkten Teil der Ebene, ohne Stetigkeit ist die analytische Geometrie zu begründen.

  10. 10.

    Something that Hilbert apparently considered impossible in 1898–1899: “Der umgekehrte Weg, die Kongruenzaxiome und -sätze mit Hülfe des Bewegungsbegriffs zu beweisen ist falsch, da sich die Bewegung ohne den Kongruenzbegriff gar nicht definieren lässt.” [104, p. 335] (“The converse, proving the congruence axiom and theorems in terms of the concept of rigid motion is wrong, for rigid motions cannot be defined at all in the absence of the congruence notion.”).

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Acknowledgements

Thanks are due to Hans Havlicek, Horst and Rolf Struve, and the referee for their very valuable suggestions and corrections. The second author was nominally supported by an NCUIRE Fellowship of the New College of Interdisciplinary Arts and Sciences at the West campus of Arizona State University.

Author information

Authors and Affiliations

  1. School of Mathematical and Natural Sciences, Arizona State University, Phoenix, AZ, USA

    Victor Pambuccian & Celia Schacht

Authors
  1. Victor Pambuccian
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  2. Celia Schacht
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Corresponding author

Correspondence to Victor Pambuccian .

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Editors and Affiliations

  1. University of Mumbai & Department of Atomic Energy, Centre for Excellence in Basic Sciences, Mumbai, Maharashtra, India

    S. G. Dani

  2. Institut de Recherche Mathématique, University of Strasbourg, CNRS, Strasbourg Cedex, France

    Athanase Papadopoulos

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Pambuccian, V., Schacht, C. (2019). The Axiomatic Destiny of the Theorems of Pappus and Desargues. In: Dani, S.G., Papadopoulos, A. (eds) Geometry in History. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-13609-3_8

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