Die Newton’schen Axiome

Zusammenfassung

Fragen wie „Warum bewegen sich Körper?“ oder „Was beschleunigt sie und warum ändern sie ihre Richtung?“ bewegten Isaac Newton, der 1642 geboren wurde. Als Student in Cambridge studierte er die Werke von Galilei und Kepler. Ihn interessierte, warum sich die Planeten auf elliptischen Bahnen bewegen und weshalb ihre Geschwindigkeit vom Abstand zur Sonne abhängen. Dies führte zu der Frage, welche Kräfte das Sonnensystem zusammenhalten. Im Laufe seines Lebens entwickelte er die Gravitationsgesetze und die drei nach ihm benannten Grundgesetze der Bewegung, die bis heute die Grundlage der klassischen Mechanik bilden.

Das erste Newton’sche Axiom setzt die Beschleunigung eines Körpers mit seiner Masse und den auf den Körper wirkenden Kräften in Beziehung. Hier beschleunigt ein Flugzeug auf der Startbahn. (© Stuelper/pixelio.)

? Wie können Sie als Passagier mithilfe der Newton’schen Axiome die Beschleunigung des Flugzeugs abschätzen? (Siehe Beispiel 3.7.)

Appendices

Im Kontext: Achterbahnen auf Geschwindigkeitsjagd

Seit der Eröffnung der ersten Achterbahn „Promenades Aériennes“ (übersetzt etwa „Luftweg“) im Jahr 1817 in Paris üben diese Fahrgeschäfte auf viele Menschen eine magische Faszination aus.${}^{1}$ Noch vor Kurzem mussten die Konstrukteure eine wesentliche Einschränkung beachten: Die Fahrt musste immer mit einem steilen Anstieg beginnen.

Es war Anton Schwartzkopf, ein deutscher Architekt von Vergnügungsparks, der sich in den 1970er - Jahren eine Anregung beim Start von Flugzeugen von Flugzeugträgern holte. Im Jahr 1976 wurde die Achterbahn „Shuttle Loop“ eröffnet. In der Nähe der Achterbahn wurde ein Gewicht mit einer Masse von mehreren Tonnen an die Spitze eines Turms hochgezogen. Ein Ende eines Kabels wurde an dem Gewicht befestigt, das andere an dem Achterbahnwagen eingehakt, um ihn zu ziehen. Dann wurde das Gewicht fallen gelassen und zog den daran befestigten Wagen nach oben. Der Wagen wurde in weniger als 3 s auf fast 100 km/h beschleunigt.

Gleichzeitig hatte Schwartzkopf eine weitere Idee für ein Katapultstartverfahren. Ein Schwungrad mit einer Masse von 5 t wurde in schnelle Umdrehung versetzt. Ein Kabel verband die Wagen und das Schwungrad. Auch hier wurde der Wagenzug – in dem bis zu 28 Passagiere saßen – in weniger als 3 s auf fast 100 km/h beschleunigt. Beide Verfahren waren Wegbereiter auf dem Gebiet der Katapultstarts von Achterbahnen.${}^{2}$

Zwei neue Achterbahnstartverfahren ermöglichen inzwischen noch höhere Geschwindigkeiten. Die Intamin AG hat ein hydraulisches (flüssigkeitsgetriebenes) System entwickelt, um das Kabel zu ziehen. Allein der Wagen für den „Top Thrill Dragster“ hat eine Masse von 5 t und bietet Platz für 18 Passagiere. Der Wagen fährt über Sensoren, wo er gewogen wird. Ein Computer berechnet, wie schnell das Kabel angezogen werden muss, damit der Wagen mit den darin sitzenden Passagieren den 128 m hohen ersten Gipfel erreicht. Anschließend stellen die Flüssigkeitsmotoren rasch eine Leistung von 7500 Watt bereit, um das Kabel mit bis zu $500\,\text{min}^{-1}$ aufzuwickeln und den Wagen innerhalb von 4 s auf fast 200 km/h zu beschleunigen.${}^{3}$

Stan Checketts erfand die erste pneumatische (druckluftgetriebene) Achterbahn. Die „Thrust Air 2000™“ wird durch einen einzigen starken Druckluftstoß angetrieben. Der acht Passagiere fassende Wagen fährt über Sensoren und wird gewogen. Daraufhin laufen vier Kompressoren an, um Luft in einen Speicherbehälter am Fuß eines Turms zu pumpen. Diese Druckluft wird je nach dem Gewicht des Wagens in einen Abschussbehälter dosiert. Schließlich wird die Luft durch ein Ventil oben am Turm schnell entspannt, wobei sie auf einen Kolben drückt, der das Katapultrollensystem antreibt. Der vollbesetzte Wagen wird in 1,8 s auf fast 130 km/h beschleunigt. Um diese Beschleunigung zu erreichen, ist eine Schubkraft von 178 kN erforderlich. Zum Vergleich: Ein einziges Strahltriebwerk des Düsenjägers F-15 hat einen Nennschub von 128 kN.${}^{4}$ Inzwischen werden Achterbahnen also mit einer stärkeren Schubkraft als Düsenjäger angetrieben.

