Zusammenfassung
Das zweite Kapitel stellt die Konstruktion des optimalen risikobehafteten Portfolios vor, dass durch die Effizienzkurve und die höchst mögliche anlegerspezifische Indifferenzkurve bestimmt wird. Die Effizienzkurve lässt sich über Renditeerwartungen, Standardabweichungen und Korrelationskoeffizienten festlegen (Markowitz-Modell). Die Indifferenzkurven werden über Nutzenfunktionen definiert, welche den Risikoaversionsgrad des Anlegers berücksichtigen. Führt man die risikolose Anlage in die Portfoliokonstruktion ein, liegt das optimale Portfolio auf der effizientesten Kapitalallokationslinie. Unterstellt man homogene Kapitalmarkterwartungen, investieren sämtliche Anleger in das gleiche risikobehaftete effiziente Portfolio bzw. in das Marktportfolio. Ein Portfolio bestehend aus der risikolosen Anlage und dem Marktportfolio liegt auf der Kapitalmarktlinie.
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Notes
- 1.
Vgl. Markowitz: „Portfolio Selection“, S. 77 ff. und Markowitz: „Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments“, S. 1 ff.
- 2.
Besteht beispielsweise eine Stichprobe aus 100 Renditen, dann fällt jede Rendite mit einer gleichen Wahrscheinlichkeit von 1 % an (1/100). Die Wahrscheinlichkeit (Pi) von 0,01 ist gleich 1/T bzw. 1/100.
- 3.
Vgl. Abschn. 1.3 über das Risiko von Anlagen.
- 4.
Sind die Zufallsvariablen Renditen, dann ist die Einheit der Kovarianz Renditen zum Quadrat.
- 5.
Vgl. Abschn. 1.3.1 über die Varianz und Standardabweichung.
- 6.
Ist der Korrelationskoeffizient +1, dann lässt sich Formel (2.14) als Portfoliovarianz wie folgt schreiben: ς 2P = w 21 ς 21 + w 22 ς 22 + 2 w1w2ς1ς2. Die Portfoliovarianz kann man mithilfe der 1. binomischen Formel wie folgt umwandeln: \(\upsigma _{{\mathrm{P}}}^{{2}}=\mathrm{(w}_{{1}}\upsigma _{{1}}+\mathrm{w}_{{2}}\upsigma _{{2}}\mathrm{)}^{{2}}\). Nimmt man die Wurzel aus der Portfoliovarianz, erhält man Formel (2.15).
- 7.
Ist der Korrelationskoeffizient (−1), führt dies zu folgender Portfoliovarianz: ς 2P = w 21 ς 21 + w 22 ς 22 − 2 w1w2ς1ς2. Die Portfoliovarianz kann man wie folgt umwandeln: \(\upsigma _{{\mathrm{P}}}^{{2}}=(\mathrm{w}_{{1}}\upsigma _{{1}}-\mathrm{w}_{{2}}\upsigma _{{2}})^{{2}}\). Die vertikalen Betragsstriche in Formel (2.18) bedeuten, dass das Portfoliorisiko nicht unter null fallen kann.
- 8.
Die Gewichtung der Anlage 1 (w1) in Formel (2.19) lässt sich wie folgt herleiten: Die Gewichtung der Anlage 2 ist w2 = 1 − w1, da die Summe der Gewichte 1 ist. Setzt man in die Formel (2.18) 1 − w1 für w2 ein und setzt die Gleichung gleich null, erhält man: w1ς1 − (1 − w1) ς2 = 0. Löst man diese Gleichung nach w1 auf, resultiert Formel (2.19).
- 9.
Die Portfoliotheorie von Markowitz basiert auf der Annahme, dass sich die Investoren risikoavers verhalten. Die Aktie A besitzt im Vergleich zu B aufgrund der höheren Standardabweichung von 14,58 % (B: 12,93 %) eine höhere erwartete Rendite von 10 % (B: 6,25 %).
- 10.
