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References
W. Threlfall und H. Seifert, Topologische Untersuchung der Diskontinuitätsbereiche endlicher Bewegungsgruppen des dreidimensionalen sphärischen Raumes, Math. Annalen104 (1930); im folgenden zitiert als DB I.
H. Seifert, Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume, Acta Math.60; im folgenden zitiert mit F.
C. Weber und H. Seifert, Die beiden Dodekaederräume, Math. Zeitschr. 1932.
Diese Begriffe treten in der Literatur als Cliffordsche Schiebungen erster und zweiter Art auf, was uns bei Abfassung von DBI entgangen ist.
H. Tietze, Topologische Invarianten, Monatsh. f. Math. u. Phys.19 (1908), § 20. (p, q) bezeichnet l. c. eine besondere Zellteilung des Linsenraumes, während der Linsenraum selbst [p, q] genannt wird.
Vgl. O. Veblen, Analysis situs, Amer. Math. Soc. Coll. Publ.5, 2, 2nd ed. (New York 1931), Appendix I, oder Topologievorlesungen, die demnächst in Göschens Lehrbücherei erscheinen sollen.
Auch zwei gewöhnliche Fasern der durch die Zahlenm=p undn=q bestimmten Faserung der Hypersphäre (F, § 3) sind zwei Kurven der verlangten Beschaffenheit. Sie liegen auf den in § 3 erwähnten Ringflächen und bilden in der Hypersphäre im allgemeinen einen Torusknoten; aber sie liegen freilich nicht notwendig auf vorgegebenen reziproken Zellteilungen der Hypersphäre und die verlangte Beschaffenheit kommt ihnen daher nur dann zu, wenn sich reziproke Zellteilungen angeben lassen, auf denen die zwei Fasern Streckenzüge sind.
Eine elementare Deformation vonC′ besteht entweder a) darin, daß man eine Strecke vonC′ durch einen Streckenzug ersetzt, der zusammen mit der Strecke Rand einer zweidimensionalen Zelle der ursprünglichen Hypersphärenteilung ist, oder b) im Fortlassen oder Hinzufügen einer hin und zurück durchlaufenen Strecke dieser Zellteilung. Wenn im Falle a) die KurveC″ die erwähnte zweidimensionale Zelle durchsetzt (in ihrem “Mittelpunkte”), so ändert sich bei der Deformation die Schnittpunktzahl der KurveC″ mit der inC′ eingespannten Flächenkette, also die Verschlingungszahl um die Schnittpunktzahl der — vielleicht schon nicht mehr doppelpunktfreien—KurveC″ mit der zweidimensionalen Zelle. Die KurveC′ hat bei dieser Deformation die KurveC″ übersprungen. Von einer Überschneidung der beiden Kurven kann man deshalb nicht reden, weil die elementaren Deformationen der kombinatorischen Topologie sprungweise und nicht stetig erfolgen, und die KurvenC′ undC″ niemals einen Punkt gemein haben. Vgl. hierzu auch H. Seifert, Konstruktion dreidimensionaler geschlossener Räume, Berichte Sächs. Akad. d. Wissensch.83 (1931), § 2, S. 31.
Diesen Sonderfall leitet W. J. Alexander, ab: Note on two three-dimensional manifolds with the same group, Trans. Amer. Math. Soc.20 (1919), S. 339. Die hinreichende Bedingung war auch Herrn H. Kneser bekannt, nach brieflicher Mitteilung.
Die Relationen (2) stimmen nämlich nach Umbenennung vonA inA 1 undC inA 2 und Elimination vonA 2 mit denen der “Doppelpyramidengruppe” von W. v. Dyck, Gruppentheor. Studien (Leipzig 1882), S. 35 überein.
Vgl. die —, S. 5508) angeführte Arbeit § 9.
Vgl. die —, S. 5508) angeführte Arbeit Satz 5, S. 51 und S. 571 vorliegender Arbeit.
M. Dehn, Topologie des dreidimensionalen Raumes Math. Annalen69 (1910), S. 160.
H. Poincaré, Cinquième complément à l'analysis situs, Palermo Rendiconti18 (1904), S. 109.
DBI, § 12.
Vgl. Fußnote S. 5443) l. c. C. Weber und H. Seifert, Die beiden Dodekaederräume, Math. Zeitschr. 1932, § 4.
Ähnliche Gruppen sind mit gruppentheoretischen Hilfsmitteln untersucht worden von O. Hölder, Bildung zusammengesetzter Gruppen, Math. Annalen46 (1895).
Vgl. Jahresbericht der D. Math. Ver.41 (1931), Aufgabe 84, S. 6.
v. Kerékjártó, Über die periodischen Transformationen der Kreisscheibe und Kugelfläche, Math. Annalen80 (1919), S. 36–38.
DBI, S. 60.
Der Satz gilt für beliebige geschlossene orientierbare Flächen; einen gültigen Beweis haben wir aber in der Literatur nicht finden können. Der Beweis läßt sich mit Hilfe von Ergebnissen führen, die man bei R. Baer, Isotopie von Kurven auf orientierbaren geschlossenen Flächen ..., Journ. f. d. reine u. angew. Math.159 (1928) und J. Nielsen, Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flächen, Acta Math.50 (1927), findet.
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Threlfall, W., Seifert, H. Topologische Untersuchung der Diskontinuitätsbereiche endlicher Bewegungsgruppen des dreidimensionalen sphärischen Raumes (Schluß). Math. Ann. 107, 543–586 (1933). https://doi.org/10.1007/BF01448910
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