Zusammenfassung
In Kap. 7 haben wir gesehen, dass die reelle Zahlengerade ein dicht gepacktes Gemisch aus rationalen und irrationalen Zahlen bildet. Angenommen, wir könnten die rationalen Punkte blau und die irrationalen Punkte rot färben, was würden wir sehen? Zwischen je zwei blauen Punkten gäbe es rote Punkte und zwischen je zwei roten Punkten gäbe es blaue Punkte, also könnte man erwarten, dass der Gesamteindruck einem gleichförmigen Lila entspricht. Andererseits bilden die blauen Punkte nur eine abzählbare Menge, die im Vergleich zu den verbliebenen blauen Punkten vom Maß null ist, also sollte die rote Farbe die blaue bei weitem übertreffen und die letztere praktisch unsichtbar machen. Keine der beiden Interpretationen hält einer genaueren Prüfung stand, denn wir können dieses Grenzverhalten, über das wir spekulieren, durch kein physikalisches Experiment annähern. Wir müssen die Zahlengerade mit mathematischen Konzepten untersuchen.
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Notes
- 1.
Die Folge ist nach Farey benannt, der einen Artikel über dieses Thema geschrieben hat. Dort erwähnt er auch die erste dieser Eigenschaften, jedoch ohne einen Beweis. Es scheint allerdings, dass beide Ergebnisse schon von Haros im Jahr 1802, rund 14 Jahre vor Fareys Artikel, behauptet und bewiesen wurden.
- 2.
Sei \(c\) ein solcher gemeinsamer Faktor, sodass \(a=cd\) und \(b=ce\). Dann gilt \(r=a-b=cd-ce=c(d-e)\), und somit ist \(r\) ebenfalls ein Vielfaches von \(c\).
- 3.
Das Zwei-Münzen-Problem wurde zuerst von Sylvester im Jahre 1884 gelöst. Es gibt eine explizite Lösung für das Drei-Münzen-Problem, doch von dem allgemeinen \(n\)-Münzen-Problem ist bekannt, dass es zu einer besonders hartnäckigen Klasse von Problemen gehört, die man als NP-Probleme bezeichnet.
- 4.
Der erste Beweis stammt von dem schottischen Mathematiker Robert Well im Jahre 1753.
- 5.
Wenn der Nenner einer Konvergenten gleich \(q\) ist, dann liegt die Näherung innerhalb von \(\frac{1}{\sqrt{5}q^{2}}\) zum wahren Wert der Zahl. Die Konvergenten eines Kettenbruchs haben die Eigenschaft, den Grenzwert, den sie approximieren, alternativ einmal zu überschätzen und dann wieder zu unterschätzen.
- 6.
Diese Darstellung ergibt sich aus dem sogenannten Wallis-Produkt, ein unendliches Produkt, das gleich \(\pi\) ist. Es wurde im 17. Jahrhundert von dem englischen Mathematiker John Wallis gefunden, indem er die Flächen unter Kurven untersuchte, die sich durch zunehmende Potenzen der Sinus-Funktion ergeben.
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Higgins, P.M. (2013). Die Zahlengerade unter dem Mikroskop. In: Das kleine Buch der Zahlen. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-8274-3016-8_11
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-8274-3016-8_11
Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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