Zusammenfassung
Wir haben in Kap. 1 die Schrödingergleichung
eingeführt. Im Rahmen unserer Betrachtungen ist sie die Differenzialgleichung der QM. Wegen dieser zentralen Stellung wollen wir uns im Folgenden anschauen, welche Eigenschaften die SGl hat und welche Konsequenzen aus diesen Eigenschaften folgen. Durch Abspalten der Zeit kann man aus (3.1) die stationäre Schrödingergleichung gewinnen, die für uns das Arbeitspferd der QM darstellt. Schließlich folgen noch ein paar erste Bemerkungen zu Operatoren, die in der QM für Messgrößen stehen.
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- 1.
Man kann den Unterschied zwischen KlM und QM plakativ so zusammenfassen: Die KlM beschreibt die zeitliche Entwicklung des Faktischen, die SGl beschreibt die zeitliche Entwicklung des Möglichen.
- 2.
Eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen (deren Elemente z. B. auch Funktionen sein können) nennt man üblicherweise Operator; eine Abbildung von einem Vektorraum auf seinen Skalarenkörper Funktional. Integraltransformationen wie z. B. die Fourier- oder die Laplace-Transformation können als Integral-Operatoren aufgefasst werden. Im Sinn einer eindeutigen Sprachregelung legen wir den Unterschied zwischen Operator und Funktion so fest, dass Definitions- und Wertebereich von Operatoren Vektorräume sind, während sie bei Funktionen Zahlenmengen sind.
- 3.
Englisch: eigenvalue und eigenfunction.
- 4.
Diese kleine Tabelle wird zuweilen (eher scherzhaft) als ‚Wörterbuch der QM‘ bezeichnet.
- 5.
In der älteren Quantentheorie verstand man unter dem (Bohrschen) Korrespondenzprinzip die näherungsweise Übereinstimmung der quantenmechanischen Berechnungen mit den klassischen für große Quantenzahlen. In der modernen Quantenmechanik bezeichnet man mit Korrespondenz die Zuordnung klassischer Observabler zu entsprechenden Operatoren. Diese Zuordnung hat allerdings eher heuristischen Wert und muss immer verifiziert werden bzw. experimentell bestätigt werden. Ein konsequenteres Verfahren ist zum Beispiel die Einführung von Orts- und Impulsoperator über Symmetrietransformationen (siehe Kap. 21 (Band 2)).
- 6.
Beispielsweise gilt bekanntlich für zwei quadratische Matrizen \(A\) und \(B\) (= auf Vektoren wirkende Operatoren) im Allgemeinen \(AB\neq BA\).
- 7.
Der Antikommutator ist definiert als
$$\left\{ A,B\right\}=AB+BA$$(trotz der gleichen geschweiften Klammern natürlich etwas ganz anderes als die Poisson-Klammern der KlM).
- 8.
Es gibt hier einen interessanten Zusammenhang mit der KlM, den wir bereits kurz in einer Fußnote in Kap. 1 erwähnt haben. In der KlM ist die Poisson-Klammer für zwei Größen \(U\) und \(V\) definiert als
$$\left\{ U,V\right\} _{{\text{Poisson}}}=\sum _{{i}}\left(\frac{\partial U}{\partial q_{{i}}}\frac{\partial V}{\partial p_{{i}}}-\frac{\partial U}{\partial p_{{i}}}\frac{\partial V}{\partial q_{{i}}}\right)$$wobei die \(q_{{i}}\) und \(p_{{i}}\) die Orte und (verallgemeinerten) Impulse von \(n\) Teilchen sind, \(i=1,2,\ldots,3n\). Damit es keine Verwechslung mit dem Antikommutator gibt, haben wir einen (sonst unüblichen) Index Poisson eingefügt. Wenn \(U\) und \(V\) als Operatoren der QM definiert sind, ergibt sich ihr Kommutator durch die Setzung \(\left[U,V\right]=\mathrm{i}\hbar\left\{ U,V\right\} _{{\text{Poisson}}}\). Beispiel: In der KlM wählen wir \(U=q_{{1}}\equiv x\) und \(V=p_{{1}}\equiv p_{{x}}\). Dann folgt \(\left\{ q_{{1}},p_{{1}}\right\} _{{\text{Poisson}}}=1\) und wir erhalten in der QM das Resultat \(\left[q_{{1}},p_{{1}}\right]=\left[x,p_{{x}}\right]=\mathrm{i}\hbar\).
- 9.
Tatsächlich ist das auch nur gut so, da diese Symmetrisierung auch nicht ohne Probleme ist. Nehmen wir z. B. \(x^{{2}}p\) – lautet der symmetrisierte Ausdruck \(xpx\), \(\frac{1}{2}\left(x^{{2}}p+px^{{2}}\right)\), \(\frac{1}{3}\left(x^{{2}}p+xpx+px^{{2}}\right)\), \(\frac{1}{4}\left(x^{{2}}p+2xpx+px^{{2}}\right)\) oder noch ganz anders? Oder führt alles auf den gleichen quantenmechanischen Ausdruck (wie es bei diesem Beispiel tatsächlich der Fall ist)?
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Pade, J. (2012). Mehr zur Schrödingergleichung. In: Quantenmechanik zu Fuß 1. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-25227-3_3
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-25227-3_3
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Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
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Online ISBN: 978-3-642-25227-3
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