Mathematisches Beweisen

Zusammenfassung

In den beiden vorangegangenen Kapiteln standen wir wiederholt vor der Situation, uns von der Gültigkeit getroffener Feststellungen überzeugen zu müssen. Während sich einige dieser Feststellungen ganz offensichtlich und unmittelbar aus den eingeführten Begriffsbildungen folgern ließen, bedurfte es bei anderen weiterreichenderer und tiefsinnigerer Argumentationen. Tatsächlich ist die Art, wie mit Behauptungen und Feststellungen umgegangen wird, ein einmaliges Charakteristikum der Mathematik und der ihr verwandten Gebiete der Informatik. Schlüsselworte für das hier an den Tag gelegte Herangehen sind Formalisierung und (mathematischer) Beweis. Ohne übertreibung kann die Mathematik als die Wissenschaft des strengen Beweises angesehen werden. Gründen sich nämlich in anderen Gebieten Theorien auf Erfahrungen oder Lehrmeinungen, Beobachtungen oder Wahrscheinlichkeiten, so gilt in der Mathematik eine Behauptung nur dann als richtig, wenn man sie „ beweisen“ kann, wenn ihre Richtigkeit also mit Hilfe eines mathematischen Beweises nachweisbar ist. Im folgenden Kapitel wollen wir deshalb einige grundsätzliche Bemerkungen zum Phänomen des mathematischen Beweises machen und uns über die an ihn gestellten Ansprüche klar werden. Einzelne Beweistechniken werden dann später in gesonderten Kapiteln vorgestellt und besprochen.