Cauchysche Integralformel und Folgerungen

Zusammenfassung

Dieses Kapitel enthält ein Filetstück der Funktionentheorie. Aus dem Hauptsatz (2. Fassung) folgt fast mühelos ein ganzes Bündel leistungsstarker und z.T. erstaunlicher Sätze: Der Hauptsatz bringt — angewandt auf den ’Differenzenquotienten‘ — zunächst die Integralformel, die u. a. zeigt, dass bei einer holomorphen Funktion die Werte auf dem Rand eines beliebigen Kreises die im Inneren schon festlegen, was dann im Identitätssatz noch wesentlich verschärft wird. Aus der Integralformel folgt — via geometrischer Reihe und gleichmäßiger Konvergenz — die Potenzreihenentwicklung einer holomorphen Funktion, speziell dass sie beliebig oft differenzierbar ist, und weiter die Integralformel für die Ableitungen. Daraus ergeben sich leicht Abschätzungen für die Ableitungen und Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung, speziell der Satz von LIOUVILLE. Eine Potenzreihe konvergiert im größten Kreis um den Entwicklungspunkt, der noch ganz im gegebenen Gebiet liegt. Der Konvergenzradius wird also — ganz anders als im Reellen — durch diese einfache Eigenschaft der dargestellten Funktion charakterisiert. Der Satz von WEIERSTRASS II (über lokal gleichmäßige Konvergenz der Ableitungen) und der Satz über Gebietstreue — mit dem Prinzip vom Maximum als Folgerung — runden diesen Gedankenkreis ab.