A Metric for Covariance Matrices

Abstract

The paper presents a metric for positive definite covariance matrices. It is a natural expression involving traces and joint eigenvalues of the matrices. It is shown to be the distance coming from a canonical invariant Riemannian metric on the space Sym ⁺ (n, ℝ) of real symmetric positive definite matrices

In contrast to known measures, collected e. g. in Grafarend 1972, the metric is invariant under affine transformations and inversion. It can be used for evaluating covariance matrices or for optimization of measurement designs.

Diese Sätze führen dahin, die Theorie der krummen Flächen aus einem neuen Gesichtspunkt zu betrachten, wo sich der Untersuchung ein weites noch ganz unangebautes Feld öffnet ... so begreift man, dass zweierlei wesentlich verschiedene Relationen zu unterscheiden sind, theils nemlich solche, die eine bestimmte Form der Fläche im Räume voraussetzen, theils solche, welche von den verschiedenen Formen... unabhängig sind. Die letzteren sind es, wovon hier die Rede ist ... man sieht aber leicht, dass eben dahin die Betrachtung der auf der Fläche construirten Figuren,..., die Verbindung der Punkte durch kürzeste Linien^*] u. dgl. gehört. Alle solche Untersuchungen müssen davon ausgehen, dass die Natur der krummen Fläche an sich durch den Ausdruck eines unbestimmten Linearelements in der Form √(Edp² + 2Fdpdq + Gdq²) gegeben ist...

Carl Friedrich Gauss