Eigentlich müsste man diesen Punkt als Minimum‐Standardabweichung‐Portfolio bezeichnen, da die Standardabweichung und nicht die Varianz ins Verhältnis zur Rendite gesetzt wird.
- 11.
Formel (2.20) kann wie folgt hergeleitet werden: Zuerst nimmt man die Formel für die Portfoliovarianz ς 2P = w 2A ς 2A + w 2B ς 2B + 2 wAwBρA, BςAςB und ersetzt die Variable wB mit (1 − wA). Danach leitet man die Gleichung nach wA ab und setzt diese gleich null. Löst man die Gleichung nach wA auf, erhält man den Ausdruck in Formel (2.20).
- 12.
Vgl. den Abschn. 2.7.2 für das Konzept der Risikoaversion.
- 13.
Im Vergleich zu Portfolio 3 ist die Anlagekombination 3′ in Abb. 2.2 nicht effizient und liegt demnach nicht auf der Effizienzkurve, weil bei einem gleichen Risiko von 9,54 % die erwartete Rendite von Portfolio 3 größer ist.
- 14.
Eine konkave Kurve ist immer dann gegeben, wenn eine Gerade durch zwei beliebige Punkte, die sich auf der Kurve befinden, unterhalb der Kurve verläuft. Ein konvexer Verlauf hingegen ist durch eine Gerade zwischen zwei Punkten gekennzeichnet, die oberhalb der Kurve liegt. Ein linearer Rendite‐Risiko‐Zusammenhang zwischen zwei Anlagen, also ein Korrelationskoeffizient von (−1) und +1, ist sowohl konkav als auch konvex.
- 15.
Die Anlage mit der höchsten erwarteten Rendite liegt auf der Effizienzkurve. Möchte man diese Rendite in einem Long‐Portfolio (also ohne die Möglichkeit Short‐Positionen einzugehen) erzielen, ist dies nur mit einer einzelnen Anlage realisierbar, die unter allen Finanzprodukten über die höchste erwartete Rendite verfügt.
- 16.
Zum Beispiel: Verkauft man eine Aktie für EUR 100 leer und kauft das Papier zu einem späteren Zeitpunkt auf dem Markt für EUR 90, ergibt sich ein Gewinn von EUR 10. Fällt während der offenen Short‐Position eine Dividende von EUR 2 an, reduziert sich der Gewinn auf EUR 8 (EUR 10 − EUR 2). Um die Short‐Position zu schliessen, wird die für EUR 90 gekaufte Aktie der Gegenpartei der Short‐Transaktion übergeben. In der Regel handelt es sich bei der Gegenpartei um einen Broker.
- 17.
Das Gewicht der Short‐Position A beträgt (−1000 %), während das Gewicht der Long‐Position B bei 1100 % liegt. Die Summe der Gewichte ist 100 %. Das Portfoliorisiko von 287,92 % lässt sich wie folgt berechnen: \(\upsigma _{{\mathrm{P}}}=\sqrt{(-10)^{{2}}\times 0{,}2^{{2}}+11^{{2}}\times 0{,}3^{{2}}+2\times(-10)\times 11\times 0{,}5\times 0{,}2\times 0{,}3}=287{,}92\,\%\).
- 18.
Anzahl Kovarianzen = 100 × (100 − 1)∕2 = 4950.
- 19.
E(r)max ist für ein Portfolio mit Long‐ und Short‐Positionen unbegrenzt. Demzufolge muss die höchste erwartete Rendite arbiträr gewählt werden. Im Gegensatz dazu besitzt ein Portfolio bestehend aus Long‐Positionen eine maximale erwartete Rendite, die durch die risikobehaftete Anlage mit der höchsten erwarteten Rendite gegeben ist.
- 20.
Rendite‐Risiko‐Optimierungsverfahren, die auf Long‐Positionen beschränkt sind, verwenden neben der Lagrangemethode den Kuhn‐Tucker‐Ansatz, um die zusätzliche Nebenbedingung von positiven Anlagegewichten (wi ≥ 0) in den Algorithmen zu verarbeiten. Für mögliche Algorithmen zur Berechnung der Effizienzkurve vgl. Markowitz: „Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments“, S. 309 ff. Bei der Entwicklung der Portfoliotheorie besteht der Hauptverdienst von Markowitz in der Bestimmung der Effizienzkurve anhand von Renditeerwartungen, Standardabweichungen und Korrelationskoeffizienten (Diversifikation) sowie in der Berechnung der Effizienzkurve mit Algorithmen.