Die erste pneumatische Achterbahn der Welt, die „Hypersonic XLC“ im Vergnügungspark King’s Dominion von Paramount in Virginia, beschleunigt in 1,8 s von 0 auf 130 km/h. (Mit freundlicher Genehmigung von King’s Dominion Amusement Park.)

• 1. Cartmell, R., The Incredible Scream Machine: A History of the Roller Coaster. Bowling Green State University Popular Press, Bowling Green Ohio, 1987.

• 2. „The Tidal wave“, http://www.greatamericaparks.com/tidalwave.html. Marriott Great America Parks (Stand: März 2009). Cartmell a. a.O.

• 3. Hitchcox, A. L., „Want Thrills? Go with Hydraulics“, Hydraulics and Pneumatics, Juli 2005.

• 4. Goldman, L., „Newtonian Nightmare“, Forbes, 23. 7. 2001, Bd. 168, Ausgabe 2: „The F-100 Engine“, http://www.pw.utc.com/vgn-ext-templating/v/index.jsp?vgnextrefresh=1&vgnextoid=227f07b06f5eb010VgnVCM1000000881000aRCRD. Pratt & Whitney (Stand: März 2009).

Aufgaben

Bei allen Aufgaben sei die Fallbeschleunigung $\boldsymbol{|\boldsymbol{a}_{\text{G}}|}\boldsymbol{=}\boldsymbol{g}\boldsymbol{=}\boldsymbol{9{,}81}$  m/s $\boldsymbol{{}^{2}}$ . Falls nichts anderes angegeben ist, sind Reibung und Luftwiderstand zu vernachlässigen.

1.1 Verständnisaufgaben

1.1.1 3.1 • 

Sie sitzen im Flugzeug auf einem Interkontinentalflug, haben die Reiseflughöhe erreicht und fliegen nun horizontal. Vor Ihnen steht der Kaffeebecher, den Ihnen die Stewardess gerade gebracht hat. Wirken Kräfte auf diesen Becher? Wenn ja, wie unterscheiden sie sich von den Kräften, die auf ihn wirken würden, wenn er zu Hause auf Ihrem Küchentisch stehen würde?

1.1.2 3.2 • 

Von einem Inertialsystem aus betrachtet bewegt sich ein Körper auf einer Kreisbahn. Welche der folgenden Aussagen trifft bzw. treffen zu: a) Auf den Körper wirkt eine von null verschiedene Gesamtkraft. b) Auf den Körper kann keine radial nach außen gerichtete Kraft wirken. c) Mindestens eine der auf den Körper wirkenden Kräfte muss direkt zum Mittelpunkt der Kreisbahn zeigen.

1.1.3 3.3 •• 

Auf einen Handball wirkt eine einzelne nicht verschwindende Kraft. Wissen Sie allein anhand dieser Aussage, in welche Richtung sich der Handball relativ zu einem Bezugssystem bewegt? Erläutern Sie Ihre Aussage.

1.1.4 3.4 •• 

Stellen Sie sich vor, Sie sitzen in einem Zug, der mit konstanter Geschwindigkeit relativ zur Erdoberfläche fährt. Einige Sitze vor Ihnen sitzt ein Freund, dem Sie einen Ball zuwerfen. Erläutern Sie anhand des zweiten Newton’schen Axioms, weshalb Sie aus Ihrer Beobachtung des fliegenden Balls nicht die Geschwindigkeit des Zugs relativ zur Erdoberfläche ermitteln können.

1.1.5 3.5 •• 

Ein 2,5 kg schwerer Körper hängt ruhig an einem Seil, das an der Decke befestigt ist. a) Zeichnen Sie ein Kräftediagramm des Körpers, benennen Sie die Reaktionskraft zu jeder eingezeichneten Kraft und sagen Sie, auf welchen Körper diese jeweils wirkt. b) Zeichnen Sie ein Kräftediagramm des Seils, benennen Sie die Reaktionskraft zu jeder eingezeichneten Kraft und sagen Sie, auf welchen Körper diese jeweils wirkt. Die Masse des Seils ist hier nicht zu vernachlässigen.

