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Theorie der reellen Funktionen pp 184–229Cite as

Die unstetigen Funktionen

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Zusammenfassung

In Verallgemeinerung der Definition des Grenzwertes einer Funktion auf einer Punktmenge (Kap. II, § 11, vgl. insbesondere Satz VIII) definieren wir: Ist a Häufungspunkt von A (d. h. Punkt von A1), so heißt die Zahl l ein H ä Häu fungswert1) von f in a auf A, wenn es in A eine Punktfolge {a n } gibt, so daß

$$\mathop {\lim }\limits_{n = \infty } {a_n} = a;\quad {a_n} = a;\quad \mathop {\lim }\limits_{n = \infty } f\left( {{a_n}} \right) = l $$

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Referenzen

  1. R. Bettazzi der sich zuerst systematisch mit diesem Begriffe befaßt hat (Rend. Pal. 6 (1892), 177) sagt „un confine di f“.

    Google Scholar 

  2. Vgl. M. Pasch, Math. Ann. 30 (1887), 134. Satz IV ist ein allgemeiner Grenzsatz.

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  3. R. Bettazzi, a. a. O.

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  4. R. Bettazzi, a. a. O. Vgl. hierzu auch H. Hahn, Monatsh. f. Math. 16 (1905), 315.

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  5. Ein Spezialfall dieses Satzes wurde bewiesen von W. H. Young, Lond. Proc. (2) 8 (1910), 117.

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  6. Wie schon erwähnt, ist dann a nicht Punkt, sondern nur Begrenzungspunkt von E.

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  7. Ganz analog ist die Definition der linksseitigen Häufungswerte, und dann auch weiter der linksseitigen Häufungsfunktion h_ (a; f, A).

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  8. W. H. Young, Quart. Journ. 39 (1907), 67;

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  9. W. H. Young, Rend. Line. 17/1 (1908), 582. (Ein Spezialfall auch bei L. Ton elli, Rend. Lomb. (2) 41 (1908), 773).

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  10. Auch Unstetigkeitsgrad genannt.

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  11. Von M. Pasch als Schwingung bezeichnet, Math. Ann. 30 (1887), 139.

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  12. Vgl. zu diesem und:den folgenden Sätzen: M. Pasch, Math. Ann. 38 (1887), 140.

    Google Scholar 

  13. Denn gäbe es unendlich viele, so hätten sie, weil t kompakt, einen Häufungspunkt; es gäbe also einen Punkt von.1, der nicht innerer Punkt von 1 wäre.

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  14. Vgl. M. Pasch, a. a. O. 141; A. S choenfli, Gött. Nachr. 1899, 188.

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  17. W. H. Young, a. a. O. 1312; W. Sierpifski, Prace mat. fiz. 22 (1911), 19.

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  18. Hiervon abweichend bezeichnen manche Autoren als total-unstetig jede Funktion, die nicht punktweise unstetig (§ 4) ist.

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  19. Für Funktionen einer reellen Veränderlichen zuerst bewiesen von W. H. Young, a. a. O. 1312.

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  20. Oder punktiert unstetig. Dieser Begriff rührt her von H. Hank el, Gratulationsprogr. der Tübinger Univ. 1870 = Math. Ann. 20, (1887), 89 Ostw. Klass. Nr. 153, 74.

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  21. Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Vgl. das Beispiel zu Satz IV.

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  22. Man hat dabei wieder f als beschränkt anzunehmen, was vermöge der Schränkungstransformation zulässig ist.

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  23. U. Dini, Grundlagen f. e. Theorie d. Funktionen einer veränderlichen reellen Größe (1892) § 151.

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  24. D. h. (Kap. I, § 8, Satz II, V) A ist abgeschlossen oder ein o-Durchschnitt in einer abgeschlossenen Menge.

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  25. V. Volterra, Giorn. di mat. 19 (1881), 84.

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  26. Dabei ist wieder (vermöge der Schränkungstransformation) fals beschränkt anzunehmen.

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  27. T. Brodén, Acta Univ. Lund. 33 (Neue Folge 8) (1897), 16.

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  28. Dieser Begriff wurde eingeführt von A. Schoenflies, Die Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten, 135. Vgl. hierzu H. Hahn, Monatsh. f. Math. 16 (1905), 312.

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  29. Nach E. Study, Math. Ann. 47 (1896), 301.

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  30. R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 13. (Vgl. auch Bull. soc. math. 28 (1900), 179).

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  31. H. Lebesgu, Bull. soc. math. 32 (1904), 233.

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  32. Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden, wie das Beispiel zu Satz II zeigt.

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  33. Satz IV folgt auch unmittelbar aus § 1, Satz XVI und Kap. II, § 13, Satz XII.

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  34. H. Lebesgue, Ann. de Toul. (3) 1 (1909), 60.

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  35. Ausgehend von Satz II, § 5 wurden solche Funktionen konstruiert von T. Brodén, Acta Univ. Lund. 33 (Neue Folge 8) (1897), 17.

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  36. Zahlreiche Beispiele punktweise unstetiger Funktionen wurden hergestellt durch Zifferngesetze, die an die Darstellung der reellen Zahlen durch Systembrüche anknüpfen: G. Peano, Riv. di mat. 2 (1892), 42. A. Schoenflies, Gött. Nachr. 1899, 187, (vgl. auch Gött. Nachr. 1896, 255);

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  37. ferner T. Brodén, Math. Ann. 54 (1901), 518.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  38. Vgl. über diese und ähnliche Funktionen W. D. A. Westfall, Am. Bull. 15 (1908), 225.

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  39. Eine Funktion f einer reellen Veränderlichen, die stetig im b1 wäre für rationales, unstetig für irrationales a, kann es nicht geben (§ 4, Satz III, VI).

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  40. Vgl. A. S choenflies, Gött. Nachr. 1899, 192.

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  41. Mit diesen Funktionen hat sich eingehend befaßt A. Denjoy, Bull. soc. math. 33 (1905), 98.

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  42. W. Sierpi ń ski, Bull. Crac. 1910, 633. Verallgemeinerungen bei H. Blumberg, Proc. Nat. Acad. Am. 2 (1916), 646.

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  43. W. Sierpiński, a. a. O.

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  44. Es genügt nicht, daß f selbst endlich sei auf A, wie aus Fußn. 2), S. 223 hervorgeht.

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  45. In der Tat, ist A — AA1 + dicht in A (wie dies bei jeder nirgends dichten perfekten Punktmenge des b1 zutrifft), so ist j ede Funktion auf A rechtsseitig punktweise unstetig.

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Authors and Affiliations

  1. Universität Bonn, Deutschland

    Dr. Hans Hahn (Professor der Mathematik)

Authors
  1. Dr. Hans Hahn
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Hahn, H. (1921). Die unstetigen Funktionen. In: Theorie der reellen Funktionen. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-52624-4_5

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