Zusammenfassung
Bisher hatten wir immer stillschweigend angenommen, dass die untersuchten Quantenobjekte unterscheidbar waren. Das ist auch aus der Klassischen Physik vertraut; dort ist es immer möglich, zwei Teilchen zu unterscheiden (etwa indem man sie verschieden einfärbt), ohne dass sich ihre messbaren Eigenschaften ändern. In der QM ist das anders: Hier gibt es identische Quantenobjekte, die prinzipiell nicht unterscheidbar sind. Dieses Fakt führt unter anderem zum Pauliprinzip oder zur Austauschenergie beim Helium.
Eine Bemerkung zur Nomenklatur: Wir haben durchweg möglichst vermieden, von ‚Teilchen‘ zu sprechen, wenn nicht explizit ein solches gemeint war, und stattdessen den Term ‚Quantenobjekt‘ verwendet. Dies sollte klarstellen, dass es eben in der Regel nicht um Teilchen oder Wellen geht, sondern um etwas Neues und Quantenspezifisches. Im Alltagssprachgebrauch der Physik hat sich jedoch der Term ‚Teilchen‘ in vielen Zusammenhängen festgesetzt (was zum Teil historische Gründe hat, zum Teil der Bequemlichkeit der Sprache bzw. der physikalischen Folklore geschuldet ist), so auch beim Thema dieses Kapitels, wo der Ausdruck ‚Identische Teilchen‘ nicht auf die Teilchennatur der betrachteten Objekte verweist, sondern deckungsgleich ist mit dem Begriff ‚identische Quantenobjekte‘. Da es sich aber bei ‚Identische Teilchen‘ um so etwas wie einen stehenden Begriff handelt, werden wir ihn nach dieser Bemerkung zur Nomenklatur im Folgenden auch verwenden.
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- 1.
Manche Autoren formulieren diesen Sachverhalt explizit als ein Postulat der QM, siehe Anhang R (Band 1) ‘Zu den Postulaten der QM’.
- 2.
Englisch ‘identical particles’.
- 3.
Ähnliche Nomenklaturprobleme gibt es auch in anderen Disziplinen. Beispielsweise schreibt Egon Friedell zu den Transskriptionen orientalischer Eigennamen in der Bibel: ‘Fast alle übrigen Namen sind in ähnlicher Weise verstümmelt; aber da sie auch von Luther in seine Bibelübersetzung übernommen wurden und dadurch heute als feste Begriffe eingebürgert sind, wäre es reine Schikane und gelehrte Affektion, sie richtigstellen zu wollen.’ Egon Friedell, Kulturgeschichte Ägyptens und des alten Orients, p. 1082.
- 4.
Wir bezeichnen die Teilchennummer \(n\) durch einen tiefgestellten Index, die Anzahl \(m\) der Teilchen (falls erforderlich) durch einen tiefgestellten eingeklammerten Index und die Dimension \(d\) durch einen hochgestellten Index, also \(\mathcal{H}_{{n(m)}}^{d}\).
- 5.
Oder kompakter \(\mathcal{H}_{{(N)}}=\bigotimes\limits _{{n=1}}^{N}\mathcal{H}_{{n(1)}}\)
- 6.
Auch antimetrisch genannt.
- 7.
Da der Spin beider Quantenobjekte gleich \(\frac{1}{2}\) ist, geben wir ihn im Folgenden nicht an und schreiben statt \(\left|i:\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}\right\rangle\) kurz \(\left|i:\pm\frac{1}{2}\right\rangle\) und entsprechend für den Gesamtzustand statt zum Beispiel \(\left|1:\frac{1}{2},\frac{1}{2};2:\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right\rangle\) kurz \(\left|1:\frac{1}{2};2:-\frac{1}{2}\right\rangle\).
- 8.
Wir bemerken, dass \(P_{{ij}}\) kein Projektionsoperator ist. Der Buchstabe \(P\) leitet sich hier von Permutation ab.