1.1.6 3.6 •• 

a) Welches der Kräftediagramme in Abbildung 3.32 stellt einen Körper dar, der eine reibungsfreie geneigte Ebene hinuntergleitet? b) Benennen Sie für das zutreffende Diagramm die Kräfte und geben Sie an, welche davon Kontaktkräfte und welche Fernwirkungskräfte sind. c) Benennen Sie für jede Kraft in dem zutreffenden Diagramm die Reaktionskraft, sagen Sie, auf welchen Körper sie wirkt und welche Richtung sie hat.

Abb. 3.32

Zu Aufgabe 3.6.

1.1.7 3.7 •• 

Stellen Sie sich vor, Sie sitzen auf einem Rollsessel am Schreibtisch. Die Reibungskräfte zwischen dem Sessel und dem Fußboden sollen vernachlässigbar sein. Dagegen sind die Reibungskräfte zwischen dem Tisch und dem Fußboden nicht vernachlässigbar. Um aufzustehen, drücken Sie horizontal gegen den Tisch, sodass der Stuhl nach hinten wegrollt. a) Zeichnen Sie ein Kräftediagramm der auf Sie wirkenden Kräfte, während Sie gegen den Tisch drücken, und benennen Sie exakt diejenige Kraft, die dafür verantwortlich ist, dass Sie beschleunigt werden. b) Welches ist die Reaktionskraft zu der Kraft, die zu Ihrer Beschleunigung führt? c) Zeichnen Sie das Kräftediagramm der auf den Schreibtisch wirkenden Kräfte und erläutern Sie, weshalb er nicht beschleunigt wird. Verletzt dies nicht das dritte Newton’sche Axiom? Erläutern Sie Ihre Aussage.

1.1.8 3.8 •• 

Ein Teilchen bewegt sich mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag auf einer vertikalen Kreisbahn. Die Beträge welcher Größen sind dabei konstant: a) der Geschwindigkeit, b) der Beschleunigung, c) der Gesamtkraft, d) des scheinbaren Gewichts?

1.1.9 3.9 ••• 

Auf zwei Körper mit den Massen m ₁ und m ₂ mit $m_{1}> m_{2}$, die auf einer ebenen, reibungsfreien Oberfläche liegen, werde während eines festen Zeitintervalls $\Updelta t$ dieselbe horizontale Gesamtkraft $|\boldsymbol{F}|$ ausgeübt. a) In welchem Verhältnis stehen ihre Beschleunigungen während dieses Zeitintervalls, ausgedrückt durch $|\boldsymbol{F}|,m_{1}\text{ und }m_{2}$, wenn beide Körper anfangs ruhen? b) In welchem Verhältnis stehen ihre Geschwindigkeitsbeträge $|\boldsymbol{v}_{1}|$ und $|\boldsymbol{v}_{2}|$ am Ende des Zeitintervalls? c) Wie weit entfernt sind die beiden Körper am Ende des Zeitintervalls? Welcher ist dem anderen voraus?

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

1.2.1 3.10 •• 

Ein Rennwagen, über den der Fahrer die Gewalt verloren hat, kann auf 90 km/h abgebremst werden, bevor er frontal auf eine Ziegelmauer auffährt. Zum Glück trägt der Fahrer einen Sicherheitsgurt. Schätzen Sie unter der Annahme sinnvoller Werte für die Masse des Fahrers und für den Bremsweg die (als konstant angenommene) durchschnittliche Kraft, die der Sicherheitsgurt auf den Fahrer ausübt, einschließlich deren Richtung. Wirkungen der Reibungskräfte, die der Sitz auf den Fahrer ausübt, sind zu vernachlässigen.

1.3 Das erste und das zweite Newton’sche Axiom: Masse, Trägheit und Kraft

1.3.1 3.11 • 

Ein Körper besitzt eine Beschleunigung von 3,0 m/s${}^{2}$, wobei nur eine Kraft mit dem Betrag $|\boldsymbol{F}_{0}|$ auf ihn wirkt. a) Wie groß ist betragsmäßig seine Beschleunigung, wenn der Betrag der Kraft verdoppelt wird? b) Ein zweiter Körper erhält unter dem Einfluss einer einzelnen Kraft vom Betrag $|\boldsymbol{F}_{0}|$ eine Beschleunigung mit einem Betrag von 9,0 m/s${}^{2}$. Wie groß ist das Verhältnis der Masse des zweiten Körpers zu der des ersten Körpers? c) Wie groß ist der Betrag der Beschleunigung, die die einzelne Kraft vom Betrag $|\boldsymbol{F}_{0}|$ auf den Gesamtkörper erzeugt, der entsteht, wenn man beide Körper zusammenklebt?

