Cantor und die Goldbach-Vermutung

Décaillot, Anne-Marie

doi:10.1007/978-3-642-14869-9_5

Cantor und die Goldbach-Vermutung

Anne-Marie Décaillot²

Chapter
First Online: 26 October 2010

1305 Accesses

Part of the book series: Mathematik im Kontext ((Mathem.Kontext))

Zusammenfassung

Die Briefe, die Cantor an seine französischen Briefpartner gerichtet hat, zeigen uns, dass der deutsche Mathematiker sich seit den Jahren 1884–1885 mit einem zahlentheoretischen Thema beschäftigte. Es ging dabei um die Goldbach-Vermutung. Dieser Aspekt der Tätigkeit Cantors ist wenig bekannt, in seiner Korrespondenz finden sich die vollständigsten Informationen zu den Fragen aus diesem Bereich, mit denen er sich beschäftigte.

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Notes

1.
Wir verweisen hier auf die Arbeiten von Maarten Bullnyck, die diesen Zugang erläutern [Bullnyck 2006, 2007a, 2007b].
2.
Diese lange Abhandlung wurde zwischen 1879 und 1883 publiziert [Cantor 1879, 1880, 1882, 1883a].
3.
In einem Brief an Hilbert vom 20. September 1912 versicherte Cantor, dass die Mengenlehre zum Beweis des „großen Satzes von Fermat“ und des „sehr elementaren Satzes von Goldbach“ beitragen könne [Cantor 1991, S. 459–460].
4.
Chen [1933–1996] zeigte, dass sich jede hinreichend große gerade Zahl in der Form 2n = p+ m schreiben lässt, wobei p prim ist und m entweder prim oder Produkt zweier Primzahlen (diese können identisch sein oder verschieden) [Chen 1973/1978].
5.
[Cantor 1894, S. 117].
6.
Rudolf Lipschitz empfing 1885 zwei Briefe von Cantor zu diesem Thema [10. und 18. Oktober 1885], Mittag-Leffler einen 1887 [24. Mai 1887], Klein 1895 zwei [30. April und 27. Oktober 1895]. Vgl. [Cantor 1991, S. 247–248, 294, 354–355, 371].
In der französischen Korrespondenz von Cantor zählt man sieben Briefe, die sich mit dieser Frage beschäftigen: zwei Briefe an Lemoine (Briefe 11 und 23), vier an Laisant (Briefe 12, 14, 33, 37), weiterhin einen Brief an Hermite (Brief 19).
Ein Brief Cantors an David Hilbert aus späterer Zeit (20. September 1912) spricht noch ungelöste Probleme der Zahlentheorie an [Cantor 1991, S. 459–460].
7.
Brief an Lipschitz, 18. Oktober 1885 [Cantor 1991, S. 247].
8.
Brief 11 [Lemoine, 7. Juli 1894].
9.
Brief 33 [Laisant, 1. März 1896].
10.
Hierzu vgl. man [Echeverria 1996] und [Bullnyck 2006, 2007a, 2007b].
11.
„[…] in arithmetica frequentissime per inductionem fortuna quadam inopinata veritates elegantissime novae prosiliunt, quarum demonstrationes tam profonde latent tantisque tenebris obvolutae sunt, ut omnes conatus eludant, acerrimisque perscrutationibus aditum denegent.“ [Gauss 1863, S. 3].
12.
Brief vom 10. Oktober 1885 [Cantor 1991, S. 247].
13.
Brief vom 18. Oktober 1885 [Cantor 1991, S. 247].
14.
[Legendre 1785].
15.
[Dirichlet 1837].
16.
Brief an Mittag-Leffler, 24. Mai 1887 [Cantor 1991, S. 294].
17.
Brief 11 (7. Juli 1894).
18.
Der in Brügge geborene Eugène Catalan (1814–1894) wurde 1833 in die Ecole Polytechnique aufgenommen, wo er mit Joseph Liouville in Kontakt kam. Nach mehreren Jahren, während der er in Frankreich unterrichtet hatte, wurde er vom dortigen öffentlichen Dienst ausgeschlossen, weil er sich – wie manche andere republikanisch gesinnte Wissenschaftler, etwa der Astronom F. Arago – geweigert hatte, den Treueeid auf Napoleon III. zu schwören, den dieser nach seinem Staatsstreich 1851 von allen Angestellten des öffentlichen Dienstes forderte. Catalan erhielt später eine Professur an der Universität Lüttich, wo er die Zeitschrift Nouvelle Correspondance mathématique gründete. Seine wissenschaftlichen Arbeiten beziehen sich auf die Analysis (Potenzreihen, Differentialgleichungen, Mehrfachintegrale), die Differentialgeometrie und die Zahlentheorie [Jongmans 1996].
