Zusammenfassung
Die traditionelle Zahlenkunde konzentrierte sich meist auf einzelne Zahlen mit besonderen Eigenschaften, wie beispielsweise die im ersten Kapitel erwähnten vollkommenen Zahlen. Ein Zahlenpaar, das die allgemeinen Fantasien angeregt hat, ist 220 und 284, das erste sogenannte befreundete Zahlenpaar. Damit ist gemeint, dass die Summe der Faktoren von jeder der beiden Zahlen gerade die andere Zahl ergibt – eine Art der erweiterten Vollkommenheit für Zahlenpaare. Wenn Liebende voneinander getrennt waren, trugen sie oft als Zeichen ihrer Bindung ein Schmuckstück, das mit der einen oder anderen dieser beiden Zahlen verziert war. Fermat (1601–1665) fand weitere befreundete Zahlenpaare, beispielsweise 17 296 und 18 415, und Euler (1707–1783) fand sogar mehrere Duzend solcher befreundeten Paare. Überraschenderweise übersahen sie alle das vergleichsweise kleine Paar 1184 und 1210, das im Jahre 1866 von dem 16 Jahre alten Nicolo Pagnini entdeckt wurde. Natürlich können wir auch versuchen, über Zahlenpaare hinauszugehen und nach vollkommenen Tripletts, Quadrupletts usw. Ausschau halten. Diese längeren Zyklen sind selten, aber es gibt sie.
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Notes
- 1.
Ihren Namen haben sie, weil es sich um die Koeffizienten handelt, die bei der Ausmultiplikation des Binomialausdrucks \((1+x)^{n}\) auftreten.
- 2.
Das Pascal'sche Dreieck scheint schon um 1100 in China entdeckt und verwendet worden zu sein – es bildet in jedem Fall das Eröffnungsdiagramm des klassischen mathematischen Werks Der kostbare Spiegel der vier Elemente, das im Jahr 1303 von Chu Shih-chieh veröffentlicht wurde.
- 3.
Beispielsweise sind \((())()\) und \(((()))\) sinnvolle Klammerfolgen, \(())(()\) aber nicht: Um sinnvoll zu sein, darf die Anzahl der linksseitigen Klammern niemals kleiner sein als die Anzahl der rechtsseitigen Klammern, wenn wir von links nach rechts zählen. Entsprechend dürfen unsere Berge niemals in den Untergrund gehen! Ausgedrückt durch die Binomialkoeffizienten ist die \(n\)-te Catalan-Zahl gleich \(\frac{1}{n+1}C(2n,n)\).
- 4.
Das Buch The Book of Numbers von Conway und Guth klärt den Zusammenhang durch gewisse optimale Eigenschaften spezieller Winkel, die mit dem Goldenen Schnitt zusammenhängen.
- 5.
Streng genommen handelt es sich um die Stirling-Zahlen zweiter Art. Die Stirling-Zahlen erster Art hängen zwar mit diesen zusammen, gehören aber zu einer vollkommen anderen Kombinatorik; sie zählen die Anzahl der Möglichkeiten, wie man \(n\) Gegenstände in \(r\) Zyklen permutieren kann.
- 6.
Es gibt keine einfache exakte Formel für die Anzahl der Partitionen einer Zahl. Allerdings existiert eine recht komplizierte und schöne Näherung für sehr große Werte von \(n\), die von Ramanujan stammt: \(\frac{1}{4n\sqrt{3}}e^{{\pi\sqrt{2n/3}}}\). Eine Rekursion für die Partitionsfunktion mithilfe der Fünfeckzahlen geht auf Euler zurück.
- 7.
Eratosthenes wurde auch dadurch berühmt, dass er im Jahr 230 vor Christus den Durchmesser der Erde aus den unterschiedlichen Längen von Schatten in Syene und Alexandria zur Mittsommerwende berechnet hat.
- 8.
Man teile \(n\) durch 3: Wenn \(n\) ein Vielfaches von 3 ist, sind es seine Nachbarn nicht, falls der Rest 1 bleibt, dann besitzt \(n+2\) die 3 als Faktor aber \(n-2\) nicht, und ist der Rest gleich 2, dann ist nur \(n-2\) ein Vielfaches von 3.
- 9.
Gegenwärtig scheint die Schranke bei rund \(6\cdot 10^{{16}}\) zu liegen, aufgestellt von Oliveira e Silva im Oktober 2003: siehe die Webseite www.mathworld.wolfram.com.
- 10.
Als Beispiel könnten wir eine Art duale Goldbach'sche Vermutung aufstellen: Jede gerade Zahl lässt sich als Differenz von zwei Primzahlen schreiben. Das wiederum ist ein Spezialfall von de Polignacs Vermutung (1849), wonach sich für jede gerade Zahl \(2n\) unendlich viele aufeinanderfolgende Primzahlen um diese Zahl unterscheiden: Für \(n=1\) handelt es sich um die Primzahlzwillingsvermutung.
- 11.
Die namentliche Zuordnung ist nicht ganz richtig, denn das Ergebnis wurde zuerst von Lagrange um 1770 bewiesen, und Leibniz stellte im Jahre 1682 als erster die Vermutung auf.
- 12.
Mit dem Teilbarkeitstest für 13 von S. 54 berechnen wir \(601-1+479=1079=13\cdot 83\) und sehen, dass Wilson Recht hatte!
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Higgins, P.M. (2013). Trickreiche Zahlen. In: Das kleine Buch der Zahlen. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-8274-3016-8_4
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