1.3.2 3.12 • 

Auf einen Körper der Masse 1,5 kg wirkt eine Gesamtkraft $(6{,}0\,\text{N})\,\boldsymbol{\widehat{x}}-(3{,}0\text{\,N})\,\boldsymbol{\widehat{y}}$. Berechnen Sie die Beschleunigung a.

1.3.3 3.13 •• 

Eine Kugel mit der Masse $1{,}80\cdot 10^{-3}\,\text{kg}$, die mit 500 m/s fliegt, trifft auf einen Baumstumpf und bohrt sich 6,00 cm weit in ihn hinein, bevor sie zum Stillstand kommt. a) Berechnen Sie unter der Annahme, dass die Beschleunigung der Kugel konstant ist, die Kraft (einschließlich der Richtung), die das Holz auf die Kugel ausübt. b) Auf die Kugel soll dieselbe Kraft wirken, und sie soll mit derselben Geschwindigkeit auftreffen, allerdings soll die Kugel nur die halbe Masse haben. Wie weit bohrt sie sich dann in das Holz?

1.4 Masse und Gewicht

1.4.1 3.14 • 

Auf dem Mond beträgt die Beschleunigung durch die Gravitation nur ein Sechstel der Erdbeschleunigung. Ein Astronaut, dessen Gewicht auf der Erde 600 N beträgt, reist zur Mondoberfläche. Dort wird seine Masse gemessen. Beträgt seine dort gemessene Masse a)  600 kg, b)  100 kg, c)  61,2 kg, d)  9,81 kg oder e)  360 kg?

1.5 Kräftediagramme: Statisches Gleichgewicht

1.5.1 3.15 •• 

Eine Kugel mit einem Gewicht von 100 N ist wie in Abbildung 3.33 abgebildet an mehreren Seilen aufgehängt. Welche Zugkräfte wirken in dem horizontalen Seil und in dem schrägen Seil?

Abb. 3.33

Zu Aufgabe 3.15.

1.5.2 3.16 •• 

Eine Verkehrsampel mit einer Masse von 35,0 kg ist, wie in Abbildung 3.34 gezeigt, an zwei Drähten aufgehängt. a) Zeichnen Sie das Kräftediagramm und beantworten Sie anhand dessen qualitativ die folgende Frage: Ist die Zugkraft im Draht 2 größer als die im Draht 1? b) Überprüfen Sie Ihre Antwort unter Anwendung der Newton’schen Axiome und durch Berechnen der beiden Zugkräfte.

Abb. 3.34

Zu Aufgabe 3.16.

1.5.3 3.17 •• 

In Abbildung 3.35a ist ein 0,500 kg Gewicht in der Mitte eines 1,25 m langen Seils aufgehängt. Die Enden des Seils sind an zwei Punkten im Abstand von 1,00 m an der Decke befestigt. a) Welchen Winkel bildet das Seil mit der Decke? b) Wie groß ist die Zugkraft in dem Seil? c) Das 0,500 kg Gewicht wird entfernt, und an dem Seil werden zwei 0,250 kg Gewichte so befestigt, dass die Längen der drei Seilabschnitte gleich sind (Abbildung 3.35b). Wie groß ist die Zugkraft in jedem Seilabschnitt?

Abb. 3.35

Zu Aufgabe 3.17.

1.5.4 3.18 •• 

Ihr Auto ist in einem Schlammloch stecken geblieben. Sie sind zwar allein, haben zum Glück aber ein Abschleppseil dabei. Ein Ende davon befestigen Sie am Auto und das andere an einem Telegrafenmast. Anschließend ziehen Sie das Seil wie in Abbildung 3.36 gezeigt zur Seite. a) Wie groß ist die Kraft, die das Seil auf das Auto ausübt, wenn der Winkel $\theta=3{,}00{{}^{\circ}}$ ist und Sie mit einer Kraft von 400 N ziehen, ohne dass sich das Auto bewegt? b) Wie stark muss das Seil sein, wenn Sie 600 N brauchen, um das Auto bei $\theta=4{,}00{{}^{\circ}}$ zu bewegen?