19.
L’Intermédiaire des mathématiciens 1 [1894], Frage 161, S. 91.
In seiner Antwort in der selben Nummer der Zeitschrift (S. 202–203) verweist Gustav Eneström auf einen Brief Eulers an Goldbach vom 30. Juni 1742, aus dem hervorgeht, dass Goldbach der Urheber des „Satzes“ ist, obwohl dieser dieses Resultat in keiner seiner Publikationen angesprochen hat.
20.
[Desboves 1855, S. 293]. Adolphe Desboves [1818–1888] wurde in Amiens geboren und 1839 in die Ecole Normale aufgenommen. 1843 bestand er die Agrégation in Mathematik, 1848 wurde er Docteur ès sciences. mit einer Arbeit aus dem Gebiet der Mechanik und Astronomie. Desboves wirkte als Mathematiklehrer am Lycée Condorcet in Paris.
21.
[Lionnet 1879]. François Joseph Eugène Lionnet [1805–1884] wurde in Nancy geboren. Nach der Agrégation in Mathematik 1839 schlug er die Laufbahn eines Mathematiklehrers am Lycée Louis-Le-Grand in Paris und als Examinator für die Aufnahmeprüfungen an der Ecole navale ein. 1848 gründete er die Association philotechnique, welche sich dem öffentlichen und kostenlosen Unterricht für Erwachsene widmete. Man vgl. hierzu die Notiz von Aristide Marre [Marre 1885].
22.
[Poincaré 1894]. Die von Poincaré angesprochenen Fragen nehmen eine spätere Debatte, vor allem mit David Hilbert, vorweg [Greffe, Heinzmann, Lorenz 1994].
23.
Brief 11 [Lemoine, 7. Juli 1894].
24.
Zur Mathematik allgemein und zur Zahlentheorie insbesondere im Rahmen der AFAS vgl. man [Décaillot 2002, 2007].
25.
Brief 19.
26.
Brief 12 [Laisant, 25. April 1895], Brief an Klein, 30. April 1895 [Cantor 1991, 354–355].
27.
[Cantor 1991, S. 354].
28.
Cantor spricht von „relativen“ Maxima. Aus unserer Sicht scheint der Ausdruck „lokales“ Maximum der von Cantor aufgeworfenen Frage besser angepasst.
29.
[Cantor 1991, S. 355].
30.
[Laisant 1897a]. Dasselbe Prinzip wurde 1896 im Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung von dem deutschen Mathematiker Robert Haussner dargelegt [Haussner 1896, S. 66], der es dazu verwandte, die Anzahl der Goldbach-Zerlegungen von allen geraden Zahlen kleiner 2m zu ermitteln. Dennoch kann man feststellen, dass der Artikel von Laisant keinerlei Hinweis auf die Arbeit Haussners enthält.
31.
Laisant nahm hier ein „empirisches Theorem“ wieder auf, das 1855 in den Nouvelles Annales de mathématiques von Prinz Alphonse de Polignac formuliert worden war, um dieses zu präzisieren. Polignacs Theorem besagt: „Jede gerade Zahl ist Differenz zweier Primzahlen.“ [Polignac 1855].
32.
Zur Rolle von Édouard Lucas und des Ingenieurs Henri Genaille bei der Konstruktion von zahlentheoretischen Instrumenten vgl. man [Décaillot 1998].
33.
[Gérardin 1909, 1912]. André Gérardin [1879–1953] verband sich 1944 mit dem zukünftigen Direktor der Bibliothek des Institut Henri Poincaré Paul Belgodère, um die Zeitschrift L’Intermédiaire des Recherches Mathématiques zu gründen. Ab 1948 widmete er seine letzten Lebensjahre der Zeitschrift Diophante. André Gérardin starb in größtem Elend, trotz der finanziellen Unterstützung von Belgodère, der ihm auf Rentenbasis seine persönliche Bibliothek wieder abkaufte.
34.
[Aubry 1903].
35.
L’Intermédiaire des mathématiciens, 2 (1895), Frage 574, S. 179. Man bemerkt, dass hier die lokalen Maxima von n mit echten Ungleichungen beschrieben werden im Unterschied zu dem, was Cantor in seiner Korrespondenz sagt. Französisches Original der Frage Cantors: „Dans la table que j’ai publiée au congrès de Caen [Association Française 1894] pour vérifier le théorème de Goldbach (que tout nombre pair 2N est de plusieurs façons la somme de deux nombres premiers), table que j’ai poursuivie jusqu’à 2N = 1000, je remarque empiriquement que, si j’appelle n ₂ _N le nombre de décompositions en une somme de deux nombres premiers dont 2N est susceptible, on a pour toute valeur de p, à partir de p = 4 et y compris p = 4
