Teoria locale delle curve

Riassunto

La geometria elementare fornisce un’idea abbastanza precisa e consolidata di cosa sia una retta, ma rimane spesso nel vago riguardo le curve in generale. Intuitivamente, la differenza fra una retta e una curva è che una retta è dritta mentre una curva ée... curva, appunto. Ma è possibile misurare quanto una curva si curva, cioè quanto è distante dall’essere una retta? E cos’è, esattamente, una curva? Scopo principale di questo capitolo è rispondere a queste domande. Dopo aver discusso nei primi due paragrafi pregi e difetti di vari modi di definire rigorosamente il concetto di curva, nel terzo paragrafo mostreremo come gli strumenti del Calcolo Differenziale ci permettono di misurare con precisione la curvatura di una curva. Per curve nello spazio, misureremo anche la torsione di una curva, cioè quanto una curva non è contenuta in un piano, e faremo vedere come curvatura e torsione descrivano completamente una curva nello spazio. Infine, nei Complementi a questo capitolo daremo (nella Sezione 1.4) ulteriori informazioni sulla forma locale di una curva; dimostreremo un risultato (il teorema di Whitney 1.1.7, nella Sezione 1.5) utile per capire quale non dev’essere la definizione precisa del concetto di curva; studieremo (nella Sezione 1.6) un tipo di curve particolarmente buone che prefigurano la definizione di superficie che vedremo nel Capitolo 3; e vedremo (nella Sezione 1.7) come trattare le curve in Rⁿ quando n ≥ 4