Abb. 3.36

Zu Aufgabe 3.18.

1.5.5 3.19 •• 

Ermitteln Sie für die Systeme aus den Abbildungen 3.37a, b und c, die im Gleichgewicht sind, die unbekannten Zugkräfte und Massen.

Abb. 3.37

Zu Aufgabe 3.19.

1.6 Kräftediagramme: Geneigte Ebenen und Normalkräfte

1.6.1 3.20 • 

Die Körper in Abbildung 3.38 sind an Federwaagen befestigt, die in Newton geeicht sind. Geben Sie für jeden Fall den Messwert der Waage bzw. die Messwerte der Waagen an. Die Waagen selbst und die Seile werden als masselos angenommen.

Abb. 3.38

Zu Aufgabe 3.20.

1.6.2 3.21 •• 

Ein Block wird auf einer reibungsfreien Neigung durch ein Kabel gehalten (Abbildung 3.39). a) Wie groß sind die Zugkraft im Kabel und die von der Neigung ausgeübte Normalkraft, wenn $\theta=60{{}^{\circ}}$ und $m=50\,\text{kg}$ sind? b) Ermitteln Sie die Zugkraft als Funktion von θ und m und überprüfen Sie ihr Ergebnis für die Spezialfälle $\theta=0{{}^{\circ}}$ und $\theta=90{{}^{\circ}}$ auf Plausibilität.

Abb. 3.39

Zu Aufgabe 3.21.

1.6.3 3.22 •• 

Ein Block der Masse m gleitet auf einem reibungsfreien Boden und anschließend eine reibungsfreie Rampe hinauf (Abbildung 3.40). Der Winkel der Rampe sei θ und die Geschwindigkeit des Blocks, bevor er die Rampe hinaufgleitet, v ₀. Der Block gleitet bis zu einer bestimmten maximalen Höhe h über dem Boden hinauf, bevor er anhält. Leiten Sie einen Ausdruck für h in Abhängigkeit von v ₀ und g her und zeigen Sie, dass h unabhängig von m und θ ist.

Abb. 3.40

Zu Aufgabe 3.22.

1.7 Kräftediagramme: Fahrstühle

1.7.1 3.23 • 

Ein 10,0 kg Block hängt an einer Schnur, die eine Nennzugkraft von 150 N aushalten soll, an der Decke eines Fahrstuhls. Kurz nachdem der Fahrstuhl zu steigen beginnt, reißt die Schnur. Wie hoch war die Beschleunigung des Fahrstuhls mindestens, als die Schnur gerissen ist?

1.8 Krummlinige und Kreisbewegung

1.8.1 3.24 • 

Ein Stein mit der Masse $m=95\,\text{g}$ wird am Ende eines 85 cm langen Fadens auf einem horizontalen Kreis herumgewirbelt. Eine vollständige Umdrehung des Steins dauert 1,2 s. Ermitteln Sie den Winkel, den der Faden mit der Horizontalen bildet.

1.8.2 3.25 • 

Der Krümmungsradius der Bahn im Scheitel des Loopings einer Achterbahn beträgt 12,0 m. An diesem Punkt übt der Sitz auf einen Mitfahrer mit der Masse m eine Kraft von $0{,}40\,m\cdot g$ aus. Wie schnell fährt der Achterbahnwagen durch diesen höchsten Punkt?

1.8.3 3.26 •• 

Ein Kunstflugpilot mit einer Masse von 50 kg vollführt einen Sturzflug und zieht das Flugzeug kurz vor dem Boden auf einer vertikalen Kreisbahn in die Horizontale. Am tiefsten Punkt dieser Kreisbahn wird der Pilot mit 3,5 g nach oben beschleunigt. a) Vergleichen Sie den Betrag der von dem Flugzeugsitz auf den Piloten ausgeübten Kraft mit seinem Gewicht. b) Erläutern Sie anhand der Newton’schen Axiome, weshalb der Pilot kurz bewusstlos werden kann. Dabei sammelt sich gegenüber dem Normalfall ein Überdruck an Blut in seinen unteren Gliedmaßen an. Wie würde ein Beobachter in einem Inertialsystem die Ursache für die Blutansammlung erklären?

