Fraktale und L-Systeme

Zusammenfassung

In der Geometrie werden Objekte üblicherweise durch explizite Regeln und Transformationen bestimmt, die einfach in mathematische Formeln übersetzt werden können. Beispielsweise ist ein Kreis die Menge aller Punkte, die von einem Mittelpunkt (a, b) den festen Abstand r haben:

$$ K=\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2; (x-a)^2+(y-b)^2=r^2\right\} $$

oder

$$ K=\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2; x=a+r\cos\varphi, y=b+r\sin\varphi, 0\leq\varphi<2\pi\right\} $$

.

Im Gegensatz dazu sind die Objekte der fraktalen Geometrie meist durch eine rekursive Vorschrift gegeben. Diese fraktalen Mengen (Fraktale) haben in letzter Zeit viele interessante Anwendungen erfahren, z.B. in der Computergrafik (Darstellung von Wolken, Pflanzen, Bäumen, Landschaften), in der Bildkompression und in der Datenanalyse. Darüberhinaus besitzen Fraktale eine gewisse Bedeutung in der Modellierung von Wachstumsprozessen. Kennzeichnende Merkmale von Fraktalen sind oft ihre nicht ganzzahlige Dimension und die Selbstähnlichkeit der gesamten Menge mit ihren Teilen. Letzteres Phänomen findet man auch häufig in der Natur, z.B. in der Geologie. Dort ist es anhand eines Fotos ohne Kenntnis des Maßstabs oft schwierig zu entscheiden, ob das abgebildete Objekt ein Sandkorn, ein kleiner Kiesel oder ein grosses Stück Fels ist. Aus diesem Grund wird die fraktale Geometrie überschwänglich auch als Geometrie der Natur bezeichnet. Wir betrachten in diesem Kapitel exemplarisch Fraktale in ℝ² und ℂ. Des Weiteren geben wir eine kurze Einführung in L-Systeme und besprechen als Anwendung ein einfaches Konzept zur Modellierung des Wachstums von Pflanzen. Für eine weiter führende Darstellung verweisen wir auf die Lehrbücher [21, 22].