- 21.
Vgl. z. B. Merton: „An Analytic Derivation of the Efficient Portfolio Frontier“, S. 1858 und Spremann: „Portfoliomangement“, S. 153 ff.
- 22.
Für den mathematischen Beweis vgl. Black: „Capital Market Equilibrium with Restricted Borrowing“, S. 447 ff.
- 23.
Allerdings sind innerhalb einer Anlageklasse auch Short‐Positionen möglich, wobei der Wert der Long‐Positionen den Wert der Short‐Anlagen übersteigt (Netto‐Long‐Position).
- 24.
Die zwischen den zwei Corner Portfolios liegenden effizienten Portfolios stellen lineare Kombinationen der beiden Corner Portfolios dar. Markowitz bezeichnet dies als „kritische Linie“. Vgl. Markowitz: „Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments“, S. 182 ff.
- 25.
Strebt N gegen unendlich, dann geht der erste Term der Gleichung (2.26) von \(\mathrm{(1/N)\overline{\upsigma}^{{2}}}\) gegen null, während der zweite Term von \(\mathrm{\left[(N-1)/N\right]\overline{Cov}}\) gegen die durchschnittliche Kovarianz strebt. Folglich entspricht bei einer großen Anzahl Aktien die Portfoliovarianz der durchschnittlichen Kovarianz.
- 26.
Besteht die Verlustgefahr im Portfolio nur aus dem unternehmensspezifischen Risiko (das Marktrisiko liegt bei null), ist die durchschnittliche Kovarianz zwischen den Renditen null. Bei unkorrelierten Renditen lässt sich durch Diversifikation das Portfoliorisiko vollständig eliminieren.
- 27.
Abbildung 2.8 ist nur unter der Annahme gültig, dass das Risiko nicht additiv ist bzw. der Korrelationskoeffizient zwischen den Aktien unter +1 liegt und damit ein Diversifikationseffekt erreicht werden kann.
- 28.
Die Kovarianz von zwei Zufallsvariablen ist der Korrelationskoeffizient multipliziert mit den Standardabweichungen der zwei Variablen. Die Annahme ist, dass alle Aktien die gleiche Standardabweichung der Renditen besitzen, sodass die durchschnittliche Kovarianz mit dem Korrelationskoeffizienten wie folgt berechnet wird: \(\overline{\mathrm{Cov}}=\overline{\uprho}\overline{\upsigma}^{{2}}\).
- 29.
\(\displaystyle\mathrm{\upsigma _{{P}}^{{2}}=\overline{\upsigma}^{{2}}\left(\frac{1+(N-1)\overline{\uprho}}{N}\right)=\overline{\upsigma}^{{2}}\left(\frac{1+N\overline{\uprho}-\overline{\uprho}}{N}\right)=\overline{\upsigma}^{{2}}\left(\frac{1-\overline{\uprho}}{N}+\frac{N\overline{\uprho}}{N}\right)=\overline{\upsigma}^{{2}}\left(\frac{1-\overline{\uprho}}{N}+\overline{\uprho}\right)}\)
- 30.
Vgl. DeFusco/McLeavy/Pinto/Runkle: „Quantitative Methods for Investment Analysis“, S. 607 ff.
- 31.
Vgl. Abschn. 1.4.2.4 über die Handelskosten.
- 32.
Der Erwartungswert unter Unsicherheit berechnet sich als Summe der wahrscheinlichkeitsgewichteten Auszahlungen wie folgt: 0,5 × EUR 200 + 0,5 × EUR 0 = EUR 100.
- 33.
Vgl. Reilly/Brown: „Investment Analysis and Portfoliomanagement“, S. 259.
- 34.