\({n_{6p}}> {n_{6p-2}}\quad {n_{6p}}> {n_{6p + 2}}\)
c’est-à-dire que des maxima relatifs de n ont lieu de 3 en 3 pour les multiples de 6 dans toute l’étendue de la table. Il serait extrêmement intéressant de savoir si cette propriété est générale et aussi, à défaut de démonstration, de continuer la table jusqu’à 2N = 2000 pour confirmer ou infirmer la loi.
George Cantor (Halle a. Saale).“
36.
L’Intermédiaire des mathématiciens 3 (1896), S. 75 und 4 (1897), S. 60.
37.
L’Intermédiaire des mathématiciens (1902), Frage 2411, S. 226.
38.
L’Intermédiaire des mathématiciens 10 (1903), S. 61–62. Aubry gibt die lokalen Maxima für die Anzahl der Zerlegungen der geraden Zahlen an, die Vielfache von 6, 30, 210 usw. sind, sowie die lokalen Minima für die geraden Zahlen der Form \({2^k} \cdot p\)mit einer Primzahl p.
39.
L’Intermédiaire des mathématiciens 10 (1903), S. 74, 76–77, 166–167.
40.
L’Intermédiaire des mathématiciens 10 (1903), S. 167.
41.
L’Intermédiaire des mathématiciens 10 (1903), S. 167. Wir geben weiter unten die Werte der Psi-Funktion für die von Léon Ripert genannten Zahlen an, was zeigt, dass dessen Gegenbeispiel inkorrekt ist.
42.
Im L’Intermédiaire des mathématiciens 10 (1903), Frage 2541, S. 217–218 bemerkt Ripert ebenfalls, dass „jede gerade Zahl kleiner als 10000 gleich der Summe einer Potenz einer ungeraden Zahl und einer Primzahl ist.“ Dieses empirische Resultat ähnelt ein wenig dem Theorem von Chen [Chen 1973/1978].
43.
L’Intermédiaire des mathématiciens 10 (1903), S. 168.
44.
[Haussner 1896] und [Haussner 1897]. Robert Haussner (1863–1948) war zuerst Privatdozent an der Universität Würzburg, um dann 1905 ordentlicher Professor an der Universität Jena zu werden. Er verließ 1944 Deutschland und starb in Stockholm.
45.
[Sylvester 1871]. James Joseph Sylvester [1814–1897] studierte in England und unterrichte anfänglich an der Universität London. Mehrere Aufenthalte führten ihn in die USA, wo er 1876 einen Lehrstuhl für Mathematik an der John Hopkins University in Baltimore annahm; dort gründete er 1878 das American Journal of Mathematics. Zurück in England erhielt er 1884 eine Professur in Oxford. Sein Werk bezieht sich auf die Theorie der Determinanten, die Frage nach den reellen Wurzeln einer Gleichung (Satz von Sturm), die Zahlen- und die Invariantentheorie. Vgl. hierzu [Parshall, Rowe 1994], [Parshall 2006].
46.
Brief an Klein, 27. November 1895 [Cantor 1991, S. 371], Brief 19 [Hermite, 30. November 1895].
47.
[Cantor 1991, S. 371].
48.
Die Folgerung {y(N) besitzt ein lokales Maximum ÞN ≡ 0 (mod 3)} ist in dem von Cantor untersuchten Abschnitt unzutreffend. Von der ursprünglichen Formulierung der Vermutung behält ihr Autor nur noch die Folgerung {N ≡ 0 (mod 3) Þy(N) hat ein lokales Maximum} bei.
49.
Jörg Richstein hat uns dieses Gegenbeispiel erstmals mitgeteilt.
50.
Die Folgerung {\(N \equiv 0 \; {(\rm{mod} .5)} \Rightarrow {\psi \left( {3N}\right)}\) besitzt ein lokales Maximum} wird durch N = 155 widerlegt Dieses Gegenbeispiel findet sich in [Meschkowski 1967, S. 171].
51.
Die Folgerung {y(3N) besitzt ein lokales Maximum ÞN ≡ 0(mod.5)} wird durch N = 28 widerlegt.
52.
[Legendre 1798 Band II; Neuauflage 1955, S. 65].
53.
[Tchebychef 1851, S. 38]. Tchebytchef (oder Chebyshev) lebte von 1821 bis 1894.
54.
Brief von Gauß an Johann Encke, 24. Dezember 1849 [Gauß 1863, S. 444–447]. In diesem Brief erklärt Gauß, dass er sich seit den Jahren 1792–1793 für die Dichte der Primzahlen interessiert habe.
55.
Dieser trug den Titel „On a Funicular Solution of Buffon’s ‚Problem of the Needle‘“ [Sylvester 1890]. Zum Thema geometrische Wahrscheinlichkeiten vgl. man [Seneta, Parshall, Jongmans 2001].