1.8.4 3.27 •• 

Ein Mann wirbelt wie in Abbildung 3.41 gezeigt sein Kind auf einem Kreis mit einem Radius von 0,75 m herum. Das Kind hat eine Masse von 25 kg, und eine Umdrehung dauert 1,5 s. a) Ermitteln Sie den Betrag und die Richtung der Kraft, die der Mann auf das Kind ausübt. (Stellen Sie sich das Kind vereinfacht als ein punktförmiges Teilchen vor.) b) Welchen Betrag und welche Richtung hat die Kraft, die das Kind auf den Mann ausübt?

Abb. 3.41

Zu Aufgabe 3.27.

1.8.5 3.28 •• 

Ein Automobilclub möchte auf einer örtlichen Rennbahn ein Rennen mit Autos mit einer Masse von 750 kg durchführen. Die Autos sollen mit 90 km/h durch mehrere Kurven mit einem Krümmungsradius von 160 m fahren. In welchem Winkel sollten die Kurven überhöht sein, damit die Kraft des Straßenbelags auf die Reifen parallel zur Normalkraft ist? (Hinweis: Was kann man aus dieser Bedingung für die Reibungskraft schließen?)

1.8.6 3.29 •• 

Ein Modellflugzeug mit einer Masse von 0,400 kg ist an einer horizontalen Schnur befestigt. Das Flugzeug soll auf einem horizontalen Kreis mit einem Radius von 5,70 m fliegen. (Das Gewicht ist dabei mit der nach oben gerichteten Auftriebskraft, die die Luft auf die Flügel ausübt, im Gleichgewicht.) Das Flugzeug legt in 4,00 s 1,20 Runden zurück. a) Gesucht ist der Geschwindigkeitsbetrag, mit dem das Flugzeug fliegen muss. b) Berechnen Sie die Kraft, die auf die Hand ausgeübt wird, die die Schnur hält. (Die Schnur kann als masselos angenommen werden.)

1.8.7 3.30 •• 

Wie in Abbildung 3.42 gezeigt ist, wirken auf einen Körper im Gleichgewicht drei Kräfte. a) Ihre Beträge seien $|\boldsymbol{F}_{1}|$, $|\boldsymbol{F}_{2}|$ und $|\boldsymbol{F}_{3}|$. Zeigen Sie, dass $|\boldsymbol{F}_{1}|/\mathrm{sin\> }\theta_{2{,}3}=|\boldsymbol{F}_{2}|/\mathrm{sin\> }\theta_{3{,}1}=|\boldsymbol{F}_{3}|/\mathrm{sin\> }\theta_{1{,}2}$ gilt. b) Zeigen Sie, dass außerdem $|\boldsymbol{F}_{1}|^{2}=|\boldsymbol{F}_{2}|^{2}+|\boldsymbol{F}_{3}|^{2}+2\,|\boldsymbol{F}_{2}|\,|\boldsymbol{F}_{3}|\,\mathrm{cos\> }\theta_{2{,}3}$ gilt.

Abb. 3.42

Zu Aufgabe 3.30.

1.8.8 3.31 ••• 

Eine kleine Perle mit einer Masse von 100 g (Abbildung 3.43) gleitet reibungsfrei auf einem halbkreisförmigen Draht mit einem Radius von 10 cm, der sich mit einer Drehzahl von 2,0 Umdrehungen pro Sekunde um die vertikale Achse dreht. Ermitteln Sie denjenigen Wert von θ, bei dem die Perle in Bezug auf den rotieren Draht an der gleichen Stelle bleibt.

Abb. 3.43

Zu Aufgabe 3.31.

1.8.9 3.32 ••• 

Der Ortsvektor eines Teilchens mit der Masse $m=0{,}80\,kg$ lautet als Funktion der Zeit

$$\boldsymbol{r}=x\,\boldsymbol{\widehat{x}}+y\,\boldsymbol{\widehat{y}}=(R\,\mathrm{sin\> }\omega t)\boldsymbol{\widehat{x}}+(R\,\mathrm{cos\> }\omega t)\boldsymbol{\widehat{y}},$$

wobei $R=4{,}0\,m$ und $\omega=2\pi\,s^{-1}$ ist. a) Zeigen Sie, dass der Weg des Teilchens eine Kreisbahn mit dem Radius R ist, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung der x-y-Ebene liegt. b) Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor und zeigen Sie, dass $v_{x}/v_{y}=-y/x$ gilt. c) Berechnen Sie den Beschleunigungsvektor und zeigen Sie, dass er zum Koordinatenursprung hin gerichtet ist und den Betrag $v^{2}/R$ besitzt. d) Ermitteln Sie Richtung und Betrag der Gesamtkraft, die auf das Teilchen wirkt.