Spazi di Hilbert

Riassunto

Cominciamo ad esaminare il problema del movimento di una corda perfettamente flessibile ed elastica, tesa fra i suoi estremi. Fissato l’asse x lungo la posizione di equilibrio della corda, è chiaro intanto che per descrivere completamente la situazione della corda occorre una funzione u = u(x, t) di due variabili che descriva lo spostamento u (v. fig. 2.1) dalla sua posizione di equilibrio, di ogni punto di ascissa x della corda al tempo t. Si può immaginare che la corda sia costituita da una successione di infinite particelle uguali e molto vicine legate fra loro da forze elastiche, in modo analogo a quanto succedeva nel problema del § 1.7b (la differenza è che ora si prendono in considerazione solo movimenti trasversali, mentre nel § 1.7b si consideravano quelli longitudinali). Proprio utilizzando questa idea, si arriva a dimostrare che la funzione u(x, t) obbedisce alla seguente equazione

$$ \frac{{\partial ^2 }} {{\partial x^2 }}u = \frac{1} {{v^2 }}\frac{{\partial ^2 }} {{\partial t^2 }}u $$

(2.1)

dove v è una costante che dipende dalle caratteristiche fisiche del problema $v = \sqrt {\tau /\rho }$ dove τ è tensione della corda e ρ la sua densità lineare).