56.
[Sylvester 1871].
57.
Diese Ergebnisse werden in der Publikation Sylvester 1871 ohne Beweis mitgeteilt. Im Anhang 4 werden wir eine Begründung dafür geben.
58.
[Hardy und Littlewood1923, S. 32–33]. Der englische Mathematiker Godfrey Hardy [1877–1947] widmete sein Werk der Zahlentheorie; er publizierte oft zusammen mit seinem jüngeren Kollegen John Edensor Littlewood [1885–1977]. Insbesondere machte Hardy ab 1913 die Arbeiten von Srinivasa Ramanujan in Europa bekannt.
59.
Brief 33 [Laisant, 1. März 1896].
60.
[Hadamard 1896] und [La Vallée Poussin 1896].
61.
Paul Gustav Stäckel [1862–1919] war Mathematiker und Mathematikhistoriker. Er habilitierte sich 1891 und wurde Privatdozent in Halle, um schließlich an die Universität Heidelberg berufen zu werden. Nach Arbeiten zu Eigenschaften analytischer Funktionen und zur Lösung von Differentialgleichungen interessierte er sich für die Mengenlehre und die Zahlentheorie. Er war an der Herausgabe der Werke Eulers beteiligt.
62.
[Stäckel 1896]. Die Eulersche φ-Funktion gibt die Anzahl der zu der natürlichen Zahl n teilerfremden Zahlen kleiner n an; sie lässt sich ausdrücken durch \(\phi \left( n \right) = n\prod\limits_{p \in {\Delta _n}} {\frac{{p - 1}}{p}} \), wobei \({\Delta _n}\) die Menge der Primteiler von A bezeichnet.
63.
[Landau 1920b]. Edmund Landau [1877–1938] besuchte das französische Gymnasium in Berlin und studierte dann an der dortigen Universität zusammen mit Georg Frobenius, wo er 1899 promovierte. 1903 präsentierte er einen einfachen Beweis für den Primzahlsatz von Hadamard und La Vallée Poussin, den er auch auf den Fall von idealen Primzahlen in einem algebraischen Zahlkörper verallgemeinerte [Landau 1903]. Als Nachfolger von Hermann Minkowski lehrte Landau ab 1909 an der Universität Göttingen, wo er Kollege von Felix Klein und David Hilbert wurde. Seine Arbeiten galten der analytischen Zahlentheorie [Landau 1909] und den komplexen Funktionen, wie etwa der Riemannschen V-Funktion.
64.
Vgl. hierzu [Sylvester 1882–1884].
65.
[Sylvester 1896].
66.
[Shah, Wilson 1919]. Andere Arbeiten aus den Jahren 1906 bis 1915, u. a. von Allan Cunningham und von Viggo Brun, werden in [Echeverria 1996] untersucht. Man kann anmerken, dass der englische Mathematiker Bertram Martin Wilson [1896–1935], der an der Universität Liverpool, später dann an der Universität von Dundee lehrte, einer der Herausgeber der Collected Papers von Ramanujan gewesen ist.
67.
Die wahrscheinlichkeitstheoretische Darstellung, die wir hier geben, ist absichtlich knapp gewählt. Der Leser, der sich in die Rechnungen vertiefen möchte, sei auf Anhang 4 verwiesen.
68.
[Hardy, Littlewood 1923].
69.
Shah und Wilson bemerken die besonders große Anzahl von Goldbach-Zerlegungen bei den Vielfachen von 6 sowie die geringe Anzahl von Zerlegungen bei den Zweierpotenzen. [Shah, Wilson 1919, S. 239].
70.
Ich danke Don Zagier für die zahlreichen Erläuterungen, die er mir großzügigerweise gewährt hat, sowie für seine Methode zur Konstruktion von Tabellen mit Ausnahmen zu den Cantorschen Vermutungen, der wir hier folgen.
71.
[Cantor 1932, S. 446].

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UFR De Mathematiques Et Informatique, Université Paris V, rue de l’Ecole de Médecine 12, 75270, Paris Cédex 06, Frankreich
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Décaillot, AM. (2011). Cantor und die Goldbach-Vermutung. In: Cantor und die Franzosen. Mathematik im Kontext. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-14869-9_5

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Published: 26 October 2010
Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
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