Abstract
This chapter discusses interfaces between the development of mathematics and the teaching of mathematics. Contrary to traditional convictions of teaching as being restricted to a receptive and passive role, productive interactions between the two poles are analysed here. Four cases even for an impact of teaching upon mathematical practices will be presented and discussed, featuring the issue of elements and elementarisation, the institutional impact of teacher education on research in pure mathematics, and the dissemination of set theory and of non-Euclidean geometry by German school textbooks in the second half of the nineteenth century.
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Notes
- 1.
Die Betrachtungen, welche den Gegenstand dieser kleinen Schrift bilden, stammen aus dem Herbst des Jahres 1858. Ich befand mich damals als Professor am eidgenössischen Polytechnikum zu Zürich zum erste Male in der Lage, die Elemente der Differentialrechnung vortragen zu müssen, und fühlte dabei empfindlicher als jemals früher den Mangel einer wirklich wissenschaftlichen Begründung der Arithmetik. Bei dem Begriffe der Annäherung einer veränderlichen Größe an einen festen Grenzwerth und namentlich bei dem Beweise des Satzes, daß jede Größe, welche beständig, aber nicht über alle Grenzen wächst, sich gewiß einem Grenzwerth nähern muß, nahm ich meine Zuflucht zu geometrischen Evidenzen.
- 2.
These propositions united in a body will, properly speaking, form the elements of science, since these elements will be like a germ from which it would be sufficient to develop knowledge of the objects of science in great detail.
- 3.
All that is true, especially in the sciences of pure reasoning, always has clear and sensible principles, and consequently can be made accessible to everyone without any obscurity.
- 4.
Only occupied with making new progress in their science, in order to rise, if possible, above their predecessors or their contemporaries, and more jealous of admiration than of public recognition, they intend only to discover and enjoy, and prefer the glory of increasing the building of science rather than take care to light its entrance.
- 5.
It is necessary [...] that livres élémentaires [...] turn all truths universally familiar.
- 6.
who had generally confounded two very different objects, the elementary with abbreviated ones. To constrict, to coarct a long work, is to shorten it; to present the first germs and, in a way, the matrix of a science is to elementarise it: thus, the abridged is exactly the opposite of the elementary.
- 7.
Souvent, en rendant compte d’un fait, on s’aperçoit qu’il exige de nouvelles observations, et, mieux examiné, il se présente sous un tout autre aspect: d’autres fois, ce sont les principes eux-mêmes qui sont à refaire, ou, pour les lier entre eux, il y a beaucoup de lacunes à remplir; en un mot, il ne s’agit pas seulement d’exposer la vérité, mais de la découvrir.
- 8.
Source: https://www.al.sp.gov.br/repositorio/legislacao/decreto/1934/decreto-6283-25.01.1934.html. I am grateful to Prof. Rogério Monteiro de Siqueira (USP, Sao Paulo) for communicating me these sources.
- 9.
Information from the archives of the University of Halle-Wittenberg.
- 10.
Yet, in a letter to the Swedish mathematician Ivar Bendixson with whom he was cooperating on set theory, Cantor expressed some doubts regarding the rigour of Meyer’s proofs in this schoolbook (Purkert & Ilgauds 1987, p. 132).
- 11.
In the concept of set a Multiplicity is connected to a One.
- 12.
Actually, the English language has no translation for “Anzahl” that would distinguish it from “number” for “Zahl”. Dictionaries only give “number”. Joseph W. Dauben, in his publications about the history of Cantor’s set theory, uses “numbering”. He draw my attention to a paper by W. W. Tait which relates controversies about an adapted English translation of Anzahl: “counting number” versus “enumeral” (Tait 2000, p. 275). Another translation of Cantor’s works uses to put just “number (Anzahl)”, or simply “number”—in italics—, as in the translation of Cantor’s treatise on Grundlagen der Mannigfaltigkeitslehre of 1883, by Uwe Papart, in The Campaigner, vol. 9, no.s 1 & 2. I will use here the German term, in italics.
- 13.
§ 27. If a and b are Anzahlen, and A′, A″, A‴,... is a well-ordered set of the Anzahl b, while each of the elements A itself is a well-ordered set of the Anzahl a, then by dissolution of each A into its elements arises, in turn, a well-ordered set, the Anzahl of which is called the product of a and b and denoted by ab [...].
References
Sources
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Schubring, G. (2019). The Impact of Teaching Mathematics Upon the Development of Mathematical Practices. In: Schubring, G. (eds) Interfaces between Mathematical Practices and Mathematical Education. International Studies in the History of Mathematics and its Teaching. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-01617-3_5
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