Zu einer mikroökonomischen Diskussion der Nutzenfunktionskurven im Portfoliomanagement vgl. z. B. Lhabitant: „Hedge Funds: Quantitative Insights“, S. 268 ff.
- 35.
Für die Berechnung des Nutzens sind die erwartete Rendite und die Standardabweichung der Renditen in Dezimalstellen und nicht in Prozenten in Formel (2.30) einzugeben.
- 36.
Für ein Beispiel eines Risikobeurteilungsbogens vgl. Abschn. 1.5.2.1 über die Anlageziele und Restriktionen.
- 37.
E(r) = 0,04 + 1/2 × 3 × 0,012 = 0,04015.
- 38.
Unter der Annahme der Normalverteilung beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Mindestrendite von 5 % bei Asset Allokation A nicht erreicht wird, rund 41 %. Bei den Anlagenverteilungen B und C sind die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten 42 % und 49 %. Für die Shortfall Probability vgl. den Abschn. 1.3.2 über das Downside‐Risiko.
- 39.
Bei einer inflationsgesicherten Anleihe werden die Couponzahlungen und/oder der Nennwert an einen Inflationsindex angepasst. Man unterscheidet zwischen der Zins‐ und Nennwertvariante. Bei der Zinsvariante bleibt der Nennwert unverändert, während der Coupon bei einer Inflation steigt bzw. bei einer Deflation fällt. Bei der Nennwertvariante hingegen wird bei der Kapitalrückzahlung der Nennwert an einen Inflationsindex angepasst. Zusätzlich variiert der Coupon mit dem inflationsindexierten Nennwert. Die in Deutschland emittierten Bundeswertpapiere können der Nennwertmethode zugeordnet werden.
- 40.
Der unrevidierte „Harmonisierte Verbraucherpreisindex in der Euro‐Zone ohne Tabak“ (HVPI ex Tobacco) wird vom Statistischen Amt der Europäischen Gemeinschaften (EUROSTAT) berechnet.
- 41.
SNB Bills sind Schuldverschreibungen der Schweizerischen Nationalbank, die Laufzeiten von 28, 84, 168 und 336 Tage aufweisen. Sie werden auf Diskontbasis verzinst. Für weitere Details zu den SNB Bills vgl. www.snb.ch. Im gegenwärtigen Umfeld der expansiven Geldpolitik werden weder SNB Bills noch Finanzierungsschätze der Bundesrepublik Deutschland emittiert (Stand: März 2013).
- 42.
\(\dfrac{100-99{,}636}{99{,}636}\times\dfrac{360}{336}=0{,}00391\)
- 43.
Die Gleichung für die optimale Gewichtung der Anlage A kann wie folgt hergeleitet werden: In die Gleichung der Sharpe Ratio werden für das Tangentialportfolio die erwartete Rendite wAE(RA) + (1 − wA) E(RB) und die Standardabweichung \(\mathrm{\sqrt{w_{{A}}^{{2}}\upsigma _{{A}}^{{2}}+(1-w_{{A}})^{{2}}\upsigma _{{B}}^{{2}}+2w_{{A}}(1-w_{{A}})\uprho _{{A,B}}\upsigma _{{A}}\upsigma _{{B}}}}\) eingesetzt. Die Sharpe Ratio wird nach der Gewichtung der Anlage A (wA) abgeleitet, gleich null gesetzt und nach wA aufgelöst.
- 44.
Um die Grafik anschaulich darzustellen, sind die erwartete Rendite auf der Y‐Achse und die Standardabweichung auf der X‐Achse unterschiedlich skaliert.
- 45.
Multipliziert man diese Gleichung für die Portfoliorendite aus, erhält man rF + wTPE(rTP) − wTPrF = (1 − wTP) rF + wTPE(rTP). Dabei ist wF = 1 − wTP, weil die Summe der Gewichte 1 ist. Somit entspricht dieser Ausdruck der erwarteten Portfoliorendite gemäß Formel (2.32).
- 46.
- 47.
