Appunti Sulla Teoria Delle Superficie Continue E Questioni Connesse

Abstract

Concetto di superficie S = (T,A). Che cosa è una superficie? Nei vari campi della matematica si hanno diversi concetti di superficie e ciò in corrispondenza di diverse esigenze, scopi, tecniche impiegate e terminologie. In Geometria Differenziale le superficie sono definite parametricamente,

$$ {\text{S:}}\,\,\,{\rm {x = x}}\left( {\mu ,v} \right)\text{,} \hfill {\text{y = y}}\left( {\mu ,v} \right)\text{,} \hfill \text{z = z}\left( {\mu ,v} \right)\text{,} \hfill \left( {\mu ,v} \right) \in \,\text{A,} \hfill $$

((1))

mediante funzioni real x(u,v), y(u,v) , z(u,v) delle variabili reali u,v, soddisfacenti a condizioni, in generale abbastanza forti, di continuità e differenziabilità in un campo A. In qualche recente ricerca si tende a ridurre tali condizioni (A.D. Alexandrov), In Geometria Algebrica le superficie sono definite mediante equazio ni algebriche e sono studiate nel corpo complesso. In Topologia per superficie si intende talvolta una varietà a due dimensioni chiusa o aperta (2-manifold), oppure l'immagine continua di una tale varietà. In recenti ricerche per superficie si è inteso la frontiera di un insieme aperto limitato e connesso nello spazio ordinario E₃(o in E_n) (H. Dederer in Analisi; B. Kaufmann, S. Mazurkiewicz in Topologia estendendo in E_nla teoria degli elementi fi-nali di C. Carathéodory). Sebbene una teoria unitaria non sia an-cora raggiunta, la presente teoria studia le proprietà analitiche e geometriche delle superficie definite parametricamente mediante le (1) sotto la sola ipotesi della continuità delle funzioni x,y,z Pertanto mentre gli enti in diścussione hanno 1a generalità usuale in Topologia, si studiano di essi proprietà geometriche ed analitiche che si sono già dimostrate adeguate in questioni di analisi (teoremi di Gauss e di Stokes) e di Calcolo delle variazioni (estensione alle superficie dei metodi diretti).