Il teorema di Gauss-Bonnet

Riassunto

Questo Capitolo è dedicato alla dimostrazione del teorema di Gauss-Bonnet, indubbiamente uno dei risultati più importanti (se non il più importante in assoluto) della geometria differenziale delle superfici. Il teorema di Gauss-Bonnet rivela una relazione inaspettata e profonda fra concetti puramente locali e definiti in termini differenziali, quali la curvatura Gaussiana e la curvatura geodetica, e la topologia globale della superficie.

Come vedremo, il teorema di Gauss-Bonnet ha una versione locale e una versione globale. La versione locale (che dimostreremo nella Sezione 6.1) è un enunciato che si applica a regioni regolari semplici (cioè omeomorfe a un disco chiuso) e piccole (cioè contenute nell’immagine di una parametrizzazione locale ortogonale). Per ottenere una versione valida per regioni regolari qualsiasi, abbiamo bisogno di poter spezzettare una regione regolare in tante regioni regolari semplici piccole. Questo è sempre possibile, usando le triangolazioni che introdurremo nella Sezione 6.2 (anche se la dimostrazione dellésistenza delle triangolazioni è rimandata alla Sezione 6.5 dei Complementi a questo capitolo). In particolare, usando le triangolazioni introdurremo anche la caratteristica di Eulero-Poincaré, un invariante topologico fondamentale delle regioni regolari.

Nella Sezione 6.3 saremo quindi in grado di dimostrare il teorema di Gauss-Bonnet globale, e ne presenteremo varie applicazioni, di cui forse la più famosa è il fatto che l’integrale della curvatura Gaussiana su una superficie compatta orientabile S è sempre uguale a 2π volte la caratteristica di Eulero-Poincaré di S (Corollario 6.3.10). La Sezione 6.4 è invece dedicata alla dimostrazione del teorema di Poincaré-Hopf, una notevole applicazione del teorema di Gauss-Bonnet ai campi vettoriali. Infine, i Complementi di questo Capitolo contengono le dimostrazioni complete dei risultati sulle triangolazioni enunciati nella Sezione 6.2.