Um die Grafik anschaulich darzustellen, sind die erwartete Rendite auf der Y‐Achse und die Standardabweichung auf der X‐Achse unterschiedlich skaliert.
- 48.
Die Aktien von Novartis werden an der Schweizer Börse (SIX Swiss Exchange) sowie als Novartis American Depository Shares an der New York Stock Exchange gehandelt.
- 49.
Der SMI umfasst die 20 Aktien auf dem Schweizer Aktienmarkt mit der größten Liquidität und Börsenkapitalisierung. Im Gegensatz dazu beinhaltet der SPI grundsätzlich alle kotierten schweizerischen Aktiengesellschaften und spiegelt den Gesamtmarktindex für den schweizerischen Aktienmarkt wider.
- 50.
Der DAX enthält die 30 hinsichtlich Börsenumsatz und Marktkapitalisierung größten Unternehmen der Deutschen Börse in Frankfurt. Im Gegensatz dazu umfasst der HDAX alle 110 Unternehmen, die im DAX, MDAX (50 mittelgroße deutsche Aktiengesellschaften) und TecDAX (30 größte Technologieunternehmen) enthalten sind. Dieser Index reflektiert 95 % des Marktkapitals und stellt demnach die Benchmark für den deutschen Aktienmarkt dar.
- 51.
ETF sind Fonds, die an einer Börse notiert sind und einen bestimmten ausgewählten Index wie etwa den SMI und den DAX abbilden. An der SIX Swiss Exchange werden beispielsweise ETF auf den SMI, SPI, SLI und SMIM sowie auch auf andere Basiswerte wie etwa Gold gehandelt. Der innere Wert eines Anteilsscheines wird berechnet, indem das Fondsvermögen durch die Anzahl der umlaufenden Anteilsscheine dividiert wird. Steigt der Wert des Fondsvermögens, erhöht sich auch der innere Wert des Anteilsscheines und umgekehrt.
- 52.
Tracker‐Zertifikate sind strukturierte Produkte, welche etwa den Kursverlauf eines Aktienindex genau nachbilden. Mehr als die Hälfte der an der Schweizerischen Derivatebörse Scoach kotierten Tracker beziehen sich auf einen Aktienindex. Beispielsweise können Investoren an der Scoach zwischen 10 SMI‐Trackern wählen, während an der SIX 19 ETF auf den SMI, SPI, SLI und den Midcap‐Index SMIM bestehen (Stand: August 2011).
- 53.
Der S&P 500 (Standard & Poor’s 500) umfasst die 500 Aktien der gemessen an der Börsenkapitalisierung größten Unternehmen in den USA.
- 54.
Vgl. Tobin: „Liquidity Preference as Behavior Towards Risk“, S. 65 ff.
Literatur
Black, F: Capital Market Equilibrium with Restricted Borrowing, In: Journal of Business, 45, 444–455 (1972)
DeFusco, R.A., McLeavy, D.W., Pinto, J.E., Runkle, D.E.: Quantitative Methods for Investment Analysis, 2. Auflage, Charlottesville (2004)
Lhabitant, F.S.: Hedge Funds: Quantitative Insights, Chichester (2008)
Markowitz, H.: Portfolio Selection, In: Journal of Finance, 7(1), 77–91 (1952)
Markowitz, H.: Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments, New York (1959)
Merton, R.C.: An Analytic Derivation of the Efficient Portfolio Frontier, In: The Journal of Financial and Quantitative Analysis, 7(4), 1850–1872 (1972)
Reilly, F.K., Brown, K.C.: Investment Analysis and Portfoliomanagement, 6. Auflage, Jefferson City (2000)
Spremann, K.: Portfoliomanagement, München/Wien (2000)
Tobin, J.: Liquidity Preference as Behavior Towards Risk, In: Review of Economic Studies, 25(2), 65–86 (1958)
Weiterführende Literatur
Simon, C.P., Blume, L.: Mathematics of Economists, New York/London (1994)
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Mondello, E. (2013). Optimales Portfolio. In: Portfoliomanagement. Springer Gabler, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-02174-0_2
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