- 9.
Transpositionen untereinander vertauschen in der Regel nicht, \(P_{{23}}P_{{12}}\neq P_{{12}}P_{{23}}\).
- 10.
Die \(N\)‑Teilchenzustände (23.3) erfüllen diese Bedingung nicht; wir müssen diese Eigenfunktionen noch konstruieren.
- 11.
Ein Beispiel für die Bemerkung aus Kap. 14 (Band 1), dass nicht jeder Vektor aus dem Hilbertraum einem physikalisch realisierbaren Zustand entsprechen muss bzw. für eine Superauswahlregel.
- 12.
Beispiel für ein \(3\)‑Tupel: \(\left(1,2,3\right)\), \(\left(1,3,2\right)\), \(\left(2,1,3\right)\), \(\left(2,3,1\right)\), \(\left(3,1,2\right)\), \(\left(3,2,1\right)\).
- 13.
Für eine zyklische Permutation ist \(p\) gerade, für eine nicht zyklische ungerade.
- 14.
Eine andere Möglichkeit, Zustände vieler Quantenobjekte zu formulieren, bietet die sogenannte 2. Quantisierung, die, darin in gewisser Weise der algebraischen Behandlung des Drehimpulses oder des harmonischen Oszillators ähnlich, mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren arbeitet.
- 15.
In der theoretischen Festkörperphysik werden sogenannte Anyonen (von engl. any: irgendein; nicht zu verwechseln mit Anionen) betrachtet. Das sind Quasiteilchen in zwei Dimensionen, die weder Bosonen noch Fermionen sind.
- 16.
In den Gleichungen taucht deswegen die Masse der Elektronen und nicht die reduzierte Masse auf.
- 17.
Da wir nur zwei Teilchen haben, könnten wir die aus Kap. 20 vertraute kürzere Schreibweise verwenden, bei der der Zustand des 1. bzw. 2. Teilchens an 1. bzw. 2. Stelle aufgeführt wird, also \(\left|1:\alpha _{1}\right\rangle\left|2:\alpha _{2}\right\rangle\equiv\left|n_{1}l_{1}m_{1},n_{2}l_{2}m_{2}\right\rangle\). Wir wählen trotzdem die etwas umständlichere Variante, da sie unmissverständlicher ist.
- 18.
Der Masseneffekt könnte hier über
$$R_{{\mathrm{He}}}=R_{{\infty}}\left(1+\tfrac{m}{m_{\mathrm{He}}}\right)^{{-1}}$$berücksichtigt werden.
- 19.
Vgl. Kap. 17 und Anhang B (Band 2) ‘Spezielle Funktionen’
- 20.
Die Coulombenergie würde auch für nicht identische Teilchen die gleiche Form haben.
- 21.
In ‘Gernot Münster, Quantenmechanik (2006)’ werden für die Größen \(C_{{2l}}\) und \(A_{{2l}}\) zum Teil falsche Werte angegeben. Wir erwähnen das hier nicht deswegen, um einem Lehrbuch am Zeug zu flicken. Tatsächlich finden sich bei einem größeren Text (auch in diesem) trotz aller Sorgfalt so gut wie immer einzelne Fehler – das passiert auch den besten. Die Bemerkung zielt vielmehr auf die Klarstellung, dass Lernen ein eigenverantwortlicher Vorgang ist; eine gewisse kritische Distanz sollte man gegenüber jedem (Lehr‑)Buch wahren, keines ist absolut. Also: nie nach nur einem Buch lernen, sondern mehrere benutzen!
- 22.
Also nicht auf identische Quantenobjekte beschränktes.
- 23.
\(\inf\) steht für Infimum, die größte untere Schranke.
- 24.
Dieses Manko heilt ja, wie oben gesagt, das Verfahren selbst.
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Pade, J. (2012). Identische Teilchen. In: Quantenmechanik zu Fuß 2. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-25314-0_9
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