Zusammenfassung
Viele unserer täglichen Unternehmungen und Aktivitäten haben das Ziel, etwas zum Funktionieren zu bringen beziehungsweise zu einer befriedigenden Entscheidungzu kommen. Dabei sind oft viele Tätigkeiten im Zeitablauf zu koordinieren. Das gelingt mehr oder weniger gut, je nachdem, wie günstig die angewandte Vorgehensweise ist. Und unter allen brauchbaren Resultaten, die sich aus einer lösbaren Aufgabe ergeben, suchen wir jene, die hinsichtlich des anvisierten Ziels günstiger sind als andere: wir optimieren. So werden wir zum Beispiel bestrebt sein, gleiche Qualität möglichst billig einzukaufen, für gleiches Anlagerisiko eine möglichst hohe Rendite zu erzielen (oder für den gleichen Ertrag das Risiko zu minimieren), Medikamente mit möglichst harmlosen Nebenwirkungen zu verwenden und so fort. »Operations Research« oder Unternehmensforschung wird das Gebiet genannt, das einen großen Teil dieser Probleme umfasst, wovon die Optimierung einen zentralen Bereich ausmacht.
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- 1.
In den meisten Fällen sind Geldbeträge zu optimieren (Gewinne zu maximieren, Verluste und Kosten zu minimieren). Die Wirtschaft verlangt es, und nicht nur für sie es ein wichtiges Maß, das in fast alle Ziele eingeht – direkt oder indirekt. Sie können aber auch danach trachten, Ihr Leben so einzurichten, dass Ihre subjektivempfundene Zufriedenheit möglichst groß wird. Zu diesem Fragenkreis gibt es eine mathematische Nutzentheorie, deren entscheidende Ansätze etwa ein halbes Jahrhundert zurückliegen.
- 2.
Erst später wurden auch Kosten und Einsatzmittel in die gleiche Planungstechnik einbezogen, um eine ganzheitliche Projektbetrachtung und vor allem auch eine bessere Überwachung bei deren Ausführung zu erreichen.
- 3.
Bei unserem Beispiel der Autoerneuerung wurde ein Planungshorizont von zehn Jahren in vierzig gleich große Zeitperioden von einem Vierteljahr unterteilt. Im Prinzip kann man sich die Zeitstufen ∆t beliebig klein denken; beim Grenzübergang \(\Delta {\rm{t}} \to 0\)erhält man dann kein diskretesdynamisches Optimierungsproblem mehr, sondern ein kontinuierliches(Autofahren).
- 4.
Das »Dualitätsprinzip der Optimierung« besagt, dass die Minimierung jeder Zielfunktion z zum gleichen Ergebnis führt wie die Maximierung der Zielfunktion -z. Und umgekehrt kann jede Maximumaufgabe \({\rm{z}} \to \)max in die Gestalt -\({\rm{z}} \to \)min gebracht werden. Stellen in unserem obigen Fall U Kosten oder Verluste dar, dann gilt es, diese zu minimieren. Das ist wiederum äquivalent zur Maximierung des (negativ genommenen) Ausdrucks -U. (Man beachte nur, dass -U positiv ist, wenn U negativ ist.)
- 5.
Es ist in der Fachliteratur unter dem Stichwort »Sekretärinnenproblem« zu finden. Das hier angegebene Beispiel habe ich in leicht abgewandelter Form dem lustigen Bändchen „In Mathe war ich immer schlecht…”von Albrecht Beutelspacher entnommen.
- 6.
Einer der Gründe dafür ist recht hinterhältig: Rundet man die optimale Lösung eines nichtganzzahligen Optimierungsproblems auf den nächsten ganzzahligen Wert, so erhält man nicht zwangsläufig die optimale Lösung des zugehörigen ganzzahligenOptimierungsproblems!
- 7.
Das Problem hat der Schweizer Mathematiker Jakob Steiner (1796 bis 1863) aufgeworfen; er lehrte Geometrie an der Universität Berlin. Man spricht auch vom Steiner-Problem. Es kann nicht gelöst werden, indem man einfach Verbindungslinien zwischen den Punkten zieht – wohl aber dadurch, dass man Hilfspunkte, so genannte Steiner-Punkte, hinzufügt, die als Verzweigungspunkte des Netzes dienen (siehe Skizze).
- 8.
Und auch kaum auszudenken! Erinnern wir uns: Die geheime Nachrichtenübermittlung, die PIN-Codes und die elektronischen Unterschriften (Kryptologie) basieren darauf, dass die Faktorzerlegungsmethode schwierigist. Aber das Undenkbare hat sich in der Mathematik schon häufiger durchgesetzt. Hier brächte es nicht nur Nachteile, sondern auch Vorteile. Denn würde sich das Undenkbare (auf der Basis theoretischer Einsichten, die heute noch völlig fehlen) als wahr herausstellen, könnte man für die interessanten Optimierungsprobleme der Wirtschaft wirklich effiziente Algorithmen angeben.
- 9.
Siehe mein Taschenbuch Die Top Seven der mathematischen Vermutungen.
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© 2011 Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg
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Basieux, P. (2011). Ja, mach nur einen Plan …. In: Abenteuer Mathematik. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-8274-2885-1_7
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Publisher Name: Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-8274-2884-4
Online ISBN: 978-3-8274-2885-1
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